1、632導數中的參數范圍的求法一、與單調性有關的參數問題此時參數可以位于函數中也可以位于區間內，常見的提問方式是函數在某個區間 單調遞減、單調遞增、單調、不單調，研究這類問題的關鍵是把握原函數和導函數的 關系，這里需要注意的一個問題：若函數f(x)單調，則f(x)恒為非正或非負，函數 的極值點并不等同于導函數的零點，極值點的個數和導函數的根的個數也不能直接劃 等號。例 1.已知函數f(x) x33x29x在區間(a,2a 1)上單調遞減，求a的取值范圍。解析：先根據函數單調性作出函數的趨勢圖像，再安排存在參數的區間位置即可。 2f (x) 3x 6x 93(x 1)(x 3)令f(x) 0,則x

2、 3或x 1；令f(x) 0,貝V1 x 3，作出趨勢圖像如下:a 1函數在區間(a,2a 1)上單調遞減，需滿足2a 131 a 22a 1 a一22例 2已知函數f(x) x2al nx-在1,4上是減函數，求實數a的取值范圍xa2解析：轉化為函數單調性與導函數的正負性的關系即可，f (x) 2x2x x22在1,4上是減函數，即f (x)0 a 2x2-在1,4上恒成立x令g(x)2x2一，因為g(x)在1,4上遞減，則g (x)ming (4)一x2所以a(1)xf(x)2、例 3.已知函數f (x) ax, g(x) In x, a R，若函數G(x)ag(x)在區間ax1,)上為單

3、調函數，求a的取值范圍。解析：題目只是說明函數是單調函數，并未說明是單增還是單減，因此需要分兩種情 況討論，將單調性轉化為參數恒成立問題即可。3xf (x)2a 2 2x ax 2G(x)ag(x)，G (x) 2x22axx xx若G(x)在區間1,)上單調遞增，則G(x) 0在1,)上恒成立，即22一22a 2x在1,)上恒成立，令h(x) 2x，因為h(x)在1,)遞減，則x xh(x)maxh(1)0，此時a 0若G(x)在區間1,)上單調遞減，則G(x) 0在1,)上恒成立，即2222a 2x在1,)上恒成立，令h(x) 2x,因為h(x)無最小值，則不存xx在這樣的a綜上，a 0例

4、 4.已知函數f (x) x3(k 1)x2(k 5)x，其中k R，若函數f (x)在區間(0,3)上不是單調函數，求k的取值范圍。解析：這個問題相對復雜些，但是思路還算清晰，函數在(0,3)上不是單調函數，意味著原函數在(0,3)上存在極值點，因為三次函數極值點的個數可能是兩個也可能沒 有，原題目中排出沒有的情況，因此題目存在兩個極值點，但是這兩個極值點有 幾個落在區間(0,3)內這是個問題，可能只有一個極值點在，也可能兩個都在，此 外極值點是導函數的根，題目即可轉化為二次函數在區間內根的分布問題。 2f (x) 3x 2(k 1)x k 5，函數f (x)在區間(0,3)上不是單調函數，

5、則f(x)在(0,3)內必定存在極值點，此時f(x)不能單調遞增，只能是保持一種增減增的狀態，因此f (x)在(0,3)內的極值點可能是一個也可能是兩個。(1)若極值點在(0,3)內只有一個，情況如下：7 54f兇I/P -43-2-11J 345? e o itf-V /-2-3此時f(x)需要滿足f,(0)0，此時無解f (3) 0(2)7此時f(x)只需要滿足f,()5 a26f (3)07若極值點在(0,3)內有兩個，圖如下：f() 此時f (x)只需要滿足f (3) 26a綜上所述，5 a 2、與極值有關的參數范圍問題7常見的問法是函數有無極值點，有幾個極值點的問題，極值點是函數單調

6、性發生 改變的點，因此有極值點意味著函數不單調，沒有極值點則意味著函數單調，有幾個 極值點意味著導函數有幾個零點，但是導函數有幾個零點不等同于函數有幾個極值點(導函數為零的點不一定為極值點，極值點一定為導函數為零的點)值范圍。2在(0, 2)上有零點，即3ax3ax 1 0在(0,2)有根二、與雙參數有關的參數冋題在參數問題中參數的個數可能不止一個，另外在此類問題中變量的個數也可能不 止一個，也可能會出現雙變量的問題。題目中若含有雙參數m,n，其中一個一般是給出了區間，而讓求另一個未給出的 參數的取值范圍，除了這個之外一般還會給出未知量x的區間，一個參數一個未知量是以任意性和存在性方式給出，其

7、實這種題目大多是參數恒成立或存在性問題的延伸， 只不過例 5.已知函數f (x)，設h(x) xf(x) xxax3在(0,2)上有極值，求a的取解析：h(x)h(x)ln (x1x 11) x ax3(x1且x 0)，22x( 3ax3ax 1)3ax 1x 1h(x)在(0,2)上有極值，則h (x)，故a118例 6.若函數f (x)ex(x2ax1)沒有極值點，求a的取值范圍。解析：f(x) exx2(a2)x2a1)，令f(x)0，即x2(a 2)x 2a 10函數無極值點，則(a2)24(2 a 1)00 a 4例 7.已知函數f(x) a Inx ax 3，函數f (x)的圖像在

8、x 4處的切線的斜率為132且g(x) 3X x f (x)(1,3)上不是單調函數，求m的取值范圍。13g(x) 3X數在區間(1,3)上不是單調函數，則導函數在區間上存在零點,g(1)0分布列不等式，g(3) 0解析：由已知得a 2，m2(I2)x 2x，g(x)x2(m 4)x2，函根據二次函數根的需要求兩次最值，因為多了一個參數，所以在難度上會適當的降低。解題的思路是將所求的參數m單獨分離，另一邊包括另外一個參數n和變量x,22此時可以將參數n或變量x中的一個當成自變量，另外一個當做常量即可，求出最值 后可消去參數n或自變量x，再將問題轉化為常規恒成立問題即可，但是如果所求的 參數m不

9、能分離，可分離的是另一個參數n，這樣反而簡單，直接利用任意性或存在性消去參數n。例 8.已知函數f(x) alnx ax 3，若函數f(x)的圖像在點(2, f(2)處的切線 的傾32m斜角為45，對于任意的t 1,2，函數g(x)x3x2f (x)在區間(t,3)上總不是單調函數，求m的取值范圍。g(x)在區間(t,3)上總不是單調函數，即g(x)在(t,3)上存在零點21,2上單調遞減，及 3t)min5，故m 937m 93g(x)3x2(m4)x 2，根據二次函數根的分布列不等式g (t)g(3)成立，則m(m2t3734)t23t，對于(m 4)t2 3t2，不等式在t 1,2上恒3t23解析：由題意知a 2，g(x) x呀2)x22x2因為3t在t t綜上所述,例 9.設函數rn3】a 0;, x2f(x)2a l n x bx，當1,e2都成立，求實數0時，f (x) aln x，rn3】a 0,；, x2解析：當b1,e2都成立，即令h(a) alnb 0時，若不等式f (x) m x對所有的m的取值范圍。f (x) mm aln xx x，h(a)為一次