1、1任課教師：黃夢溪241 彎曲的概念及梁的計算簡圖彎曲的概念及梁的計算簡圖42 剪力和彎矩剪力和彎矩43 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖44 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載集度間的關系及應用45 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖46 平面剛架和曲桿的內力圖平面剛架和曲桿的內力圖 彎曲內力習題課彎曲內力習題課第四章第四章 彎曲內力彎曲內力 341 平面彎曲的概念及梁的計算簡圖平面彎曲的概念及梁的計算簡圖一、彎曲的概念一、彎曲的概念1. 彎曲彎曲: : 桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸 線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。

2、2. 梁：梁：以彎曲變形為主的 構件通常稱為梁。43. 3. 工程實例工程實例5674. 4. 平面彎曲：平面彎曲：桿發生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一 平面內。 對稱彎曲（如下圖） 平面彎曲的特例。縱向對稱面縱向對稱面MP1P2q8非對稱彎曲 若梁不具有縱對稱面，或者，梁雖具有縱 對稱面但外力并不作用在對稱面內，這種 彎曲則統稱為非對稱彎曲。下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應力和變形計算。9二、梁的計算簡圖二、梁的計算簡圖 梁的支承條件與載荷情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1. 構件本身的簡化構件本身的簡化 通常取梁的軸線來代替梁。2. 載荷簡

3、化載荷簡化 作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3. 支座簡化支座簡化10 固定鉸支座 2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。 可動鉸支座 1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。11 固定端 3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4. 梁的三種基本形式梁的三種基本形式 簡支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力 懸臂梁12 外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力5. 靜定梁與超靜定梁靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學方程可求出支反力，如上述三種基本 形式的靜定梁。超靜定梁

4、：由靜力學方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。13 例例1 貯液罐如圖示，罐長L=5m，內徑 D=1m，壁厚t =10mm，鋼的密度為：7.8g/cm，液體的密度為：1g/cm ,液面高為：0.8m，外伸端長為： 1m，試求貯液罐的計算簡圖。解：q 均布力均布力14LgLAgLALVgLmgq2211rad855131060.gRRgDt2221)sin(21gAgA22119(kN/m)9.81000)sin106.3(1.8550.521 0.53.148 . 9780001. 0114. 322q 均布力均布力1542 剪力和彎矩剪力和彎矩 一、彎曲內力：一、彎曲內力：舉例舉例 已

5、知：如圖，P，a，l。求：距A端x處截面上內力。PaPlYAXARBAABB解解：求外力lalPYYlPaRmXXABAA)( , 0 , 00 , 016ABPYAXARBmmx求內力截面法xYMmlalPYQYACA , 0)( , 0AYAQMRBPMQ 彎曲構件內力剪力彎矩1. 彎矩：彎矩：M 構件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內力偶矩。CC172. 剪力：剪力：Q 構件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內力。3. .內力的正負規定內力的正負規定: :剪力Q: 繞研究對象順時針轉為正剪力；反之為負。彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。Q(+)Q()Q()Q(

6、+)M(+)M(+)M()M()18 例例2：求圖（a）所示梁1-1、2-2截面處的內力。xyqLQQqLY11 0解：解：截面法求內力。 1-1截面處截取的分離體 如圖（b）示。圖（a）1111 0)(qLxMMqLxFmiA二、例題二、例題qqLab1122qLQ1AM1圖（b）x119L)axq Q22( axqMqLxFmiB0)(21, 0)(22222-2截面處截取的分離體如圖(c), )ax( qQqLY0222222)(21qLxaxqMxy圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2圖（c）201. 1. 內力方程：內力方程：內力與截面位置坐標（x）間的函數關系式。2. 2.

7、 剪力圖和彎矩圖：剪力圖和彎矩圖：)(xQQ 剪力方程)(xMM 彎矩方程)(xQQ 剪力圖的圖線表示)(xMM 彎矩圖的圖線表示43 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖21 例例3 3 求下列各圖示梁的內力方程并畫出內力圖。PY)x(QO解：求支反力)()(LxPMxYxMOO 寫出內力方程PL MPYOO ; PYOL根據方程畫內力圖。Q(x)xPMOM(x)xQ(x)MOYO22解：寫出內力方程根據方程畫內力圖qx)x(Q221qx)x(MLqM(x)xQ(x)Q(x)x qL23)3(6220 xLLq)x(Q解：求支反力內力方程3 ; 600Lq RL

8、qRBAq0RA根據方程畫內力圖。RBL)xL(LxqxM2206)(xL33Q(x)x620Lq320LqRAMxQ24一、一、 剪力、彎矩與分布荷載間的關系剪力、彎矩與分布荷載間的關系對dx 段進行平衡分析，有：0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd 44 剪力、彎矩與分布荷載集度間的關系及應用剪力、彎矩與分布荷載集度間的關系及應用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy xqxxQdd剪力圖上某點處的切線斜率剪力圖上某點處的切線斜率等于該點處荷載集度的大小。等于該點處荷載集度的大小。 25q(x)M(x)+

9、d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxAy0)(d)()()(d(21)d(, 0)(2xMxMxMxxqxxQFmiA)(d)(dxQxxM彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。彎矩圖上某點處的切線斜率等于該點處剪力的大小。)(d)(d22xqxxM彎矩與荷載集度的關系是：彎矩與荷載集度的關系是：26二、剪力、彎矩與外力間的關系二、剪力、彎矩與外力間的關系外力外力無外力段均布載荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜直線增函數xQxQ降函數xQCQ1Q2Q1Q2=P自左向右突變xQC無變化斜直線曲線自左向右折角 自左向右突變與m反27簡易作圖法簡易作圖法: : 利

10、用內力和外力的關系及特殊點的內力值來作 圖的方法。 例例44 用簡易作圖法畫圖示梁的內力圖。解解: : 利用內力和外力的關系及 特殊點的內力值來作圖。特殊點特殊點: :端點、分區點（外力變化點）和駐點等。aaqaqA282230qaM;Q0 ; MqaQ2 ;qaMqaQ223; 0qaMQaaqaqA左端點：左端點：線形：線形：根據)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM； xqxxQdd；及集中載荷點的規律確定。分區點分區點A：M 的駐點：的駐點：右端點：右端點：Qxqa29 例例55 用簡易作圖法畫下列各圖示梁的內力圖。解：求支反力2 ; 2qaRqaRDA0;2MqaQ左端點A

11、：221;2qaMqaQB點左：221;2qaMqaQB點右：221;2qaMqaQC點左：M 的駐點：283; 0qaMQ221;2qaMqaQC點右：0 ; 21MqaQ右端點D：qqa2qaRARDQxqa/2qa/2qa/2+ABCD3045 按疊加原理作彎矩圖按疊加原理作彎矩圖一、疊加原理一、疊加原理： 多個載荷同時作用于結構而引起的內力等于每個載荷單獨作用于結構而引起的內力的代數和。)()()()(221121nnnPQPQPQPPPQ )()()()(221121nnnPMPMPMPPPM 適用條件適用條件：所求參數（內力、應力、位移）必然與荷載滿 足線性關系。即在彈性限度內滿足

12、虎克定律。31二、材料力學構件小變形、線性范圍內必遵守此原理二、材料力學構件小變形、線性范圍內必遵守此原理 疊加方法疊加方法 步驟：步驟： 分別作出各項荷載單獨作用下梁的彎矩圖； 將其相應的縱坐標疊加即可(注意：不是圖形的簡單拼湊)。32 例例66按疊加原理作彎矩圖(AB=2a，力P作用在梁AB的中點處）。qqPP=+AAABBB33 三、對稱性與反對稱性的應用：三、對稱性與反對稱性的應用： 對稱結構在對稱載荷作用下，Q圖反對稱，M圖對稱；對稱結構在反對稱載荷作用下，Q圖對稱，M圖反對稱。34 例例7 作下列圖示梁的內力圖。PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP0QxQ1x

13、Q2x0.5P0.5P0.5P+P35PPLPPLLLLLLL0.5P0.5P0.5P0.5PP036 例例8 改內力圖之錯。a2aaqqa2ABQx+qa/4qa/43qa/47qa/447;4qaRqaRBA37 例例9 已知Q圖，求外載及M圖（梁上無集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+3846 平面剛架和曲桿的內力圖平面剛架和曲桿的內力圖一、平面剛架一、平面剛架1. 平面剛架：平面剛架：同一平面內，不同取向的桿件，通過桿端相 互剛性連接而組成的結構。 特點：特點：剛架各桿的內力有：Q、M、N。2. 內力圖規定：內力圖規定： 彎矩圖：彎矩圖：畫在各桿的受壓

14、一側，不注明正、負號。 剪力圖及軸力圖：剪力圖及軸力圖：可畫在剛架軸線的任一側（通常正值畫在剛架的外側），但須注明正、負號。39 例例10 試作圖示剛架的內力圖。P1P2alABCN 圖P2+Q 圖P1+P1P1aM 圖P1aP1a+ P2 l40 二、平面曲桿：二、平面曲桿： 軸線為一平面曲線的桿件。內力情況及繪制方法與平面剛架相同。例例11 已知：如圖所示，P及R 。試繪制Q、M、N 圖。OPRmmx解：解：建立極坐標，O為極點，OB 極軸，表示截面mm的位置。)(0 )cos1 ()cos()(PRRRPPxM)(0 cos)(2PPN)(0 sin)(1PPQAB41OPRmmx)(0

15、 )cos1 ()cos()(PRRRPPxM)(0 cos)(2PPN)(0 sin)(1PPQABABOM-diagramOO+Q -diagramN-diagram2PRPP+42例例1 繪制下列圖示梁的彎矩圖。2PaaP=2PP+xMxM1xM2=+2Pa2PaPa(1)第四章習題課第四章習題課43(2)aaqqqq=+xM1=xM+xM23qa2/2qa2/2qa244(3)PL/2L/2PL/2=+PxM2xM=+PL/2PL/4PL/2xM1+PL/245(4)50kNaa20kNm=+xM2xM=+20kNm50kNmxM120kNm50kN20kNm20kNm+20kNm30

16、kNm20kNm46 例例2 試根據自己的實踐經驗，列舉一些彎曲變形的構件，并將它們簡化為各種類型的梁。 例例3 試用疊加法作梁的彎矩圖。 222222247 例例4 作圖示具有中間鉸的組合梁的Q、M圖。 qa2qa2 /248 例例5 圖示外伸梁AD，受力作用。試畫出該軸的剪力圖和彎矩圖，并求Qmax和Mmax。 解解：1外力分析：求支座約束反力。研究梁AD，受力分析如圖，列平衡方程： mkN6kN2kN/m4mPq，05 . 2132)(01qmPNFmqPNNFBABAykN1kN3BANN，49 2內力分析：首先列出各段的剪力方程和彎矩方程， AC： m)(kN3(kN)30011111111xxNMNQxNMmQNYAAAACB： m)(kN636(kN)30022222222xxNMNQxNmMmQNYAAAABD： )3(2)3(22)3(40)3(2)3(0)3(3233332333333xxMxQxqMxPmxqQPY50 然后根據上面剪力方程和彎矩方程分區段繪制剪力圖和彎矩圖，如(a