1、章末復習提升I知識網絡整體構建產要點歸納主干械理1 空間向量的運算及運算律空間向量加法、減法、數乘、向量的意義及運算律與平面向量類似，空間任意兩個向量都可 以通過平移轉化為平面向量，兩個向量相加的三角形法則與平行四邊形法則仍然成立.2兩個向量的數量積的計算向量的數量積運算要遵循數量積的性質和運算律，常用于有關向量相等、兩向量垂直、射影、夾角等問題中.3空間向量的坐標運算，關鍵是建立恰當的空間直角坐標系，然后再利用有關公式計算求 解.常用向量的坐標運算來證明向量的垂直和平行問題，利用向量的夾角公式和距離公式求解空間角與空間距離的問題.4空間向量的基本定理說明：用三個不共面的已知向量a, b, c

2、可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結果是惟一的.5利用向量解決幾何問題具有快捷、有效的特征一般方法如下：先將原問題轉化為等價的向量問題，即將已知條件中的角轉化為向量的夾角，線段長度轉化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的運算解決該向量問題，從而原問題得解.6.禾 U 用向量坐標解決立體幾何問題的關鍵在于找準位置，建立適當、正確的空間直角坐標系，難點是在已建好的坐標系中表示出已知點的坐標，只有正確表示出已知點的坐標，才能通過向量的坐標運算，實現幾何問題的代數化解法.思損構建1.數形結合思想數形結合思想就是把抽象的數學語言與直觀圖形結合來思索，抽象思維和形象思維結合， 通

3、過“以形助數”和“以數解形”使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題過程的目的.空間向量是既有大小又有方向的量，空間向量本身就具有數形兼備的特點，因此將立體幾何中的“形”與代數中的“數”有機地結合在一起，使解答過程順暢、簡捷、有效，提高解題速度.例 1 某幾何體 ABC AIBICI的三視圖和直觀圖如圖所示.(1)求證：AiC 丄平面 ABiCi；求二面角 Ci ABi C 的余弦值.(1)證明由三視圖可知，在三棱柱 ABC AiBiCi中,AAi丄底面 AiBiCi, BiCi丄 AiCi，且 AAi= AC = 4, BC= 3.以點 C 為原點，分別以 CA, CB, CCi所

4、在直線為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標系,如圖所示.由已知可得 A(4,0,0), B(0,3,0), C(0,0,0), AI(4,0,4) , Bi(0,3,4) , Ci(0,0,4), CAi=(4,0,4), CiA = (4,0, 4), CiBi=(0,3,0), CAiCiA=0,CAiCiBi=0, CAi丄 CiA, CAi丄 CiBi,又 CiAACiBi= Ci, CiA?平面 ABiCi,CiBi?平面 ABiCi, -AiC 丄平面 ABiCi.解 由得，CA= (4,0,0), CBi= (0,3,4),設平面 ABiC 的法向量為 n= (x, y,

5、 z),TTCA n = 0,x= 0,/ CA 丄 n, CBi丄 n, 即,CBin=0,3y+4z=0,33令 y= i，則 z= 4, n = (0,i, - 4),又由知，平面 ABiCi的一個法向量為 CAi= (4,0,4),跟蹤訓練 i 已知正方體 ABCDAiBiCiDi的棱長為 2, E、F 分別是 BBDDi的中點，求證:(i)FCi 平面 ADE;(2)平面 ADE /平面 BiCiF.證明建立如圖所示空間直角坐標系D xyz,則有 D(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), Ci(0,2,2), E(2,2,i) , F(0,0,i), Bi(2,2,

6、2),所以 FCi= (0,2,i),DA = (2,0,0) , AE = (0,2,i).設 ni= (xi, yi, zi)是平面 ADE 的法向量, cos n CAi|n| |CAi|3*2i0 ,.面Ci ABi C 的余弦值為3,2i0 .則 n1XDA,n1XAE,niDA = 2xi= 0,即 f -IniAE = 2yi+ zi= 0,令 zi= 2,則 yi= 1,所以 ni= (0， 1,2). 因為 FCini= 2 + 2= 0,所以 FCi丄 ni.又因為 FCi?平面 ADE，所以 FC,平面 ADE.因為 CiBi= (2,0,0)，設 n2=(X2,y2,Z

7、2)是平面 BiCiF 的一個法向量.由 n2丄 FCi,n2丄 CiBi, n2FCi=2y2+ Z2= 0,x2= 0,得 得In2CiBi= 2x2= 0,Z2=2y2.令 Z2= 2,得 y2= i,所以 n2= (0， i,2),因為 ni= n2,所以 n, n2,所以平面 ADE /平面 BiCiF.2.轉化和化歸思想轉化和化歸思想是指在解決數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而使問題得到解決的一種解題策略.其本質含義是：在解決一個問題時人們的眼光并不落在結論上， 而是去尋覓、追溯一些熟知的結論，由此將問題化繁為簡，化大為小，各個擊破，達到最終 解決問題的目的.例 2

8、 如圖所示，已知多面體 EABCDF 的底面 ABCD 是邊長為 2 的正方形,宀iEA 丄底面 ABCD , FD / EA，且 FD = ?EA = i.(1) 求多面體 EABCDF 的體積；(2) 求直線 EB 與平面 ECF 所成角的正弦值；(3)記線段 BC 的中點為 K，在平面 ABCD 內過點 K 作一條直線與平面 ECF 平行，要求保留 作圖痕跡，但不要求證明.解如圖所示，連結 ED ,/EA 丄底面 ABCD 且 FD / EA, FD 丄底面 ABCD , FD 丄 AD,/DC 丄 AD , FDACD = D,xi= 0,得|zi= 2yi,ECEK CFD?平面 F

9、DC , CD?平面 FDC , AD 丄平面 FDC ,1 11 2VE FCD=3ADSFDC=3%2X1X2X2=3.1 1 8VEABCD=3EA S?ABCD=3X2X2X2=3,如圖所示，取線段 CD 的中點 Q,連結 KQ,直線 KQ 即為所求. 跟蹤訓練 2如圖，四棱錐 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其對角線 AC = 2,fl KBD = 2.CF 與平面 ABCD 垂直，CF = 2求二面角 BAFD 的大小. 解 過點 A 作 AE 丄平面 ABCD.以 A 為坐標原點，BD、AC、AE 方向分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向 建立空間直角坐標系(如圖).多面

10、體 EABCDF10的體積 V多面體=VE-FCD+VE以點 A 為原點，AB 所在的直線為 x 軸，AD 所在的直線為 y 軸，AE 所在的直線為 z 軸，建立空間直角坐標系如圖所示.由已知可得 A(0,0,0), E(0,0,2) , B(2,0,0), C(2,2,0), F(0,2,1), EC= (2,2 ,2), EB= (2,0 , 2), EF = (0,2 , 1),設平面ECF 的n= (x, y, z),n EC = 0,則$Tn EF = 0,2x+ 2y 2z= 0,得2y z= 0,取 y= 1，得平面 ECF 的一個法向量為 n= (1,1,2),設直線 EB 與

11、平面 ECF 所成角為 0,sin0=|cos n,TB|=|哼|n| |EB|于是 B # 1, 0 ,D -2, 1 , 0 , F(0,2,2).設平面 ABF 的法向量ni= (x, y, z),niAB = 0,寫x+ y= 0,則由T得2niAF = 0,2y+ 2z= 0.x=邁，令 z= 1，得所以 ni= ( 2, 1,1).y= 1.同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2= ( 2, 1,1).由 n1n2= 0 知，平面 ABF 與平面 ADF 垂直，n所以二面角 BAFD 的大小等于 p3.方程思想方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模

12、型(方程、不等式)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解用空間向量解決立體幾何問題屬 于用代數方法求解，很多時候需引入未知量.例 3 如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，側棱 PA 丄底面 ABCD , AB= 3, BC= 1, FA = 2, E 為 PD 的中點.(1)求直線 AC 與 PB 所成角的余弦值；在側面 PAB 內找一點 N,使 NE 丄平面 PAC,并求出點 N 到 AB 的距離和點 N 至 U AP的距離.解(1)以 A 為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖，1則 A(0,0,0), B(V3, 0,0), C(邁,1,0), P(0,0

13、,2), D(0,1,0), E(0 ,1, 1),從而 AC= ( .3 , 1,0) , PB= ( .3 , 0, 2).設 AC 與 FB 的夾角為0,IAC PB|=_3_=沁沁T T2y - 714|AC|PB|27則 cos0=(2)由于點 N 在側面 FAB 內，故可設點 N 的坐標為(x,0, z),T1則 NE = ( x, 2, 1 - z) T-Ta由題意知 AF= (0,0,2) , AC= ( 3, 1,0),NEAP= 0, 由 NE 丄平面 FAC,得 fjNlAC=0,廠1i x,2，1z0,0,2=0,即1x,2，1Z .3,1,0=0,化簡得廣1=:羊-羽

14、 x+ 1=0,z= 1,即點 N 的坐標為（W3, 0,1）,1 對本章的考查的重點是空間線面之間的位置關系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解；空間中簡單的點點距和點面距的求解.給出位置關系、角度或距離探求點的存在性問題在近幾年考查中已有體現.題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應用，滲透空間向量的基本概念和運算.所以 AC 與 PB 所成角的余弦值為3114.所以點 N 到 AB 的距離為 1 ,點 N 到 AP 的距離為跟蹤訓練 3 如圖，在直二棱柱 ABC-A1B1C1中，AB= 4, AC = BC =3, D

15、 為 AB 的中點.（1）求點 C 到平面 A1ABB1的距離；若 AB1丄 A1C，求二面角 A1-CD-C1的平面角的余弦值.解（1）由 AC = BC, D 為 AB 的中點，得 CD 丄 AB,又 CD 丄 AA.AA1 AB = A, AA1?平面 A1ABB1, AB?平面 A1ABB1,故 CD 丄平面 A1ABB1,所以點 C 至 U 平 面A1ABB1的距離為 CD= -BC2 BD2=5.如圖，過點 D 作 DD1 AA1交 A1B1于 D1,在直二棱柱中，易4知 DB, DC , DD1兩兩垂直，以 D 為原點，射線 DB , DC, DD1分別為 x 軸，y 軸，z 軸

16、的正半軸建立空間直角坐標系D xyz.Vsi1A- A5-設直三棱柱的高為h,則 A( - 2,0,0), Ai( 2,0, h), Bi(2,0, h), C(0, .5, 0), Ci(0, 5,h)，從而 ABi= (4,0,h), AiC=(2,5, h),由 ABiAC，有 8 h2 1 3 4= 0, h= 2 2.故 DAi=(2,0,2 .2),CCi=(0,0,2 .2),DC=(0,5,0).設平面 AiCD 的法向量為 m = (xi, yi, zi),TTV5yi=0,則 m 丄 DC, m DAi,即卩 | 2xi+ 2? 2zi= 0,取 zi= i,得 m= (*2, 0,i).設平面 CiCD 的法向量為 n = (x2, y2, Z2),T TW5y2=0,則 n 丄 DC, n 丄 CCi,即卩2 返 Z2= 0,取 X2= i,得 n= (i,0,0),-課堂小結-空間向量的引入為立體幾何問題的解決提供了新的思路, 對空間向量的考查往往滲透于立體幾何問題解決的過程之中，成為高考必考的熱點之一.3 空間向量的引入使空間幾何體也具備了“數字化”的特征，從而把空間線面關系的邏輯推理證明與空間角、 距離的求解變成了純粹的數字運算問題，降低了思維的難度， 成為高考所以 cos m , n|m| |n|所以二面角 AiCD