1、第四章彎曲內力第四章彎曲內力14.1 彎曲的概念和實例4.2 受彎桿件的簡化4.3 剪力和彎矩4.4 剪力圖和彎矩圖4.5 M、Q、q之間的關系4.6 平面曲桿的彎曲內力目目 錄錄第四章彎曲內力第四章彎曲內力2一、彎曲的概念一、彎曲的概念受力特點受力特點:作用于桿件上的外力垂直于桿件的軸線作用于桿件上的外力垂直于桿件的軸線 變形特點變形特點:使原為直線的軸線變為曲線使原為直線的軸線變為曲線F縱向對稱面縱向對稱面軸線軸線梁梁F4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例第四章彎曲內力第四章彎曲內力3以彎曲變形為主要變形的桿件稱為以彎曲變形為主要變形的桿件稱為梁梁。 軸線是直線的稱為軸線是直線的稱為直

2、梁直梁，軸線是曲線的稱為，軸線是曲線的稱為曲梁曲梁。 有對稱平面的梁稱為有對稱平面的梁稱為對稱梁對稱梁，沒有對稱平面的梁稱為，沒有對稱平面的梁稱為非對稱梁。非對稱梁。對稱彎曲對稱彎曲：若梁上所有外力都作用在縱向對稱面內，梁變形：若梁上所有外力都作用在縱向對稱面內，梁變形后軸線形成的曲線也在該平面內的彎曲。后軸線形成的曲線也在該平面內的彎曲。FqFAFB縱向縱向對稱對稱面面4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例第四章彎曲內力第四章彎曲內力4二、工程實例二、工程實例1. .吊車梁吊車梁4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例第四章彎曲內力第四章彎曲內力52. .搖臂鉆的臂搖臂鉆的臂4.1 彎曲的

3、概念和實例彎曲的概念和實例第四章彎曲內力第四章彎曲內力64.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例第四章彎曲內力第四章彎曲內力74. .跳板跳板跳臺跳板4.1 彎曲的概念和實例彎曲的概念和實例第四章彎曲內力第四章彎曲內力8一、梁支座的簡化一、梁支座的簡化a)滑動鉸支座滑動鉸支座b)固定鉸支座固定鉸支座c)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM4.2 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化阻止阻止X,YX,Y方向移動方向移動阻止阻止 Y方向移動方向移動阻止阻止X,Y移動移動和和轉動轉動2.固定鉸支座：有固定鉸支座：有兩個未知反力兩個未知反力1.移移(滾滾)動鉸支座：有動鉸支座：有一個未知反力一個未知反

4、力3.固定端：有固定端：有三個未知反力三個未知反力第四章彎曲內力第四章彎曲內力9 二、載荷的簡化二、載荷的簡化(a)集中荷載集中荷載F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷載分布荷載q(x)任意分布荷載任意分布荷載q均布荷載均布荷載4.2 受彎桿件的簡化受彎桿件的簡化第四章彎曲內力第四章彎曲內力10靜定梁靜定梁僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁。僅用靜力平衡方程即可求得反力的梁。(a)懸臂梁懸臂梁(b)簡支梁簡支梁(c)外伸梁外伸梁 三、靜定梁的基本形式三、靜定梁的基本形式超靜定梁超靜定梁僅用靜力平衡方程不能求得所有反力的梁。僅用靜力平衡方程不能求得所有反力的梁。4.2 受彎桿件的簡化受彎

5、桿件的簡化第四章彎曲內力第四章彎曲內力114.3剪力和彎矩剪力和彎矩一、一、剪力和彎矩剪力和彎矩求法求法已知簡支梁，尺寸如圖所示，已知簡支梁，尺寸如圖所示，求求m-m截面的內力截面的內力(剪力和彎矩剪力和彎矩)aF1F2ABbxxFAyFByxaFAyF1FByF2b-截面法截面法:0 yFAy1SF-F -F = 0SAy1 F = F- F 剪力剪力( (FS ) )FSFSmm1.求反力求反力(省略省略)2.求內力求內力任一橫截面上的剪力任一橫截面上的剪力= =的的代數和代數和該橫截面任該橫截面任一側一側所有外力所有外力第四章彎曲內力第四章彎曲內力12MM:0 CM 01 MaxFxFA

6、y 1axFxFMAy 彎矩彎矩( (M ) )xaFAyF1FByF2baF1F2ABbxxFAyFBymm任一橫截面上的任一橫截面上的彎矩彎矩= =對橫截面對橫截面形心形心力矩的力矩的代數和代數和該橫截面任該橫截面任一側一側所有外力所有外力4.3剪力和彎矩剪力和彎矩FSFS第四章彎曲內力第四章彎曲內力13剪力剪力( (F FS S ) )任一橫截面上的任一橫截面上的剪力剪力= =該橫截面任該橫截面任一側一側所有外力所有外力的的代數和代數和任一橫截面上的任一橫截面上的彎矩彎矩= =該橫截面任該橫截面任一側一側所有外力所有外力對橫截面對橫截面形心形心力矩的力矩的代數和代數和 彎矩彎矩( (M

7、M ) )SiFF(,)iieiCMMF q MMMxaFAyF1FByF2bFsFs 外力和外力矩的正負號如何確定呢？首先看剪外力和外力矩的正負號如何確定呢？首先看剪力彎矩如何確定。力彎矩如何確定。4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力14關于彎曲內力的正負號規則是按關于彎曲內力的正負號規則是按彎曲變形彎曲變形來規定的來規定的外力矩外力矩外力矩外力矩M外力矩外力矩外力矩外力矩MMM外力外力外力外力外力外力外力外力外力外力SF外力外力SFSFSF4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力15歸納：歸納：FS的符號的符號：對所取梁段上的一點而言，順時針為：對所取梁段上

8、的一點而言，順時針為正，逆時針為負。正，逆時針為負。M的符號的符號：使梁呈：使梁呈“盛水盛水”變形為正，使梁呈變形為正，使梁呈“倒水倒水”變形為負。變形為負。MMxaFAyF1FByF2bFsFs內力方向要采用內力方向要采用“設正法設正法”MMSFSF4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力16剪力剪力:所求截面一側所有所求截面一側所有力的代數和力的代數和彎矩彎矩:所求截面一側所有力對所求截面形心力矩的代所求截面一側所有力對所求截面形心力矩的代數和數和什么方向的力產生正的剪力什么方向的力產生正的剪力?什么方向的力產生正的彎矩什么方向的力產生正的彎矩?FSFS外力外力外力外力MM外

9、力矩外力矩外力矩外力矩aF1F2ABbxxFAyFBymmSiFF(,)iieiCMMF q M4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力17SiFF(,)iieiCMMF q MMMxaFAyF1FByF2bFsFsSAy1 F = F- F 1axFxFMAy 取右邊呢？取右邊呢？FSFS外力外力MM外力矩外力矩4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力18歸納：歸納：FS的符號的符號：對所取梁段上的一點而言，順時針為：對所取梁段上的一點而言，順時針為正，逆時針為負。正，逆時針為負。M的符號的符號：使梁呈：使梁呈“盛水盛水”變形為正，使梁呈變形為正，使梁呈“倒水倒水

10、”變形為負。變形為負。求求FS、M的步驟的步驟求支反力求支反力分段定截面求內力。要采用分段定截面求內力。要采用“設正法設正法”，取受力，取受力簡單部分考慮。簡單部分考慮。MMSFSF4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力19例例 試求圖示外伸梁試求圖示外伸梁A、D左與右鄰截面上的左與右鄰截面上的FS和和M。解：解：1. .求支反力求支反力)( 47)( 41 qaFqaFByAy2. .求內力求內力A左鄰截面：左鄰截面：SAFqa左 2212qaaqaMA 左左aqACMA左FSA左aEBACDqaaaaq2qaAyFByF14qa 74qa 4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎

11、曲內力第四章彎曲內力20A右鄰截面：右鄰截面：S1344AFqaqaqa右 2212qaaqaMA 右右SS AAFF左右 2. .求內力求內力A左鄰截面：左鄰截面：SAFqa左 2212qaaqaMA 左左aqACMA左FSA左aqACFAyMA右FSA右aEBACDqaaaaq2qaAyFByF14qa 74qa 4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力21D左鄰截面：左鄰截面：D右鄰截面：右鄰截面：S1344DFqaqaqa右 241)2(qaaqaaaqaMD 右右SS DDFF左右 S1344DFqaqaqa左 aqaaaqaMD 41)2(左左245qa MD左FSD

12、左aaqACDFAyMD右右FSD右aaqqa2ACDFAyaEBACDqaaaaq2qaAyFByF14qa 74qa 4.3剪力和彎矩剪力和彎矩第四章彎曲內力第四章彎曲內力22MM外力矩外力矩4.3剪力和彎矩剪力和彎矩FSFS外力外力 建議：求截面FS和M時，均按規定正向假設，這樣求出的剪力為正號即表明該截面上的剪力為正的剪力，如為負號則表明為負的剪力。對于彎矩正負號也作同樣判斷。第四章彎曲內力第四章彎曲內力234.3剪力和彎矩剪力和彎矩)0(kN29030kN1502335 .460y的正誤或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM例例4-3-2 求下圖所示簡支梁求下圖

13、所示簡支梁1-1與與2-2截面的剪力和彎矩。截面的剪力和彎矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力第四章彎曲內力第四章彎曲內力244.3剪力和彎矩剪力和彎矩mkN26)5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF2、計算、計算1-1截面的內力截面的內力3、計算、計算2-2截面的內力截面的內力FBq=12kN/mS2F2MF=8kNFAS1F1M第四章彎曲內力第四章彎曲內力25剪力方程、彎矩方程剪力方程、彎矩方程 FS=FS(x) 剪力方程剪

14、力方程 M=M(x) 彎矩方程彎矩方程解解:AC段：段：A為原點為原點CB段：仍以段：仍以A為原點為原點115()(0)3SAFxFFxa 11115()(0)3AM xF xFxxa 222()()3SBFxFFaxl 22222()()()()3BM xFlxF lxaxl 4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖剪力隨橫截面變化的函數表達式剪力隨橫截面變化的函數表達式彎矩隨橫截面變化的函數表達式彎矩隨橫截面變化的函數表達式BAClFab0M1x2x已知簡支梁已知簡支梁,受力尺寸如圖所示受力尺寸如圖所示列出剪力彎矩方程列出剪力彎矩方程1.求反力求反力53AFF 23BFF 2.列剪力彎矩方程列

15、剪力彎矩方程53AFF 23BFF 注意區間有的是閉區間，注意區間有的是閉區間，有的是開區間為什么？有的是開區間為什么？第四章彎曲內力第四章彎曲內力26剪力圖、彎矩圖剪力圖、彎矩圖注意：注意： 分段求分段求FS(x)、M(x)方程方程 原點選在梁的最左邊。原點選在梁的最左邊。 FS、M圖與載荷圖上下對齊、一一對應畫。圖與載荷圖上下對齊、一一對應畫。4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖第四章彎曲內力第四章彎曲內力27例例:已知已知:如圖如圖,作作FS,M圖圖解解:支反力支反力分段列分段列F S 、M方程方程AC段：段：CB段：段：ooABMMFFll 11()(0)oSAMF xFxal 111

16、1( )(0)oAMM xF xxxal 22()()oSMFxaxll 2222()()()()oBMM xFlxlxaxll x221x112BACablMeFAFB4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖在集中力偶作用下的在集中力偶作用下的FS、M圖圖第四章彎曲內力第四章彎曲內力28由圖知：由圖知：maxmaxooSMbMFMll結論：結論：在集中力偶在集中力偶M作用處：作用處：FS圖圖無改變無改變M圖有突變，突變量大小、圖有突變，突變量大小、方向同于方向同于M（3）求控制點的坐標）求控制點的坐標AC段段xFSM0a0Ml00Ml0M al(4)繪圖繪圖BACablMeFAFB0M bl0M

17、 al0MlxMal0Ml00Ml0M bl CB段段FSMxSFx4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖標上絕對值標上絕對值第四章彎曲內力第四章彎曲內力29在集中力作用下的在集中力作用下的FS、M圖圖例例:已知：如圖，已知：如圖，作作FS 、M圖圖解解: : 支反力支反力分段列分段列FS、M方程方程ACAC段：段：CBCB段：段：ABbaFFFFll11()(0)SAbFxFFxal 1111()(0)AbM xF xFxxal22()()SBaFxFFaxll 2222()()()()BaM xFlxF lxaxll 4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖x221x112BACablFAFBF

18、MxSFx第四章彎曲內力第四章彎曲內力30由圖知：由圖知：maxmax()SaFbaFabMFll結論：結論：在集中力在集中力F F作用處：作用處：F FS S圖有突圖有突變，突變量大小、方向同于變，突變量大小、方向同于F FS S、M M圖有尖點圖有尖點. .（3 3）求控制點的坐標）求控制點的坐標(4)(4)繪圖繪圖ACAC段段xSFM0aFblFbl0FablCBCB段段xSFMalFal Fal 0Fabl4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖MSFx221x112BACablFAFBFFblFalFabl標上絕對值標上絕對值第四章彎曲內力第四章彎曲內力31在均布載荷作用下的在均布載荷作

19、用下的FS,M圖圖例例:已知：如圖，已知：如圖，作作FS、M圖圖解解: :支反力支反力列列FS、M方程方程12ABFFql1( )(0)2SFxqlqxxl2111( )(0)22M xqlxqxxl22111( )()(0)228lM xq xqlxl 4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖x1BAqlFAFB第四章彎曲內力第四章彎曲內力3228ql由圖知：由圖知：結論：結論：在均布載荷作用處：在均布載荷作用處：Q Q圖為傾斜直線，圖為傾斜直線，M M圖為拋物線。圖為拋物線。拋物線凸凹方向：拋物線凸凹方向：當當M M為二次函數時，用為二次函數時，用“下雨打傘下雨打傘”規則。規則。當當M M為二

20、次以上函數時，為二次以上函數時，2maxmax1128SFqlMql220d Mdx 有有極極大大值值上上凸凸220d Mdx 有有極極小小值值下下凸凸（3 3）求控制點的坐標）求控制點的坐標ACAC段段xSFM02l2ql028qll02ql 04.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖MSFx1BAqlFAFB2ql2ql第四章彎曲內力第四章彎曲內力33例：例：已知如圖，已知如圖，作作FS 、M圖圖解：解： 支反力支反力分段列分段列FS、M方程方程CA段：段：AD段：段：DB段：段：14.53.5ABFKNFKN ( )3(02)SFxxx 2213( )(02)22M xqxxx ( )14.

21、53(26)SAFxFqxxx2213( )(2)(4.83)6.04(26)22AM xFxqxxx ( )3.5(68)SBFxRx ( )(8)3.5(8)(68)BM xFxxx4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖BAq=3kN/mFAFBCM=3kN mD2m2m4m第四章彎曲內力第四章彎曲內力346kN m6.04kN m4kN m7kN m6kN8.5kN3.5kN（3 3）求控制點的坐標）求控制點的坐標(4)(4)繪圖繪圖CA段段xSFM026006AD段段xSFM265 . 85 . 346DB段段xSFM6875 . 35 . 30(5)(5)特殊點的處理特殊點的處理 在A

22、D段內035 .14xdxdMmx83. 4mkNM04. 683. 423)283. 4(5 .1424.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖BAq=3kN/mFAFBCM=3kN mD2m2m4m4.83m第四章彎曲內力第四章彎曲內力35剛架的內力圖剛架的內力圖剛節點剛節點：不能有相對移動和轉動的節點：不能有相對移動和轉動的節點剛架剛架：各部分由剛節點聯接而成的結構：各部分由剛節點聯接而成的結構平面剛架平面剛架,空間剛架空間剛架內力內力:一般有：軸力一般有：軸力N、剪力、剪力FS、彎矩、彎矩M約定約定 符號：符號：軸力軸力N：拉為正、壓為負：拉為正、壓為負 剪力剪力FS：對所研究段，順時針為正

23、，反之為負對所研究段，順時針為正，反之為負 彎矩彎矩M：把豎直桿看作水平桿的延長來判斷把豎直桿看作水平桿的延長來判斷 內力圖內力圖 軸力圖、剪力圖畫在剛架任一側，標明正負號軸力圖、剪力圖畫在剛架任一側，標明正負號 彎矩圖畫在剛架受壓一側彎矩圖畫在剛架受壓一側，不要標正負號不要標正負號。4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖第四章彎曲內力第四章彎曲內力36例：例：已知：如圖，已知：如圖，畫剛架的彎矩圖畫剛架的彎矩圖解解AC段：段：CB段：段：111()(0)M xFxxa222()(01.5 )M xFaFxxa (1)求反力求反力(略略)(2)列列M方程方程(3)控制點坐標控制點坐標CB段段xM

24、0 1.5a Fa0.5Fa AC段段xM0 a 0Fa(4)繪繪M圖圖4.4 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖CBA1.5aa1x1122x2FFFaFa0.5Fa第四章彎曲內力第四章彎曲內力37微分關系微分關系約定：約定：對右手系，對右手系，q向上為正，向下為負。向上為正，向下為負。0( ) ( )( )( )0YFQ xQ xdQ xq x dx ( )( )(1)SdFxq xdx 210( )( )( )( )( )()02CSMM xdM xM xFx dxq xdx ( )( )(2)SdM xFxdx 22( )( )(3)d M xq xdx 4.5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷

25、集度剪力和彎矩間的關系q=q(x)xdxq(x)dxFS(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)M(x)C第四章彎曲內力第四章彎曲內力38規律規律當當q=0時，時，FS(x)=常數常數,FS圖為一條水平直線圖為一條水平直線M圖為一條斜直線圖為一條斜直線FS(x)0,M圖向上傾斜圖向上傾斜 ( )( )0SdFxq xdx ( )( )SdM xFxdx 常常數數FS(x)0, FS圖向上傾斜圖向上傾斜 M為拋物線為拋物線,q0, M圖下凸圖下凸q0 M圖上凸圖上凸22( )( )d M xq xdx 常常數數q0, FS圖向下傾斜圖向下傾斜 當當q=常數時常數時()SdFxqdx 4

26、.5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷集度剪力和彎矩間的關系第四章彎曲內力第四章彎曲內力403.當有集中力時，當有集中力時，4.當有集中力偶時，當有集中力偶時，4.5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷集度剪力和彎矩間的關系第四章彎曲內力第四章彎曲內力41小結小結: q=0, FS=常數常數, M一次函數一次函數 q=常數常數, FS一次函數一次函數, M二次函數二次函數 q一次函數一次函數, FS二次函數二次函數, M三次函數三次函數在在FS(x)=0的截面上的截面上,M圖有極值圖有極值( )( )0SdM xFxdxMmax發生截面發生截面 FS(x)=0處處 集中力作用處集中力作用處 集中力偶作用

27、處集中力偶作用處以上關系可用于以上關系可用于繪制繪制剪力、彎矩圖和剪力、彎矩圖和驗證驗證所畫所畫剪力、彎矩圖的正確性剪力、彎矩圖的正確性4.5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷集度剪力和彎矩間的關系第四章彎曲內力第四章彎曲內力42積分積分在區間在區間x1,x2積分積分即即:在在x1,x2截面上剪力之差截面上剪力之差,等于兩截面間載荷圖面積等于兩截面間載荷圖面積即即:在在x1,x2截面上彎矩之差截面上彎矩之差,等于兩截面間剪力圖面積等于兩截面間剪力圖面積注意：注意：此處面積可以為負此處面積可以為負( )( )SdFxq xdx 2121()()( )xSSxFxFxq x dx ( )( )SdM xFxdx 2121()()( )xSxM xM xFx dx 4.5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷集度剪力和彎矩間的關系第四章彎曲內力第四章彎曲內力43解：解：75ABFKNFKN 4.5載荷集度剪力和彎矩間的關系載荷集度剪力和彎矩間的關系例：例：已知：已知：如圖，如圖，作內力圖作內力圖(1)求反力求反力BAq=1kN/mCMe=10kN