1、第 5 講函數的值域與最值1 掌握求值域或最值的基本方法，會求一些簡單函數的值域或最值.2 建立函數思想，能應用函數觀點(如應用函數的值域、最值 )解決數學問題._知識梳理1.函數的值域值域是 函數值 的取值范圍，它是由定義域和對應法則所確定的，所以求值域時要注意定義域2.函數的最值最值最大值最小值條件設函數 f(x)的定義域為 1，如果存在實數M 滿足(1)對于任意的 x I，都有 f(x)WM ;(2)存在 x 1，使f(x0)= M(1)對于任意的 x I，都有 f(x) M ;(2)存在 x 1，使f(x0) = M結論M 是函數 y= f(x)的最大值M 是函數 y = f(x)的最

2、小 值1 .基本函數的值域一次函數 y= kx+ b (kz0)的值域為R R ;(2) 二次函數 y= ax2+ bx+ c(az0)的值域：，+4ac b2當 a0 時，值域為 ,+a)；4a4ac b2當 av0 時，值域為(一a,；4a，k(3) 反比例函數 y=_(xz0)的值域為 y R R，且yM0 ;x(4) 指數函數 y= ax(a 0 且 az1)的值域為(0, +a)；(5) 對數函數 y= logax (a 0 且 a豐1, x 0)的值域為R R ;(6) 正、余弦函數的值域為1,1，正切函數的值域為 R R .2.若 f(x)A 在區間 D 上恒成立，則等價于在區間

3、D 上，f(x)minA;若不等式 f(x)B 在區間 D 上恒成立，則等價于在區間D 上，f(x)max M ; q： M 是函 數 f(x)的最小值.貝 U p 是 q 的(B)A .充分不必要條件B .必要不充分條件C .充要條件D .既不充分也不必要條件臨3 對？x R R，都有 f(x)AM = M 是函數 f(x)的最小值；M 是函數 f(x)的最小值？對? x R R，都有 f(x) M.所以 p 是 q 的必要不充分條件.3. (2016 全國卷n)下列函數中，其定義域和值域分別與函數y= 10lg x的定義域和值域相同的是(D)A . y = x B. y= lg xx1C

4、.尸2 D.尸x03 函數 y= 10lg x的定義域與值域均為(0, +m).函數 y=x 的定義域與值域均為(8,+).函數 y=lg x 的定義域為(0, +)，值域為(8,+).函數 y=2x的定義域為(8,+8)，值域為(0, + 8).1函數 y=x 的定義域與值域均為(o,+8).故選D.2x 14.函數 y= +1 的值域是(C).I IA . R R B . y|y 1, y R RC . y|y 2, y R R D. 22x 1因為 y=x+1又因為一豐0，所以 2豐2,即卩 yz2.2 x+ 1 3x+ 13x+ 1x+ 1x+15A f(x)max=2, f(x)無最

5、小值B f(X)min= 1 , f(x)無最大值C f(x)max=1, f(x)min= 1D f(x)max=1, f(x)min=0GE3 f(x) = x 1-x 的定義域為0,1,易知 y= x 與 y - 1-x 在0,1上是增函數，所以函數 f(x) = x 1-x 在0,1上是增函數，所以 f(X)max= f(1) = 1 , f(x)min= f(0) =一 1，故選 C.5 . (2018 南陽月考)已知 f(x) = x . 1 x,則(C)高頻 _-求函數的值域或最值OH 求下列函數的值域：y= x2+ 2x, x 0,3;2x+ 1y=(3)f(x)= 2x+ l

6、og3X, x 1,3.(1)因為 y= (x- 1)2+ 1, x 0,3,結合函數圖象可知，所求函數的值域為3,1.20 3)+ 7 因為尸廠所以所求函數的值域為y R R|yM2.由于 f(x)為增函數，所以 f(1) 1，所以 02,1 + x2 一所以一 1 0)，得 x=,1 t121所以 y=石t= 2(t +1) +1W2(t0)，1所以 y (-8, 2】分段函數的值域或最值數 a 的取值范圍是因為當 x 4.f(x)的值域為4 , +8),所以當 x2, a1 時，3+ logax3 + loga24,所以 loga2 1,所以 1aW2;當 0a1 時，3+ logax3

7、 + loga2，不合題意.故 a (1,2.(1,2 (1)本題主要考查單調性的應用，分段函數的值域等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力及分類討論能力.分段函數的值域為函數f(x)在各個段上函數值域的并集.本題 f(x)在 x2 這段的值域是4 ,+8)的子集就行 了.fx2,xW1，12.(經典真題)已知函數 軀)=&+66x1則ff( 2) = ?, f(x)的最小0 且a豐1)當 xW1 時，f(x)min= 0；當 x 1 時，f(x) = x+ - 6 2 6 6,X當且僅當 x= 6，即 X= ,6 時，等號成立.所以 f(x)mi n= 26 60對于一切 x (

8、0 ,扌成立，則 a 的最小值為( )A . 0 B25C. 2 D . 3從題目條件的切入點不同可以有多種方法求解，主要有：配方法、分離變量法,F 面用分離變量法進行求解.1因為 x (0, 2】，所以111515因為 y = x+ X 在 (0, 2】上單調遞減，在 X= 2 處取得最小值 2 所以(X + X)W5故 a 的最小值為2S3C(1)恒成立問題常轉化為最值問題.一般地，若f(x)A 在區間 D 上恒成立，則等價于在區間 D 上，f(x)minA;若不等式 f(x)B 在區間 D 上恒成立，則等價于在區間D 上,f(x)max0 ,所以 ax2+ xw1 可化為 aw文一寸1

9、1要使 aw-2-對任意 x (0,1恒成立，4設 t=-，因為 x (0,1，所以 t 1,2彳X 11a = xX 1 1令 f(x) = X2 X, x (0,1，則只需要 aw f(x)min.所以當 t = 1 時，(一 t)min= 0 ,即 X = 1 時，f(X)min= 0.所以 aw0,即實數 a 的取值范圍為(g, 0.閱時小結1 函數值的集合叫做函數的值域，值域是由定義域和對應法則所確定的，因此，在研 究函數的值域時，既要重視對應法則的作用，又要特別注意定義域對值域的制約作用.2求值域的具體方法很多，如配方法、禾 U 用函數的單調性、不等式法等，但沒有通用 的方法和固定模式，要靠在學習過程中不斷積累，抓住特點，掌握規律要記住各種基本函數的值域，總結什么結構特點的函數用什么樣的方法求值域，以及使用各種方法的注意事項，并在解決求值域問題時注意選擇最優