1、1考點測試 58 不等式選講咼考概覽本考點是高考必考知識點，題型為解答題，分值10 分，中等難度考綱研讀1 理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：|a+b|a| + |b|(a,b R);|ab|w|ac| + |cb|(a,b R)2. 會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax+b|wc；|ax+b| c；|xc| + |xb| a3通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法第T步狂刷小題*基礎練一、基礎小題1 不等式 1|x+ 1|3 的解集為()A. (0,2) B.(2,0)U(2,4)C. (4,0) D.(4,2)U(0

2、,2)答案 D解析 由一 3x+ 1 1 或 1x+ 13,得一 4x 2 或 0 x的解集是()x xA. (0,2) B.(s,0)C. (2,+s) D.(s,0)U(0,+s)答案 Ax一 2解析 由|t|t知t0，故-0,其解集為 0 x0,下面四個不等式中，正確的是()1|a+b|a| ； |a+b|b| ； |a+b|a| |b| .A.和 B .和 C .和 D .和答案 C2解析 /ab0，即a,b同號，則 |a+b| = |a| + |b| ,正確，錯誤.選C.4. 若|mx-1|0 的解集為 _ .答案 j：，+s解析 |2x+ 1| 2|x 1|0? |2x+ 1|2|

3、X 1|1? (2x+ 1)24(x 1)2? 12x3?x4,1原不等式的解集為xx；.46._ 若不等式|x1| + |x+ 3|a對任意實數x恒成立，貝 U 實數a的取值范圍為 _ .答案(一汽 4)解析由題意知(|x 1| + |x+ 3|)mina.因為 |x 1| + |x+ 3|(x 1) (x+ 3)| =4(當一 3xwi時取等號)，所以a4.二、高考小題7. (2015 山東高考)不等式|x 1| |x 5|2 的解集是()A.(汽 4) B.(s,1) C.(1,4) D.(1,5)答案 A解析 當x1 時，原不等式等價于1 x (5 x)2，即一 42,.x1;2當 K

4、XW5時，原不等式等價于x 1 (5 x)2，即x4,.1Wx5 時，原不等式等價于x 1 (x 5)2，即 42，無解.綜合知 x4.選 A.& (2015 重慶高考)若函數f(x) = |x+ 1| + 2|xa|的最小值為 5,則實數a=_答案 6 或 43x+2a1xwa,解析當aw1 時，f(x)=x2a1a 1 , - f (x)min= a 1，一a 1 = 5,a= 6 ；-3x+2a-1xw-1,當a- 1 時，f(x) = -x+ 2a+ 1 - 1a,f(x)min=a+ 1，-a+ 1 = 5,.a= 4.綜上，a=- 6 或a= 4.三、模擬小題9.(2018

5、 山東德州模擬)若關于x的不等式|x- 2| + |x+ 3| |(x- 2) - (x+ 3)| = 5，又關于x的不等式無解，所以aw5.選 C.10. (2018 重慶統考)設正數x,y,z滿足 2x+ 2y+z= 1,貝U3xy+yz+zx的最大值為_ .1答案 5解析3xy+yz+zx= 3xy+ (x+y)z= 3xy+ (x+y) 1 -2(x+y) = 3xy+ (x+y)-2322525；221 12(x+y)w4(x+y)+(x+y)-2(x+y)=-4(x+y)+(x+y)= -4 |(x+y),+5W-5.當11且僅當x=y=z= 5 時等號成立，即 3xy+yz+zx

6、取得最大值 5 .第2步彳精做大題能力練卜、高考大題1 . (2018 全國卷I)已知f(x) = |x+ 1| - |ax- 1| .(1) 當a= 1 時，求不等式f(x)1 的解集；(2) 若x (0 , 1)時不等式f(x)x成立，求a的取值范圍.解(1)當a= 1 時，f(x) = |x+ 1| -|x- 1| ,L 2,xw-1,即f(x) = 12x,- 1x 1.1故不等式f(x)1 的解集為xx24當x (0 , 1)時 Ix+ 1| - |ax- 1|x成立等價于當x (0 , 1)時 lax-1| 1,不符合題意；52若a0, |ax 1|1 的解集為 0 xa2所以-1

7、,故 00的解集；若f(x) 1,求a的取值范圍.2x+ 4,x 1,解當a= 1 時，f(x) = 2, 12.可得f(x)0的解集為x| 2 4.而|x+a| + |x 2| |a+ 2|，且當x= 2 時等號成立.故f(x)4.由|a+2|4可得a2,所以a的取值范圍是(一m, 6U2 ,+).3. (2018 全國卷川)設函數f(x) = |2x+ 1| + |x 1| .(1)畫出y=f(x)的圖象；6當x 0 ,+),f(x) ax+b,求a+b的最小值.13x,x,1x+ 2, x 1.y=f(x)的圖象如圖所示.(1)f(x)=7(2)由(1)知，y=f(x)的圖象與y軸交點的

8、縱坐標為 2，且各部分所在直線斜率的最大 值為 3,故當且僅當a3且b2時，f(x)wax+b在x 0 ,+)上成立，因此a+b的 最小值為 5.4.(2017 全國卷I)已知函數f(x) =-x+ax+ 4,g(x) = |x+ 1| + |x- 1| .(1) 當a= 1 時，求不等式f(x) g(x)的解集；(2) 若不等式f(x) g(x)的解集包含1, 1，求a的取值范圍.解(1)當a= 1 時，不等式f(x) g(x)等價于2xx+|x+1|+|x1|4W0.2當xv1 時，式化為x 3x 40,無解；當一 1wxwi時，式化為x2x 2w0,從而一 1wx 1 時，式化為x2+x

9、4 0,從而 1vxg(x)的解集包含1, 1等價于當x 1, 1時，f(x) 2. 又f(x)在1,1的最小值必為f( 1)與f(1)之一，所以f( 1)2且f(1) 2,得一 1waw1.所以a的取值范圍為1, 1.5. (2017 全國卷n)已知a0,b0,a3+b3= 2.證明：55(1) (a+b)(a+b) 4；(2)a+bw2.證明 (1)(a+b)(a5+b5) =a6+ab5+a5b+b6所以f(x) g(x)的解集為x1Wxw1 +1728=(a3+b3)2 2a3b3+ab(a4+b4)2 2 2=4+ab(ab) 4.(2)因為(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2

10、+b3= 2+ 3ab(a+b)233$a+b3e+bw2+(a+b)=2+44所以(a+b)3w8,因此a+b2.二、模擬大題6. (2018 河南豫南九校聯考)已知函數f(x) = |x+ 1| + |X 3| .(1) 若關于x的不等式f(x)a有解，求實數a的取值范圍；(2) 若關于x的不等式f(x)f(x)min,2x 2,x3,f(x) = 4, 1wxw3,繪制函數f(x)的圖象如圖所示，觀察函數的圖象，可得【2-2x,xv -1,實數a的取值范圍是(4 ,+).解法二：f(x) = Ix+ 1| + |x 3| |(x+ 1) (x 3)| = 4,當且僅當一 1wxW3時，f

11、(x) 取得最小值 4.關于x的不等式f(x)4,即實數a的取值范圍是(4 ,+).(2)由題意可得x=7是方程|x+ 1| + |x 3| =a的解，據此有a= + 1 +7 3 = 5,求解37絕對值不等式|x+ 1| + |x 3|5 可得2x2ab+ 4bc,31所以ab+ 2bc 3(2 ab+a+b)= 3(a+b)= 3,1當且僅當a=b= 2 時取等號，a2b21b+刁的最小值為 3所以f(x)=畫出圖象如圖.1x+2,xw 2,13x,21,119. (2018 山西晉中二模)已知函數f(x) = |x+ 1| .(1)若？xo R,使不等式f(xo 2) f(xo 3) u

12、成立，求滿足條件的實數已知t為集合M中的最大正整數，若al,bl,cl，且(a 1)(b 1)(c 1) =t,求證：abc 8.-1,xw1,解(1)由已知得f(x 2) f(x 3) = |x 1| |x 2| = 2x 3, 1vxv2,則一1 ,x2,1Wf(x)w1,由于？xo R,使不等式|xo 1| |xo 2| u成立，所以uw1,即卩 M= u|uw1.(2)證明：由(1)知t= 1,則(a 1)(b 1)(c 1) = 1,因為a1,b1,c1，所以a 10,b 10,c 10,則a= (a 1) +12a 10(當且僅當a= 2 時等號成立)，b= (b 1) +12b 10(當且僅當b= 2 時等號成立)，c= (c 1) +12c 10(當且僅當c= 2 時等號成立)，則abc8a 1b 1c 1 = 8(當且僅當a=b=c= 2 時等號成立).10. (2018 河南鄭州二模)已知函數f(x) = |2x+ 1| ,g(x) = |x| +a.(1) 當a= 0 時，解不等式f(x) g(x);(2) 若存在x R,使得f(x)wg(x)成立，求實數a的