1、第 章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)函數(shù)及其表示考綱傳真1了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域； 了解映射的概念 2 在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒? (如圖像法、 列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用( (函數(shù)分段不超 過(guò)三段).1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè) A，B 是兩個(gè)非空的數(shù)集設(shè) A，B 是兩個(gè)非空的集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f: A B如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，對(duì)于集 合A 中任何一個(gè)數(shù) X,在集合 B 中都存在唯一確定的數(shù) f(x)與之 對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，使對(duì)于集合 A 中的每一個(gè)元 素 x，B 中總有唯一一個(gè)元素

2、 y 與之對(duì)應(yīng)名稱稱 f: A B 為從集合 A 到集合 B的一個(gè)函數(shù)稱 f: A B 為從集合 A 到集合B 的一個(gè)映射記法函數(shù) y= f(x)，x A映射：f: A B2函數(shù)的有關(guān)概念(1) 函數(shù)的定義域、值域在函數(shù) y= f(x), x A 中，自變量 x 的取值范圍( (數(shù)集 A)叫做函數(shù)的定義域;函數(shù)值的集合f(x)lx A叫做函數(shù)的值域.(2) 函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值 _(3) 相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這 兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).(4) 函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.3.分段函數(shù)課刖知識(shí)全通關(guān)(1) 若函數(shù)在其定

3、義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的 式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2) 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù) 的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).常用結(jié)論求函數(shù)定義域的依據(jù)(1) 整式函數(shù)的定義域?yàn)?R ；(2) 分式的分母不為零；(3) 偶次根式的被開(kāi)方數(shù)不小于零；(4) 對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；(5) 正切函數(shù) y= tan x 的定義域?yàn)?jx x kn+2，k Zr；(6) x中XM0；(7) 實(shí)際問(wèn)題中除要考慮函數(shù)解析式有意義外，還應(yīng)考慮實(shí)際問(wèn)題本身的要求.基礎(chǔ)自測(cè)1.(思考辨析) )判斷下列結(jié)論的正誤.(

4、(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”)(1) 函數(shù)是特殊的映射.( () )(2) 函數(shù) y= 1 與 y= x0是同一個(gè)函數(shù).( () )(3) 與 x 軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖像至多有一個(gè)交點(diǎn).( () )(4) 分段函數(shù)是兩個(gè)或多個(gè)函數(shù).( () )答案“(2)x(3)V(4)x_ 12.(教材改編) )函數(shù) y= , 2x- 3+的定義域?yàn)? () )x 33A2，+TB.(-x,3) )u(3,+x)C.2,3fU(3,+x)D.(3,+x)2x30,3C 由題意知解得 x2且XM3.x 3 工 0,2X2+ 1,X 1,XB. 3132i2i2(13D f(3) 3,f(f(3)f3

5、 3+1 9，故選 D.4.下列函數(shù)中，與函數(shù) y=X+1 是相等函數(shù)的是( () )A. ( 2,1)A. y= (X+1)22_X “B. y= X3+ 1D. y= x2+1B y=3X3+ 1=X+1,且函數(shù)定義域?yàn)?R，故選 B.5已知函數(shù) f(x)“2X+1，若 f(a) = 5,則實(shí)數(shù) a 的值為_(kāi).12 由 f(a) = 5 得 2a+ 1 = 5,解得 a= 12.題型至突破考點(diǎn)全面課堂方法簡(jiǎn)潔K J A N la 118311求函數(shù)的定義域【例(1)(2019 黃山模擬) )函數(shù) y=X2 x+ 2InX的定義域?yàn)?B . 2,1D . (0,1C. (0,1)(2) 若函

6、數(shù) y= f(x)的定義域?yàn)?,2, J 則函數(shù) g(x) = 傘的定義域是_ .(3) 已知函數(shù) y= f(x2-1)的定義域?yàn)?,3，貝 U 函數(shù) y= f(x)的定義域?yàn)?2十一 x x+ 2 0(1) C (2)0,1) (3) 1,2由題意得 In XH0，解得 0vxvx 01,故選 C (2) 由 0W2x2,得 0Wx1,又 x1 工 0,即XM1,所以 0wx1，即 g(x)的定義域?yàn)?,1).(3) 由函數(shù) y= f(x2 1)的定義域?yàn)?, 3得Kx2 K 2,即函數(shù) y= f(x)的定義域?yàn)?,2.規(guī)律方法常見(jiàn)函數(shù)定義域的類型及求解策略(1) 已知函數(shù)解析式，構(gòu)造使解析

7、式有意義的不等式( (組)求解.(2) 實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式( (組)求解.(3) 抽象函數(shù)：1若已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閍, b,其復(fù)合函數(shù) f(g(x)的定義域由不等式a g(x) b 求出；2若已知函數(shù) f(g(x)的定義域?yàn)閍, b,則 f(x)的定義域?yàn)?g(x)在 x a, b時(shí)的值域；3已知 f(x)定義域?yàn)閙, n,求 fh(x)定義域，先求x)值域a, b ,令a h(x) 0,3x+ 1 0,k7XV1,解得1lx 3,xv1，故選 A.(2)vf(2x)的定義域?yàn)?,1,2x 1),所以 f(x) = x2 1(x 1). (配湊法) )f

8、( Jx+ 1) = x+ 2 , x= ( x+ 1)2 1,又 x+ 1 1,:.f(x)= x2 1(x 1).(2)vf(x)是一次函數(shù)，:.設(shè) f(x) = kx+ b(kM0),由 2f(x1) + f(x+ 1)= 6x,得2k(x 1)+ b+ k(x+1)+ b= 6x, 即 3kx k+ 3b= 6x,3k= 6,k+ 3b= 0,2 2二k= 2, b= 3,即 f(x) = 2x+ 3.由 f( x) + 2f(x)= 2x,得 f(x) + 2f( x) = 2x,X2，得 3f(x)= 2x+1 2x.2x+12x即 f(x) =3.2x+12x f(x)的解析式為

9、 f(x)=3.I題型3|?考法 1 求分段函數(shù)的函數(shù)值(1)x2 1(x 1) (2)2x+ 2 (3)2x+12x3(1)(換元法) )設(shè) x+ 1 = t(t 1),則分段函數(shù)|a 0,B(2)D(1)由訃2得 2= 2,I 例 3】( (1)若 f(x)= T，瘁 lOgX, x 0，則f f9 =()B. 3(2)已知函數(shù)2cosnxv0 f(x1) )+1,x0，則 f 3 的值為()()(1)C (2)BB.(1)f 9 = iog4=2,=f( 2)=2= 9.+ 2 = 1,故選B.?考法 2 求參數(shù)或自變量的值()A. 2B.C . 或 2D.3xb,xv1(2)設(shè)函數(shù) f

10、(x)=cxd若 f.2 , x 1,A. 1B.3C. 3D.c 若 f(a)= 2,則實(shí)數(shù) a 的值為xv0,1 或 21 或 2f5= 4,則 b=()78121 + 1 = 2cos- 3 冗+ 2= 2X(2)f 3 =f3+1=fav0,或2| a + 3= 2,53575當(dāng) 2 bv1，即卩 bQ 時(shí)，3X2b b= 4,解得 b=百(舍去) ).當(dāng)三一 b1,351即 b 1.則f1r) )A. 2B. 4C . 6D. 8x+ 1, x0, (2)(20 仃全國(guó)卷川)設(shè)函數(shù)f(x)= 0,x-1 1 的 x 的取值范圍是_.(1)C(2) ：,+x(1)法一：當(dāng) 0vav1

11、時(shí)，a+11, f(a)= a, f(a+1)= 2(a+ 1 1) = 2a.1 由 f(a) = f(a+ 1)得 a= 2a, :. a = 4.此時(shí) f a = f(4) = 2X(4 1) = 6.當(dāng) a 1 時(shí)，a+1 1, f(a)= 2(a 1), f(a+1) = 2(a+1 1)= 2a.由 f(a) = f(a+ 1)得 2(a1)= 2a,無(wú)解.綜上,fI= 6,故選 C .Ix1.,5、=f5-解得 a= 2 或 a= 1,故選 B.掃馬墻辛法二：當(dāng) 0vxv1 時(shí)，f(x)= x,為增函數(shù)，當(dāng) x 1 時(shí)，f(x) = 2(x 1)，為增函數(shù)，又 f(a) = f(

12、a+ 1)，a= 2(a +1 1)，1a=4.1-fa 二 f(4)二 6.1 1(2)當(dāng) x1，解得 x 4，1門： x 0.41x1當(dāng) 01，顯然成立.當(dāng) x2 時(shí)，原不等式為 2 + 2x 21，顯然成立.綜上可知，x 的取值范圍是 1，+ .規(guī)律方法1求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域 的哪一個(gè)子集，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.2.已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析 式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取 值范圍.易錯(cuò)警示：當(dāng)分段函數(shù)自變量的范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類

13、討論.1+ logp( (2 x) ), x 1,B. 612Iog2x,(2)已知函數(shù) f(x)2-X + mA. 1C., 3x1e , x 1,(1) C (2)D (3)( -, 8 (1)T2(2 + 2)= 1 + Iog24= 1 + 2= 3.Tlog121, f(log12)= 2log12 1 =務(wù) 6. f( 2) + f(log12) = 3+ 6 = 9故選 C.(2) f(f( 1)= f(1 + m2)= log(1 + m2) = 2, m2= 3,解得 m= + 3,故選 D.當(dāng) x1 時(shí)，x10, ex1e0= 1 2,當(dāng) x1 時(shí)滿足 f(x) 1 時(shí)，2, x 23= 8,二 1x1, ,XV1若 f(f( 1) = 2,則實(shí)數(shù) m 的值為( (B. 1 或1D.3 或3則使得 f(x) 1,真題自主驗(yàn)效果近年考題感悟規(guī)律C.A 分類討論處理?xiàng)l件 f(a)二3,解得 a,然后代入函數(shù)解析式計(jì)算 f(6 a).由于 f(a) = 一 3,1若 a0,所以 2a1= 1 無(wú)解；2若 a1,則一 Iog2( (a+ 1)=