1、1第八章 多元函數微分法及其應用復習題及解答(A)(A)處處連續；(C)(C)僅在(0,00,0)點連續;(B)(B)處處有極限，但不連續；(D)(D)除(0,00,0)點外處處連續、選擇題；(D)(D)存在且不等于 0 0 或C C)3 3、設函數，則f(x,y)(提示：在x20，f (x, y)處處連續；在xr 0, yr 0，令y = kx，kx2lim -y. x2 k2x2kx=I% .2= 0 = f (0,0)，故在x2y 0，函數亦連續。所以,t 山+kf (x, y)在整個定義域內處處連續。)23函數在點處具有偏導數是它在該點存在全微分的(A)(A)必要而非充分條件;(B)(

2、B)充分而非必要條件;(C)(C)充分必要條件;(D)(D)既非充分又非必要條件則設5 547 7、若z = In( . x - . y)，則x yexcy(A).、x . y;(B)、.x . y;(C)-;2x8 8、設z = arctan,x=u v,y=uv，貝U zuzv二y(D)(D)1010、設(A(A )極大值點但非最大值點;(C)(C)極小值點但非最小值點;(B(B)極大值點且是最大值點;(D)(D)極小值點且是最小值點。2u -vv -u(C(C)u -v(B)(B)29 9、2 (A(A) )2(A)(A) 2 2 ;(B)(B) 1+ln21+ln2 ;(C)(C) 0

3、 0 ;1111、則點(D)(D) 1 1(D(D)， 則5、填空題1 1 極限2 2、極限不夠，無法判定。(D(D)條件( (B B )點3 3、函數的定義域為64 4、函數的定義域為5 5、設函數，則6 6、設函數，則答:2 2x - y2x5十占）設1 1, -1 1)7三、計算題1 1、求下列二元函數的定義域，并繪出定義域的圖形(1)(1)z-、1 -x-yz = I n(x y)z -In (x + y)z = In(xy _1)解：要使函數z =-2 2 2 2 2 2-x -y有意義，必須有1 X 目-0，即有x y 1. .故所求函數的定義域為D =( x, y) | x2y2

4、_1, ,圖形為圖 3.13.1要使函數z 7 n( x y)有意義，必須有xy . 0. .故所有函數的定義域為D =：(x, y) | x y 0?，圖形為圖 3.23.21要使函數z一有意義，必須有In(x y) = 0,即卩x y . 0且x y = 1. .In( x + y)故該函數的定義域為.(x,y)|x y 0, x y =1，圖形為圖 3.33.3要使函數z =ln(xy -1)有意義，必須有xy-10. .故該函數的定義域為D=(x, y)|xy 1，圖形為圖 3.43.4圖3.1x+y=0 x+y=1%x+y=0圖3.3圖3.2y1/y=1/x1x *圖3.482 2、

5、求極限4 4、設，求解:9四、應用題1 1、某工廠生產兩種產品甲和乙，出售單價分別為 1010 元與 9 9 元，生產x單位的產品甲與生產y單位的產品乙的總費用是400 2x 3y 0.01(3x2xy 3y2)元，求取得最大利潤時，兩種產品的產量各為多少？解：L(x,y)表示獲得的總利潤，則總利潤等于總收益與總費用之差，即有利潤目標函數L(x,y) =(10 x 9y) -400 2x 3y 0.01(3x2xy 3y2)2 2=8x 6y -0.01(3x xy 3y ) -400, (x 0, y 0)，L；=80.01(6x+ y) =0令，解得唯一駐點(120120，8080). .

6、L；=6_0.01(x+6y) =0又因A = Lxx- -0.06：0,B =Lxy- -0.01, C = Lyy- -0.06，得2_3AC - B =3.5 100. .得極大值L(120,80) =320. .根據實際情況，此極大值就是最大值故生產120120 單位產品甲與 8080 單位產品乙時所得利潤最大 320320 元. .五、證明題1-1)1 1、設z=ex y求證x23 y2/ =2z ,excy氐4丄*y1z-(-+1)1證明：因為仝二ex y$ . 3二ex y氣.所以:xx2: yy2x2冬+y2=理+e=2z:x一y2 2 .設2sin(x 2y3z) =x 2y3z證明=1ex cy證明：設F(x y z) =2sin(x 2y-3z)x-2y 3乙貝UFx=2cos(x 2y-3z) -1Fy=2cos(x 2y-3z)2-2=2FxFz=2cos(x 2y-3z) (-3) 3=-3Fx .10 ZFxFx1:zFy2Fx_ 2.xFz- 3Fx3；：yFz-3Fx3于是yWzW討3 3、設x=x(y .z) .y=