1、2016-2017學年天津市五校（寶坻一中、靜海一中、楊村一中、蘆臺一中、薊縣一中）高三（上）期末數學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）已知集合A=1，4，B=y|y=log2x，xA，則AB=（）A1，4B0，1，4C0，2D0，1，2，42（5分）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=x2y的最小值為（）AB3C0D13（5分）閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出v的值為（）A4B5C6D74（5分）已知ABC是鈍角三角形，若AC=1，BC=2，且ABC的面積為，則AB=（）ABCD35（5分）設an是公比為q的等比數列，則“q1”是“an為單調遞

2、增數列”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6（5分）已知雙曲線的焦點的漸近線的距離為2，且雙曲線的一條漸近線與直線x2y+3=0平行，則雙曲線的方程為（）ABCD7（5分）在ABC中，D在AB上，AD：DB=1：2，E為AC中點，CD、BE相交于點P，連結AP設=x+y（x，yR），則x，y的值分別為（）ABCD8（5分）已知f（x）=（x23）ex（其中xR，e是自然對數的底數），當t10時，關于x的方程f（x）t1f（x）t2=0恰好有5個實數根，則實數t2的取值范圍是（）A（2e，0）B（2e，0C2e，6e3D（2e，6e3）二、填空題（共6小題，每

3、小題5分，滿分30分）9（5分）已知a，bR，i是虛數單位，若（12i）（2+ai）=b2i，則a+b的值為10（5分）在的展開式中，x3的系數為（用數字作答）11（5分）某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是12（5分）在平面直角坐標系xOy中，由曲線與直線y=x和y=3所圍成的封閉圖形的面積為13（5分）在直角坐標系xOy中，已知曲線（t為參數），曲線（為參數，a1），若C1恰好經過C2的焦點，則a的值為14（5分）已知，若方程f（x）=kx有且僅有一個實數解，則實數k的取值范圍為三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）已知函數（1）求f（x）的最小正周期；（2）當時，

4、f（x）的最小值為2，求a的值16（13分）某區(qū)選派7名隊員代表本區(qū)參加全市青少年圍棋錦標賽，其中3名來自A學校且1名為女棋手，另外4名來自B學校且2名為女棋手從這7名隊員中隨機選派4名隊員參加第一階段的比賽（1）求在參加第一階段比賽的隊員中，恰有1名女棋手的概率；（2）設X為選出的4名隊員中A、B兩校人數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望17（13分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ABAD，ADBC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，側棱PA平面ABCD（1）求證：平面PDE平面PAC；（2）若PAB為等腰直角三角形（i）求直線PE與平面PAC所成

5、角的正弦值；（ii）求二面角APCD的余弦值18（13分）已知數列an的前n項和，數列bn的前n項和為Bn（1）求數列an的通項公式；（2）設，求數列cn的前n項和Cn；（3）證明：19（14分）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B，若BF1F2的周長為6，且點F1到直線BF2的距離為b（1）求橢圓C的方程；（2）設A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點，點P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點，直線A1P交直線x=m于點M，若以MP為直徑的圓過點A2，求實數m的值20（14分）已知函數，函數f（x）的圖象記為曲線C（1）若函數f（x）在0，+）上單調遞增，求c的取值范圍；（2）若函數y

6、=f（x）m有兩個零點，（），且x=為f（x）的極值點，求2+的值；（3）設曲線C在動點A（x0，f（x0）處的切線l1與C交于另一點B，在點B處的切線為l2，兩切線的斜率分別為k1，k2，是否存在實數c，使得為定值？若存在，求出c的值；若不存在，說明理由2016-2017學年天津市五校（寶坻一中、靜海一中、楊村一中、蘆臺一中、薊縣一中）高三（上）期末數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1（5分）（2016秋天津期末）已知集合A=1，4，B=y|y=log2x，xA，則AB=（）A1，4B0，1，4C0，2D0，1，2，4【分析】先分別求出集合A和B

7、，由此能求出AB【解答】解：集合A=1，4，B=y|y=log2x，xA=0，2，AB=0，1，2，4故選：D【點評】本題考查并集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意并集定義的合理運用2（5分）（2016秋天津期末）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數z=x2y的最小值為（）AB3C0D1【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義求解最小值即可【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由，解得A（，），由z=x2y得：y=xz，平移直線y=x，結合圖象直線過A（，）時，z最小，z的最小值是：，故選：A【點評】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數形結合思想，是一道中檔題3（5分

8、）（2016秋天津期末）閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出v的值為（）A4B5C6D7【分析】模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的v，i的值，當i=1時不滿足條件i0，退出循環(huán)，輸出v的值為6【解答】解：模擬程序的運行，可得n=2，a0=1，a1=2，a2=3，v=3，i=1滿足條件i0，執(zhí)行循環(huán)體，v=5，i=0滿足條件i0，執(zhí)行循環(huán)體，v=6，i=1不滿足條件i0，退出循環(huán)，輸出v的值為6故選：C【點評】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的應用，當循環(huán)次數不多或由規(guī)律時，常采用模擬運行程序的方法來解決，屬于基礎題4（5分）（2016秋天津期末）已知ABC是鈍角三角形，若AC=1，B

9、C=2，且ABC的面積為，則AB=（）ABCD3【分析】根據題意和三角形的面積公式求出sinC的值，由內角的范圍、特殊角的正弦值求出角C，再分別利用余弦定理求出AB的值，并利用余弦定理驗證是否符合條件【解答】解：由題意得，鈍角三角形ABC，若AC=1，BC=2，且ABC的面積為，則×sinC=，解得sinC=，由0C得，C=或，當C=時，由余弦定理得：AB2=AC2+BC22ACBCcosC=1+42×1×=3，AB=，則A是最大角，cosA=0，則A是直角，這與三角形是鈍角三角形矛盾，所以C=，則AB2=AC2+BC22ACBCcosC=1+4+2×1

10、×=7，則AB=，故選：B【點評】本題考查余弦定理及其變形，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，注意內角的范圍，考查化簡、計算能力5（5分）（2016秋薊縣期末）設an是公比為q的等比數列，則“q1”是“an為單調遞增數列”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據等比數列的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可得到結論【解答】解：等比數列1，2，4，滿足公比q=21，但an不是遞增數列，充分性不成立若an=1（）n1為遞增數列，但q=1不成立，即必要性不成立，故“q1”是“an為遞增數列”的既不充分也不必要條件，故選：D【點評】

11、本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數列的性質，利用特殊值法是解決本題的關鍵6（5分）（2016秋天津期末）已知雙曲線的焦點的漸近線的距離為2，且雙曲線的一條漸近線與直線x2y+3=0平行，則雙曲線的方程為（）ABCD【分析】利用焦點的漸近線的距離為2，雙曲線的一條漸近線與直線x2y+3=0平行，求出a，b，即可得到雙曲線方程【解答】解：雙曲線的焦點的漸近線的距離為2，可得b=2；雙曲線的一條漸近線與直線x2y+3=0平行，可得，解得a=4所求雙曲線方程為：故選：A【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計算能力7（5分）（2016秋天津期末）在ABC中，D在A

12、B上，AD：DB=1：2，E為AC中點，CD、BE相交于點P，連結AP設=x+y（x，yR），則x，y的值分別為（）ABCD【分析】由D、P、C三點共線，則存在實數使得=+（1），以及E、P、B三點共線，同理存在實數使得=+，根據平面向量基本定理即可得，解得或，再根據平面向量基本定理即可求出x，y的值【解答】解：由D、P、C三點共線，則存在實數使得=（），=（），=+（1），AD：DB=1：2，=，=+（1），由E為AC中點，由E、P、B三點共線，同理存在實數使得=+，解得=+，=x+y（x，yR），x=，y=，故選：C【點評】本題考查共線向量基本定理，以及向量的減法，以及平面向量基本定理，屬

13、于中檔題8（5分）（2016秋天津期末）已知f（x）=（x23）ex（其中xR，e是自然對數的底數），當t10時，關于x的方程f（x）t1f（x）t2=0恰好有5個實數根，則實數t2的取值范圍是（）A（2e，0）B（2e，0C2e，6e3D（2e，6e3）【分析】求出f（x）的導數，單調區(qū)間和極值，畫出f（x）的大致圖象，討論t1的范圍，確定t2的范圍，通過圖象即可得到所求范圍【解答】解：f（x）=（x23）ex的導數為f（x）=（x2+2x3）ex=（x1）（x+3）ex，當3x1時，f（x）0，f（x）遞減；當x1或x3時，f（x）0，f（x）遞增可得f（x）的極小值為f（1）=2e，極大

14、值為f（3）=6e3，作出y=f（x）的圖象，如圖：當t10時，關于x的方程f（x）t1f（x）t2=0恰好有5個實數根，即為f（x）=t1或f（x）=t2恰好有5個實數根，若t16e3，f（x）=t1只有一個實根，不合題意；若0t16e3，f（x）=t1有三個實根，只要2et20，滿足題意；若t1=6e3，f（x）=t1有兩個實根，只要0t26e3，滿足題意；綜上可得，t2的范圍是（2e，6e3）故選：D【點評】本題考查函數和方程的轉化思想，考查數形結合思想方法運用，以及導數的運用：求單調區(qū)間和極值，屬于中檔題二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）（2016秋天津期末）已知

15、a，bR，i是虛數單位，若（12i）（2+ai）=b2i，則a+b的值為8【分析】利用復數代數形式的乘法運算化簡，再由復數相等的充要條件列出方程組，求解即可得答案【解答】解：（12i）（2+ai）=（2+2a）+（a4）i=b2i，解得則a+b的值為：8故答案為：8【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數相等的充要條件，是基礎題10（5分）（2016秋天津期末）在的展開式中，x3的系數為24（用數字作答）【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于3，求出r的值，即可求得x3的系數【解答】解：的展開式的通項公式為Tr+1=（4x2）6r（）r=（1）r46rx123r，令12

16、3r=3，解得r=5，展開式中x3的系數為24故答案為24【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題11（5分）（2016秋天津期末）某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的三棱柱，代入棱柱表面積公式，可得答案【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的三棱柱，底面面積為：×2×4=4，底面周長為：2+4+=6+2，故棱柱的表面積S=2×4+4×（6+2）=，故答案為：【點評】本題考查的知識點是棱柱的體積和表面積，棱

17、錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度基礎12（5分）（2016秋天津期末）在平面直角坐標系xOy中，由曲線與直線y=x和y=3所圍成的封閉圖形的面積為4ln3【分析】由題意，由曲線與直線y=x和y=3所圍成的封閉圖形的面積為+，即可得出結論【解答】解：由題意，由曲線與直線y=x和y=3所圍成的封閉圖形的面積為+=（3xlnx）+2=4ln3故答案為4ln3【點評】本題考查封閉圖形的面積的計算，考查定積分知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題13（5分）（2016秋天津期末）在直角坐標系xOy中，已知曲線（t為參數），曲線（為參數，a1），若C1恰好經過C2的焦點，則a的值為【分析】

18、求出曲線C1的普通方程為x2y2=4，曲線C2的普通方程為=1，a1，由此能求出結果【解答】解：曲線（t為參數），曲線（為參數，a1），曲線C1的普通方程為x2y2=4，曲線C2的普通方程為=1，a1，C1恰好經過C2的焦點（，0），a21=4，解得a=故答案為：【點評】本題考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數方程、普通方程的互化及橢圓、雙曲線性質的合理運用14（5分）（2016秋天津期末）已知，若方程f（x）=kx有且僅有一個實數解，則實數k的取值范圍為（，e）【分析】畫出分段函數與y=kx的圖象，利用方程f（x）=kx有且僅有一個實數解，判斷看的范圍即可【解答】解：，若方

19、程f（x）=kx有且僅有一個實數解，就是分段函數與y=kx的圖象只有一個交點，如圖：顯然k小于OA的斜率時滿足題意，y=ex，x1，導函數為y=ex，是增函數，當x=1時函數取得最小值，此時OA的斜率最小，最小值為：e，可得ke故答案為：（，e）【點評】本題考查函數的零點的求法，導數的應用，函數的單調性與導數的關系，考查計算能力三、解答題（共6小題，滿分80分）15（13分）（2016秋天津期末）已知函數（1）求f（x）的最小正周期；（2）當時，f（x）的最小值為2，求a的值【分析】（1）利用二倍角、輔助角公式，化簡函數，即可求f（x）的最小正周期；（2）當時，2x+，利用f（x）的最小值為2

20、，求a的值【解答】解：（1）函數=，（4分）f（x）的最小正周期為；（2）當時，2x+，f（x）的最小值為1+a+1=2，a=2【點評】本題考查二倍角、輔助角公式，化簡函數，考查函數的性質，屬于中檔題16（13分）（2016秋天津期末）某區(qū)選派7名隊員代表本區(qū)參加全市青少年圍棋錦標賽，其中3名來自A學校且1名為女棋手，另外4名來自B學校且2名為女棋手從這7名隊員中隨機選派4名隊員參加第一階段的比賽（1）求在參加第一階段比賽的隊員中，恰有1名女棋手的概率；（2）設X為選出的4名隊員中A、B兩校人數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望【分析】（）利用古典概型的概率求解方法求出概率即可；（）

21、求出隨機變量X的所有可能取值，求出相應的概率，得到X的分布列，然后求解數學期望【解答】解：（ I）由題意知，7名隊員中分為兩部分，3人為女棋手，4人為男棋手，設事件A=“恰有1位女棋手”，則，（4分）所以參加第一階段的比賽的隊員中，恰有1位女棋手的概率為（5分）（ II）隨機變量X的所有可能取值為0，2，4其中，（9分）所以，隨機變量X分布列為X024P隨機變量X的數學期望（13分）【點評】本題考查離散型隨機變量的分布列，期望的求法，考查古典概型概率的求法，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題17（13分）（2016秋天津期末）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ABAD，A

22、DBC，AD=BC=2，E在BC上，且BE=AB=1，側棱PA平面ABCD（1）求證：平面PDE平面PAC；（2）若PAB為等腰直角三角形（i）求直線PE與平面PAC所成角的正弦值；（ii）求二面角APCD的余弦值【分析】（1）由ABPA，ABAD，建立建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面PDE平面PAC（2）（i）求出平面PAC的一個法向量和，利用向量法能求出直線PE與平面PAC所成角的正弦值（ii）求出平面PCD的一個法向量，利用向量法能求出二面角APCD的余弦值【解答】（本小題滿分13分）證明：（1）PA平面ABCD，ABPA， 又ABAD，故可建立建立如圖所示坐標系由已知D（0，2

23、，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，），（0）=（2，4，0），=（0，0，），=（2，1，0），=44+0=0，（3分），DEAC，DEAP，ED平面PAC，ED平面PDE，平面PDE平面PAC（4分）解：（2）（i）由（1）得，平面PAC的一個法向量是=（2，1，0），PAB為等腰直角三角形，故PA=2，設直線PE與平面PAC所成的角為，則=，直線PE與平面PAC所成角的正弦值為（8分）（ii）設平面PCD的一個法向量為=（x，y，z），=（2，2，0），=（0，2，2），則，令x=1，則=（1，1，1），（10分）cos=（11分）二面角APCD的平面角是銳角，二面角

24、APCD的余弦值為（13分）【點評】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值和二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用18（13分）（2016秋薊縣期末）已知數列an的前n項和，數列bn的前n項和為Bn（1）求數列an的通項公式；（2）設，求數列cn的前n項和Cn；（3）證明：【分析】（1）當n2時，利用an=AnAn1可得an=2n1，再驗證n=1的情況，即可求得數列an的通項公式；（2）由題意知：，利用錯位相減法即可求得數列cn的前n項和Cn；（3）利用基本不等式可得，可得Bn=b1+b2+bn2n；再由bn=，累加可，于是可證明：【解答】（本小題滿分13分

25、）解：（ I）當n2時，兩式相減：an=AnAn1=2n1；當n=1時，a1=A1=1，也適合an=2n1，故數列an的通項公式為an=2n1；（3分）（ II）由題意知：，Cn=c1+c2+cn，兩式相減可得：，（4分）即，（7分）（ III），顯然，即bn2，Bn=b1+b2+bn2n； （9分）另一方面，即，即：2nBn2n+2（13分）【點評】本題考查數列遞推式的應用，突出考查錯位相減法求和與累加法求和的綜合運用，考查推理與運算能力，屬于難題19（14分）（2016秋天津期末）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為B，若BF1F2的周長為6，且點F1到直線BF2的距離為b（1）

26、求橢圓C的方程；（2）設A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點，點P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點，直線A1P交直線x=m于點M，若以MP為直徑的圓過點A2，求實數m的值【分析】（）由已知列出方程，求出a，b，即可得到橢圓方程（）由題意知A1（2，0），A2（2，0），設P（x0，y0），求出M坐標，由點P在橢圓上，以MP為直徑的圓過點A2，則，求出x0±2然后求解m即可【解答】（本小題滿分14分）解：（）由已知得，解得所以橢圓C的方程為（5分）（）由題意知A1（2，0），A2（2，0），（6分）設P（x0，y0），則，得且由點P在橢圓上，得（8分）若以MP為直徑的圓過點A2，則，（

27、9分）所以.（12分）因為點P是橢圓C上不同于A1，A2的點，所以x0±2所以上式可化為，解得m=14（14分）【點評】本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系，向量的數量積的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用20（14分）（2016秋天津期末）已知函數，函數f（x）的圖象記為曲線C（1）若函數f（x）在0，+）上單調遞增，求c的取值范圍；（2）若函數y=f（x）m有兩個零點，（），且x=為f（x）的極值點，求2+的值；（3）設曲線C在動點A（x0，f（x0）處的切線l1與C交于另一點B，在點B處的切線為l2，兩切線的斜率分別為k1，k2，是否存在實數c，使得為定值？若存在，求出c的值；若不存在，說明理由【分析】法一：（1）求出函數的導數，根據x=1是函數的最小值點，得到關于c的不等式，解出即可；（2）求出c=2+2，根據f（）=f（）得：，從而求出和的關系；（3）求出函數f（x）的導數，得到x+2x03=0，即B點的橫坐標為32x0所以過點B的曲線的切線斜率，根據k1，k2的值，作商即可法二：（1）求出函數的導數，分離參數c，根據函數的單調性求出c的范圍即可；（2）根據根與關系判斷即可；（3）分別求出k1，k2的值，作商即可【解答】解法一：（1）f'（x