1、一、重點與難點一、重點與難點二、主要內容二、主要內容三、典型例題三、典型例題第一章概率論的基本概念第一章概率論的基本概念習習 題題 課課一、重點與難點一、重點與難點 1.重點重點 隨機事件的概念隨機事件的概念 古典概型的概率計算方法古典概型的概率計算方法 概率的加法公式概率的加法公式 條件概率和乘法公式的應用條件概率和乘法公式的應用 全概率公式和貝葉斯公式的應用全概率公式和貝葉斯公式的應用 2.難點難點 古典概型的概率計算全概率公式的應用古典概型的概率計算全概率公式的應用 二、主要內容二、主要內容隨機隨機現象現象隨機隨機試驗試驗事件的事件的獨立性獨立性隨隨 機機 事事 件件基本事件基本事件必然

2、事件必然事件對立事件對立事件概概 率率古典古典概型概型幾何幾何概率概率乘法乘法定理定理事件的關系和運算事件的關系和運算全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式性質性質定義定義條件條件概率概率不可能事件不可能事件復合事件復合事件 在一定條件下可能出現也可能不出現的現象在一定條件下可能出現也可能不出現的現象稱為稱為隨機現象隨機現象. 隨機現象隨機現象 可以在相同的條件下重復地進行可以在相同的條件下重復地進行; 每次試驗的可能結果不止一個每次試驗的可能結果不止一個,并且能事并且能事先明確試驗的所有可能結果先明確試驗的所有可能結果; 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果進行一次試驗之前不能確定哪一個

3、結果會出現會出現. 在概率論中，把具有以下三個特征的試驗稱在概率論中，把具有以下三個特征的試驗稱為為隨機試驗隨機試驗. 隨機試驗隨機試驗 o1o2o3 樣本空間的元素樣本空間的元素 ,即試驗即試驗E 的每一個結果的每一個結果, 稱為稱為樣本點樣本點. 隨機試驗隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱的所有可能結果組成的集合稱為為樣本空間樣本空間,記為記為 S. 隨機試驗隨機試驗 E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集稱為的子集稱為 E 的的隨機事件隨機事件, 簡稱簡稱事件事件. 隨機事件隨機事件 o1o2o3不可能事件不可能事件 隨機試驗中不可能出現的結果隨機試驗中不可能出現的結果. 必然事件的對立

4、面是不可能事件必然事件的對立面是不可能事件,不可能事件不可能事件的對立面是必然事件的對立面是必然事件,它們互稱為它們互稱為對立事件對立事件. 基本事件基本事件 由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成的單點集. 必然事件必然事件 隨機試驗中必然會出現的結果隨機試驗中必然會出現的結果. 重要的隨機事件重要的隨機事件 事件的關系和運算事件的關系和運算 .), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的樣本空間為的樣本空間為設試驗設試驗SkABASEk (1) 包含關系包含關系若事件若事件 A 出現，必然導致事件出現，必然導致事件 B 出現，則稱出現，則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A，記作，記作.B

5、AAB 或或圖示圖示 B 包含包含 A . SBA(2) A等于等于B (3) 事件事件A與與B的并的并(和事件和事件) .和和事事件件的的事事件件與與稱稱為為事事件件或或事事件件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B的并的并. SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B , 而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A, 則稱事件則稱事件 A 與事件與事件 B 相等相等,記作記作 A=B. (4) 事件事件A與與B的積事件的積事件 圖示事件圖示事件A與與B的積事件的積事件. .積事件的的事事件件與與稱稱為為事事件件且且事事件件BABxAxxBA SBA圖中圖中A和和B重疊部分重疊部分

6、.(5) 事件事件A與與B互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現必然導致事件的出現必然導致事件 B 不出現不出現 , B 出現也必然導致出現也必然導致 A 不出現不出現,則稱事件則稱事件 A 與與 B互不相互不相容容,即即 . ABBA圖示圖示 A 與與 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥） . SAB (6) 事件事件A與與B的差的差 由事件由事件A出現而事件出現而事件B不出現所組成的事件稱不出現所組成的事件稱為事件為事件A與與B的差的差.記作記作 A- B. 圖示圖示 A 與與 B 的差的差. SABSABAB AB BA BA 設設 A 表示表示 “事件事件A出現出現”

7、 , 則則 “事件事件A不出不出現現” 稱為事件稱為事件 A 的對立事件或逆事件的對立事件或逆事件. 記作記作 .A圖示圖示 A 與與 B 的對立的對立 . SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆, 則有則有 . ABSBA且且A (7) 事件事件A的對立事件的對立事件 說明說明對立事件與互斥事件的區別對立事件與互斥事件的區別 SSABABA A，B 對立對立 A，B 互斥互斥 . ABSBA且且 AB互斥互斥 對立對立 事件運算的性質事件運算的性質 .,1oBAABABBA 交換律交換律. )()(, )()(2oBCACABCBACBA 結結合合律律. )()()()(,)()()(3oCB

8、CACBCACBABCACCBCACBA 分配律分配律. ,:4oBABABABA 摩摩根根律律德德則有則有為事件為事件設設,CBA. )(,.,AfAnnAnAnnnAA并記成并記成發生的頻率發生的頻率稱為事件稱為事件比值比值頻數頻數發生的發生的稱為事件稱為事件發生的次數發生的次數事件事件試驗中試驗中次次在這在這次試驗次試驗進行了進行了在相同的條件下在相同的條件下(1)頻率的定義頻率的定義 頻率頻率 設設 A 是隨機試驗是隨機試驗 E 的任一事件的任一事件, 則則 ;1)(010 Afn;0)(, 1)(20 fSf. )()()()(,32121210knnnkkAfAfAfAAAfAAA

9、 則則是兩兩互不相容的事件是兩兩互不相容的事件若若(2)頻率的性質頻率的性質 :)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數如果集合函數的概率的概率稱為事件稱為事件記為記為賦予一個實數賦予一個實數每一事件每一事件的的對于對于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機試驗是隨機試驗設設 PAAPAESE概率的定義概率的定義 ;0)(,:10 APA 有有對對于于每每一一個個事事件件非非負負性性;1)(,:20 SPS 有有對于必然事件對于必然事件規范性規范性則則有有即即對對于于件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事設設可可列列可可加加性性, 2 , 1,:3210 jiAAjiAAji )(

10、)()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性 .0)(10 P概率的有限可加性概率的有限可加性則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,2210nAAA. )()()()(2121nnAPAPAPAAAP . )()()(, )()(,30APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個事件為兩個事件設設.1)(,40 APA對于任一事件對于任一事件概率的性質概率的性質 . )(1)(,50APA PAA 則則的的對對立立事事件件是是設設. )()()()(,)(60ABPBPAPBAPBA 有有對于任意兩事件對于任意兩事件加法公式加法公式n 個事件和的情況個事件和

11、的情況 )(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP .)2(;)1(概概型型典典驗驗稱稱為為等等可可能能概概型型或或古古具具有有以以上上兩兩個個特特點點的的試試生生的的可可能能性性相相同同試試驗驗中中每每個個基基本本事事件件發發有有限限個個元元素素試試驗驗的的樣樣本本空空間間只只包包含含定義定義 等可能概型等可能概型 (古典概型古典概型) 設試驗設試驗 E 的樣本空間由的樣本空間由n 個樣本點構成個樣本點構成, A為為E 的任意一個事件的任意一個事件,且包含且包含 m 個樣本點個樣本點, 則事件則事件 A 出現的概率記為

12、出現的概率記為: 古典概型中事件概率的計算公式古典概型中事件概率的計算公式 ,)(樣本點總數樣本點總數所包含樣本點的個數所包含樣本點的個數AnmAP 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. .)(SSAPA 幾何概型幾何概型 .,幾何概型幾何概型定的概率稱為定的概率稱為量來合理規量來合理規這樣借助于幾何上的度這樣借助于幾何上的度區域的度量區域的度量的子的子是構成事件是構成事件是樣本空間的度量是樣本空間的度量其中其中ASSA當隨機試驗的樣本空間是某個區域當隨機試驗的樣本空間是某個區域,并且任意并且任意一點落在度量一點落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區域是相同的子區域是

13、等可能的等可能的,則事件則事件A的概率可定義為的概率可定義為 條件概率條件概率 ,)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為在事件為在事件 B 發生的條件下事件發生的條件下事件 A 發生的條件概率發生的條件概率. .)()()(,0)(,條件概率條件概率發生的發生的發生的條件下事件發生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個事件是兩個事件設設BAAPABPABPAPBA (1) 條件概率的定義條件概率的定義 ; )()()()(32121210BAAPBAPBAPBAAP ;)(1)(40BAPBAP ;0)(,1)(:20 BPBSP規規范范性性則則有有是是兩兩兩兩不不相相容容的的事

14、事件件設設可可加加可可列列性性,:5210BB. )(11 iiiiABPABP;0)(:10 ABP非負性非負性(2) 條件概率的性質條件概率的性質 ,0)(121 nAAAP且且個個事事件件為為設設推推廣廣,2,21 nnAAAn則則有有且且為為事事件件設設,0)(, ABPCBA. )()()()(APABPABCPABCP . )()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn . )()()(,0)(APABPABPAP 則則有有設設乘法定理乘法定理 則則有有.,.2;, 2 , 1,1,21210021的一個劃分的一個劃分為樣本空間為樣本空

15、間則稱則稱若若的一組事件的一組事件為為的樣本空間的樣本空間為試驗為試驗設設定義定義SBBBSBBBnjiBBEBBBESnnjin 樣本空間的劃分樣本空間的劃分 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式 1B2B3B1 nBnB.)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121稱稱為為全全概概率率公公式式則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗定定理理nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE 全概率公式全概率公式 A1B2B3B1 nBnB說明說明 全概率公式的主要用處在于它可以將全概率公式的主要用處在于

16、它可以將一個復雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單一個復雜事件的概率計算問題分解為若干個簡單事件的概率計算問題事件的概率計算問題,最后應用概率的可加性求出最后應用概率的可加性求出最終結果最終結果. A1B2B3BnB1 nB貝葉斯公式貝葉斯公式 稱此為稱此為貝葉斯公式貝葉斯公式. ., 2 , 1,)()()()()(,), 2 , 1(0)(,0)(,.121niBPBAPBPBAPABPniBPAPSBBBEASEnjjjiiiin 則則且且的的一一個個劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設設試試驗驗定定理理., )()()(,獨立獨立簡稱簡稱相互獨立相互獨立則稱事件則稱事

17、件如果滿足等式如果滿足等式是兩事件是兩事件設設BABABPAPABPBA 事件事件 A 與與 B 相互獨立是指事件相互獨立是指事件 A 發生的概率發生的概率與事件與事件 B 是否出現無關是否出現無關. 說明說明 事件的相互獨立性事件的相互獨立性 (1)兩事件相互獨立兩事件相互獨立 (2)三事件兩兩相互獨立三事件兩兩相互獨立 ., )()()(, )()()(, )()()(,兩兩相互獨立兩兩相互獨立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設設CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三個事件相互獨立三個事件相互獨立 三個事件兩兩相互獨立三個事件兩兩相互

18、獨立 (3)三事件相互獨立三事件相互獨立 .,),()()()(, )()()(, )()()(, )()()(,相相互互獨獨立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是三三個個事事件件設設CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA , )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨獨立立的的事事件件則則稱稱nAAAn 個事件相互獨立個事件相互獨立 n個事件兩兩相互獨立個事件兩兩相互獨立 有有等等式式具具任任意意意意如如果果對對于于任任個個事事件件是是設設推推廣廣,1,)1(,2121niiinkknAAAkn . )(

19、)(,. 0)(,反反之之亦亦然然則則立立相相互互獨獨若若且且是是兩兩事事件件設設BPABPBAAPBA 重要定理及結論重要定理及結論 定理一定理一.,也相互獨立也相互獨立與與與與與與事件事件則下列各對則下列各對是相互獨立的兩個事件是相互獨立的兩個事件若若BABABABA定理二定理二兩個結論兩個結論 .,)2(,)2(2121個個事事件件仍仍相相互互獨獨立立所所得得的的事事件件們們的的對對立立中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨獨立立個個事事件件若若nAAAnAAAnnn .)2(,)2(,)1(21個個事事件件也也是是相相互互獨獨立立其其中中任任意意則則相相互互獨獨立立

20、若若事事件件nkknAAAn ;)()1(1B品品只有第一個零件是合格只有第一個零件是合格;)()2(2B件件是是合合格格品品三三個個零零件件中中只只有有一一個個零零;)(,)3(3B個次品個次品一一但后兩個零件中至少有但后兩個零件中至少有第一個是合格品第一個是合格品三、典型例題三、典型例題 :)3 , 2 , 1(, )3 , 2 , 1(,3表表示示下下列列事事件件試試用用個個零零件件是是合合格格品品生生產產的的第第表表示示他他以以事事件件個個零零件件一一個個工工人人生生產產了了 iAiiAii例例1解解 ;)1(3211AAAB ;)2(3213213212AAAAAAAAAB ;)()

21、3(3213AAAB ,)4(3214AAAB ;3214AAAB 或或,)5(3215AAAB .3215AAAB 或或說明說明 一個事件往往有多個等價的表達方式一個事件往往有多個等價的表達方式. . )()5(5B三三個個零零件件都都是是次次品品;)()4(4B個合格品個合格品三個零件中最多只有兩三個零件中最多只有兩.:.,ABBCACBACABCCBA 證明證明滿足滿足設隨機事件設隨機事件證明證明 ,BAC 由由于于,BAC 故故BBABC)( 從從而而,BA BABCBCA ,BC ,ABABCACB )(BBACAC 故故BACACB .ABBC 例例2 . 6 . 0, 7 . 0

22、率率少少有有一一次次命命中中目目標標的的概概試試求求兩兩次次獨獨立立射射擊擊至至擊擊程程內內將將連連續續對對其其進進行行射射如如果果目目標標一一旦旦進進入入射射射射擊擊命命中中目目標標的的概概率率為為這這時時內內的的概概率率為為假假設設目目標標出出現現在在射射程程之之思路思路 引進事件引進事件 ;目標進入射程目標進入射程 A. 2 , 1, iiBi次射擊命中目標次射擊命中目標第第.21的的概概率率事事件件為為能能命命中中目目標標，所所求求概概率率目目標標不不在在射射程程之之內內不不可可BBB 例例3 解解 由題意知由題意知 )2, 1(,6 . 0)(, 7 . 0)( iABPAPi,0)

23、( BAPA，則，則表示目標不在射程之內表示目標不在射程之內由于由于因此有因此有)()()()(ABPBAPABPBP )()(ABPAP , )()(21ABBPAP )()()(21ABBPAPBP 故故84. 07 . 0 .588. 0 )()()(2121ABPABPABBP .36. 06 . 06 . 0 ,21相互獨立相互獨立與與BB)()()(2121ABBPABPABP )(21ABBP而而36. 06 . 06 . 0 .84. 0 .,573,251510兩份兩份從中先后抽出從中先后抽出名表名表隨機地取一個地區的報隨機地取一個地區的報份份份和份和份份為為其中女生的報名表

24、分別其中女生的報名表分別生的報名表生的報名表名考名考名和名和名名設有來自三個地區的各設有來自三個地區的各、;)1(p表表的的概概率率求求先先抽抽到到的的一一份份是是女女生生.,)2(q的的一一份份是是女女生生表表的的概概率率求求先先抽抽到到男男生生表表已已知知后后抽抽到到的的一一份份表表是是思路思路 由于抽到的表與來自哪個地區有關由于抽到的表與來自哪個地區有關,故此故此題要用全概率公式來討論題要用全概率公式來討論. 例例4 解解 ;3, 2, 1, iHi抽到地區考生的報名表抽到地區考生的報名表記記, 2, 1, jjAj次次抽抽到到報報名名表表是是男男生生的的第第;107)(;)3 , 2 , 1(31)(11 HAPiHPi則則有有.2520)(;158)(3121 HAPHAP由全概率公式知由全