1、1 / 10專題06指數函數與對數函數考綱要求:1. 理解有理指數幕的含義，了解實數指數幕的意義，掌握幕的運算2. 了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖11象通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，2, 3 的指數函數的圖象3. 體會指數函數是一類重要的函數模型.4. 理解對數的概念及其運算性質，知道用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用.5. 理解對數函數的概念及其單調性，掌握對數函數圖象通過的特殊點，會畫底數為12,10 , 2 的對數函數的圖象6. 體會對數函數是一類重要的函數模型.x7. 了解指數函數y=a（a0，且a

2、* 1）與對數函數y= logax（a0,且a* 1）互為反函 數.二、概念掌握和解題上注意點 ：1.指數函數圖象的畫法（判斷）及應用方法1）、畫（判斷）指數函數y=的圖象，應抓住三個關鍵點：（1,a）,（0,1），1，a2）、與指數函數有關的函數的圖象的研究，往往利用相應指數函數的圖象，通過平移、對 稱變換得到其圖象.2.一些指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象數形結合求解.3. 與指數函數性質有關的問題類型與解題策略1）、比較指數式的大小：能化成同底數的先化成同底數幕，再利用單調性比較大小；不能化成同底數的，一般引入“ 1”等中間量比較大小.2）、解簡單的指數方程或不等

3、式：可先利用幕的運算性質化為同底數幕，再利用單調性轉化為一般不等式求解.3）、探究指數型函數的性質：與研究一般函數的定義域、單調性區間、奇偶性、最值值域等性質的方法一致.4. 利用對數函數的圖象可求解的兩類問題1）、對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性區間、值域最值、零點時，常利用數形結合思想求解.2 / 102) )、一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解5.利用對數函數的性質研究對數型函數性質，要注意以下四點：一是定義域；二是底數與1的大小關系；三是如果需將函數解析式變形，一定確保其等價性；四是復合函數的構成，即它是由哪些基本初

4、等函數復合而成的另外，注意對數性質的正用、逆用、變形用三、高考考題題例分析例 1.( 2016 全國課標 I)若ab 10)：c：1,則(A)ac: bc(B)abc: bac(C)a logb：b logac(D)loga：logbc【答案】C【解析】1 iii試題分析：用特殊值法令。二3二2工二丄得 :2選項A錯誤3X252X3譴項B2錯冕3碣卜2碣2遨項C iESJogj +沁占選項D錯誤故選C.蓋Ar考點：指數函數與對數函數的性質比較幕或對數值的大小，若幕的底數相同或對數的底數相同，通常利用指數函數或對數函數單調性進行比較，若底數不同，可考慮利用中間量進行比較例 2. (2017 天津

5、，理 6)已知奇函數 f(x)在 R 上是增函數，g(x)=xf(x).若a = g(_log25.1),b =g(20.8), c =g(3)，則a,b,c的大小關系為()(A)a : b : c(B)c b： ：a(C)b . a : c(D)b . c a【答案】C【解析】因為f(x)是奇函數且在R上是增函數，所以在x 0時，f(x) .0,從而g(x)二xf(x)是R上的偶函數，且在0,：)上是增函數，a = g ( -log25.1) = g (log25.1),0 820.82，又4 5.1：8，則2 : log25.1 b 1，若 logab+ logba= 2,a=b,貝Ua=

6、_,b=15logab+ logba= logab+=二,logab21logab= 2 或Q.Tab 1 , logabvlogaa= 1,2b a/2、ba=b.Ta=b, （b） =b2bbb=b,.2 b=b2,.b= 2,.a= 4.指數函數與對數函數練習題（時間：100 分鐘，滿分：120 分）一、選擇題（每題 5 分，共 60 分）解析:b21logab=Q,5 / 101 函數f（x） = 2|x7 的大致圖象是（）ABD6 / 10所以f(x)的圖象在1,+s)上為增函數，在(一g,1)上為減函數.2 .已知a= 20.2,b= 0.40.2,c= 0.40.6，則()A.

7、abcB. acbC. cabD. bcaA 解析：由 0.2v0.6,0.4v1,并結合指數函數的圖象可知0.40.2 0.40.6，即bc.因為a=20.2 1,b= 0.40.2v1,所以ab.綜上，abc.3.函數f(x) =x+丿：的定義域是()屮-2A. ( 3,0)B. ( 3,0C. (g,3)U(0，+g)D.(g,3)U(3,0)A 解析：因為f(x)=x+ ：_，所以要使函數2vxv0.x_ b4.已知f(x) = 3(2wxw4,b為常數)的圖象經過點(2,1)，則f(x)的值域為()A. 9,81B. 3,9C. 1,9D. 1,+g)C解析：由 用)過定點(21)可

8、知wa為旳龍 T 在24上是増函數，所以 用)逓=人2)=1,用)皿=人4)=鼻故選CA. (g,1)D. (1,+g)C 解析:vf(x)為奇函數，f( x) = f(x),當x 0 時，2x 1 0 ,.2x+ 1 3 2x 3,x+ 3 0,f(x)有意義，需使 1 2x 0,即一 35 .若函數f(x) = 也是奇函數，則使f(x) 3 成立的x的取值范圍為(B. ( 1,0)C. (0,1)x42+ 1x2ax42 + 12 a整理得(a 1)(2x+ 2x+ 2) = 0,f(x) 3,即為2x+ 121 3,B 解析：f(x)7 / 10解得 Ovxv1 ；當xv0 時，2x 1

9、v0,2x+ 1v32x 3，無解. x 的取值范圍為(0,1).6.若函數y= logax(a0，且a* 1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是()B解析：由題圖可知y= S歸 的圖象過點(戈1),：10戲3=1,即a=3.A項，J=3E=Q)在R上為減.函數.錯誤弓B項，丁=符含弓C項，y=(-%y=-x在R上為減函漿，錯誤$D項，y=logi(-x)在(一8, 0)上為減函數，錯論7.已知f(x)是定義在 R 上的奇函數，當x0時，f(x) = 3x+m(m為常數)，則f( log35)的值為()A. 4B. 4C. 6D. 6B 解析：函數f(x)是定義在 R 上的奇函數，f(0)

10、 = 0，即 30+ m= 0,解得 m= 1,- f(log35) = 3log35 1 = 4, f( log35) = f(log35) = 4.&已知y= loga(2 ax)在區間0,1上是減函數，則a的取值范圍是()A. (0,1)B. (0,2)C. (1,2)D. 2 ,+)C 解析：因為y= loga(2 ax)在0,1上單調遞減，u= 2ax(a 0)在0,1上是減函數，所 以y= logau是增函數，所以a 1.又 2 a 0，所以 1vav2.9.已知函數f(x) = (xa)(xb)(其中ab)的圖象如圖所示，則函數g(x) =ax+b的圖象 是()8 / 1

11、0時，g(0) = 1 +b 0,故選 C.C解析依題馱盤應滿足FOfll-2-3a 1，貝Ug(x) =a+b為增函數，當廠 xa10.若函數f(x) =c,x 1,x+1,x 2或av2解析：由y= (a2 1 廣在(一g, +s)上為增函數，得a2 1 1,解得a ,2 或av2.14. 已知函數y= 4ax9 1(a 0 且a* 1)恒過定點A(m n)，貝Ulogm=_.12 解析：由于函數y=ax(a 0 且a* 1)恒過定點(0,1),故函數y= 4ax一91(a 0 且a* 1)一 1恒過定點(9,3)，所以 m= 9,n= 3,所以 log mi = log93=15. 當x

12、(g,1時，不等式(吊一m2xv0 恒成立，則實數m的取值范圍是(-1,2)解析：廉不等式變形外屈一znvg),KX1因為函數在(一 8, 1上是減,函數*所以左0 =2E當X(-8, I時，亦一用 V 僥)恆成立篩價于 腫一加0，且a* 1)，則實數a的取值范圍是一一A.1 v f(2) v f132 21-21-211 1 -2-22 210 / 103logavlogaa= 1，二a 1.4即實數a的取值范圍是 三、解答題(每題 10 分，共 40 分)ax17已知函數f(x) = 1 ,a為常數，且函數的圖象過點(一 1,2).(1)求a的值；若g(x) = 4一x 2,且g(x)=f(x)，求滿足條件的x的值.* a解由已知得G)=2,解得0,即Q方0+1)=仏X.X.又QQ,QQ,故F=2即住)=Z解得耳=一1,故満足條件的x的值為一L18.設f(x) = loga(1 +x) + loga(3 x)(a0,a* 1)，且f(1) = 2.(1) 求a的值及f(x)的定義域；求f(x)在區間|0, |上的最大值.解(1)Tf(1) = 2