1、第1頁一總 8 頁勾股定理典型例題分析一、知識要點：1 勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果直角 三角形的兩直角邊為 a、b,斜邊為 c，那么 a2+ b2= c2。公式的變形：a2= c2- b2， b2= c2-a2。2、 勾股定理的逆定理如果三角形 ABC 的三邊長分別是 a，b，c,且滿足 a2+ b2= c2,那么三角 形 ABC是直角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理該定理在應用時，同學們要注意處理好如下幾個要點：1已知的條件：某三角形的三條邊的長度2滿足的條件：最大邊的平方=最小邊的平方+中間邊的平方3得到的結論：這個三角形是直角三角形，

2、并且最大邊的對角是直角4如果不滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。3、 勾股數 滿足 a2+ b2= c2的三個正整數，稱為勾股數。注意：勾股數必須是正整數，不能 是分數或小數。一組勾股數擴大相同的正整數倍后，仍是勾股數。常見勾股數有：(3, 4, 5)(5，12, 13 ) (6, 8, 10 )(7, 24, 25 )(8, 15, 17 )(9，12, 15 )4、 最短距離問題：主要運用的依據是 兩點之間線段最短。二、考點剖析考點一：利用勾股定理求面積1、求陰影部分面積： (1)陰影部分是正方形；(2)陰影部分是長方形；(3)陰影部分是半圓.2、如圖，以 Rt ABC 的三邊為直

3、徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關系.3、 如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是./ /S、S、S3,貝 U 它們之間的關系是()A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3V S1D. S2- S3=S.4、 四邊形 ABCD 中, / B=90 , AB=3 BC=4 CD=12 AD=13 求四邊形 ABCD 勺面積AD5.在直線 上依次擺放著七個正方形(如圖 4 所示)。已知斜放置的三個正方形的面積分別是 1、2、3,第2頁一總 8 頁正放置的四個正方形的面積依次是考點二：在直角三角形中，已知兩邊求第三邊區卜 sZfe

4、1 .在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為 1cm 2cm，則斜邊長為 2已知直角三角形的兩邊長為 3、2,則另一條邊長的平方是 _3、已知直角三角形兩直角邊長分別為 5 和 12,則斜邊上的高 _.4、 把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2 倍，則斜邊擴大到原來的（）A. 2 倍B. 4 倍C. 6 倍D. 8 倍5、在 Rt ABC 中，/ C=90若 a=5，b=12,貝 U c=_ ; 若 a=15，c=25,則 b=_;若 c=61，b=60,則 a=_ ; 若 a : b=3 : 4，c=10 則 Rt ABC 的面積是=_ 。&如果直角三角形的兩直角邊長分別為 n2

5、1, 2n （n1）,那么它的斜邊長是（）A 、2nB、n+1CC n2 1D n217、在 Rt ABC 中, a,b,c 為三邊長，則下列關系中正確的是（）A.a2b2c2B.a2c2b2C.c2b2a2D.以上都有可能8、已知 Rt ABC 中，/ C=90，若a+b=14cmc=10cm貝 URt ABC的面積是（ ）9、已知 x、y 為正數，且丨 x2-4 | + （y2-3）2=0，如果以 x、y 的長為直角邊作一個直角三角形，那么 以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（）A、5B、25C、7D 15考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高 例、如圖 1 所示，等腰二

6、丄-中，仝以二，二是底邊上的高，若“ ，求AD的長；厶 ABC 的面積.考點四：勾股數的應用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大、最小角的問題1、下列各組數據中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是（）A 、 24cm2B、36cm2C、48cm2D60cm20第3頁一總 8 頁2、若線段 a, b, c 組成直角三角形，貝尼們的比為（）B、3 : 4 : 6 C 、5 ： 12 ： 13A. 4 , 5, 6 B. 2, 3, 4 C. 11,12, 13 D. 8,15, 17第4頁一總 8 頁厶 ABC 中，/ C=ZA-ZB;厶 ABC 中，/ A:ZB:ZC=1: 2: 3;

7、厶 ABC 中, a： b： c=3： 4： 5； 厶 ABC 中，三邊長分別為 8，15，17.A. 1 個 B . 2 個 C . 3 個 D . 4 個4、 若三角形的三邊之比為 :1:1，則這個三角形一定是（）242A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等邊三角形5、 已知 a，b，cABCE 邊，且滿足（a2 b2）（a2+b2-c2） = 0，則它的形狀為（ ）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6 將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數，得到的三角形是（）A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形 7、

8、 若厶ABC的三邊長a,b,c滿足a2b2c220012a 16b 20c，試判斷 ABC 的形狀8 ABC 的兩邊分別為 5,12，另一邊為奇數，且 a+b+c 是 3 的倍數，則 c 應為_ ，此三角形為_例 3:求（1）若三角形三條邊的長分別是 7,24,25，則這個三角形的最大內角是度。戸（2）已知三角形三邊的比為 1:苗:2,則其最小角為_ ?？键c五：應用勾股定理解決樓梯上鋪地毯問題衛 旨_Q圖3某樓梯的側面視圖如圖 3 所示，其中米，一丄-二廠，-.，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在 AB 段樓梯所鋪地毯的長度應為 _ .考點六、利用列方程求線段的長（方程思想）1、小強想知道學校旗

9、桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面 還多 1 米，當他把繩子的下端拉開 5 米后，發現下端剛好接觸地面, 你能幫他算出來嗎?2、一架長 2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底沿墻下滑 0.4m,那么梯子底端將向左滑動_ 米3、下面的三角形中：其中是直角三角形的個數有（)0.7m（如圖），如果梯子的頂端第5頁一總 8 頁3、如圖，一個長為 10 米的梯子，斜靠在墻面上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8 米，如果梯子的頂端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑動距離 _ 1第 4 題米,（填“大于第6頁一總 8 頁4、在一棵樹 10 m 高的 B 處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m

10、 處的池塘 A 處；？另外一只爬到 樹頂 D 處后直接躍到 A 外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等， 試問這棵樹有多高？5、如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據圖中標出尺寸（單位:中心 A 和 B 的距離為_mm 計算兩圓孔6 如圖：有兩棵樹，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，兩樹相距 8 米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了_ 米.米第 6 題圖1B53八28圖 18-157、如圖 18-15 所示，某人到一個荒島上去探寶，在 A 處登陸后，往東走 8km 又往北走 2km 遇到障 礙后又往西走 3km 再折向北方走到 5km 處往東一拐，僅 1

11、km?就找到了寶藏，問：登陸點（A 處）到 寶藏埋藏點（B 處）的直線距離是多少？考點七：折疊問題1、 如圖， 有一張直角三角形紙片， 兩直角邊 為DE 則 CD 等于（）A.25B.4AC=622C.ZD. 3432、如圖所示，已知 ABC 中，/ C=90，AB 的垂直平分線交 BC?于 M 交 AB 于 N,若 AC=4 MB=2M,C 求AB 的長.3、折疊矩形 ABCD 勺一邊 AD,點 D 落在 BC 邊上的點 F 處,已知 AB=8CM,BC=10C 求,CF 和 EGDEC4、如圖，在長方形 ABCD 中, DC=5 在 DC 邊上存在一點 E,沿直線 AE 把厶 ABC 折疊

12、，使點 D 恰好在 BC邊上，設此點為卩，若厶 ABF 的面積為 30,求折疊的厶 AED 的面積第7頁一總 8 頁第8頁一總 8 頁5.如圖，矩形紙片 ABCD 勺長 AD=9cm，寬 AB=3cm，將其折疊, 使點D 與點 B 重合，那么折疊后 DE 的長是多少？6.如圖，在長方形 ABCD 中，將 ABC 沿 AC 對折至 AEC 位置,于點 F。（ 1）試說明：AF=FC（ 2）如果 AB=3 BC=4 求 AF 的長8、如圖 2-3，把矩形 ABCD&直線部分 EBD 的面積為_ .9、如圖 5,將正方形 ABCD 折疊，使頂點 A 與 CD 邊上的點 M 重合，折痕交 AD

13、 于 E,交 BC 于 F,邊 AB 折疊后與 BC 邊交于點 G 如果 M 為 CD 邊的中點，求證：DE DM EM=3 4: 5。10、如圖，長方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若將該矩形折疊，使 C 點與 A 點重合，？則折疊后痕跡 EF11、如圖，有一塊塑料矩形模板 ABCD 長為 10cm 寬為 4cm 將你手中足夠大的直角三角板 PHF 的 直角頂點 P 落在 AD 邊上（不與 A、D 重合），在 AD 上適當移動三角板頂點P:第 10 題第 11 題第 12 題匕已知 AB=?3, BC=7 重合GCE 與 AD7、如圖 2 所示，將長方形 ABCDft 直線 AE 折

14、疊，頂點 D 正好落在 BC 邊第 7 題第 8 題第 9 題BD 向上折上 F 點處，已知 CE=3cm AB=8cm 則圖中陰影部分面積為的長為（）A. 3.74 B第9頁一總 8 頁能否使你的三角板兩直角邊分別通過點 B 與點 C?若能，請你求出這時 AP 的長；若不能，請說明 理由.再次移動三角板位置，使三角板頂點 P 在 AD 上移動，直角邊 PH 始終通過點 B,另一直角邊 PF 與 DC 的延長線交于點 Q,與 BC 交于點 E,能否使 CE=2cm 若能，請你求出這時 AP 的長；若不能， 請你說明理由第10頁一總 8 頁12、如圖所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC

15、D 是斜邊 BC 的中點，E、F 分別是 AB AC 邊上的點，且 DEL DF,若 BE=12 CF=5.求線段 EF 的長13、如圖，公路 MN 和公路 PQ 在點 P 處交匯，且/ QPN= 30，點 A 處有一所中學，A= 160m 假設拖拉機行駛時，周圍 100m 以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路 MN 上沿 PN 方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為時間為多少秒?1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為 5，則正方形 A，B, C, D 的面積的和為_2、已知 ABC 是邊長為 1 的

16、等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜邊 AC 為直角邊，畫第二個等腰 Rt ACD考點八：應用勾股定理解決勾股樹問題再以 Rt ACD的斜邊 AD為直角邊,的斜邊長是考點九、圖形問題1、如圖 1,求該四邊形的面積2、如圖 2,已知，在 ABC 中,高為 2.5m,寬為 1.6m，問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由E,使得 C、D 兩村到 E 站的距離相等，則3、 某公司的大現有一輛裝滿貨物的卡車/ A =,其中AE=2.3m, BC=2m,其中四邊形ABCD是長方形，上部是以AD為直徑的半圓第11頁一總 8 頁4、 將一根長 24 cm 的筷子置于地面直徑為 5 cm ,咼為 12

17、 cm 的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為 h cm ,貝 U h 的取值范圍_ 。5、 如圖，鐵路上AB 兩點相距 25km C、D 為兩村莊，DA1 垂直 AB 于 A, CB 垂直 AB 于 B,已知 AD=15kmBC=10km 現在要在鐵路 AB 上建一個土特產品收購站 建在距 A 站多少千米處？第12頁一總 8 頁3、如圖，某沿海開放城市 A 接到臺風警報，在該市正南方向 260km 的 B 處有一臺風中心，沿 BC 方向 以15km/h 的速度向 D 移動，已知城市 A 到 BC 的距離 AD=100km 那么臺風中心經過多長時間從 B 點 移到 D 點？如果在距臺風中心

18、人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？A考點十：其他圖形與直角三角形如圖是一塊地，已知 AD=8m CD=6m/ D=90，AB=26m BC=24m 求這塊地的面積。 丿Ai-:與展開圖有關的計算1、如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCA B C D的表面上，求從頂點 A 到頂點 C的最短距B離.2、如圖一個圓柱，底圓周長 6cm 高 4cm 一只螞蟻沿外壁爬行，要從 A 點爬到 B 點，則最少要爬行cm3、國家電力總公司為了改善農村用電電費過高的現狀，目前正在全國各地農村進行電網改造，某地有四個村莊AB、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點，現計劃在四個村莊聯合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部分請你幫助計算一下,n考點十二、航海問題