1、第八節(jié)多元函數(shù)的極值及其求法教學(xué)目的：了解多元函數(shù)極值的定義，熟練掌握多元函數(shù)無(wú)條件極值存在的判定方法、求 極值方法，并能夠解決實(shí)際問(wèn)題。熟練使用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。教學(xué)內(nèi)容：一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值定義設(shè)函數(shù)zf（x，y）在點(diǎn)（xo，y。）的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于（xo，y。）的點(diǎn)，如果都適合不等式f（x, y） f（x0,y0），則稱函數(shù)f（x,y）在點(diǎn)（x0,y。）有極大值 f（x0,y。）。如果都適合不等式f（x,y） f（x0, y0），則稱函數(shù)f（x，y）在點(diǎn)（x0,%）有極小值f（x

2、o，yo）極大值、極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得 極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。例 1 1 函數(shù)z 3x?4 4/ /在點(diǎn)（0 0, 0 0）處有極小值。因?yàn)閷?duì)于點(diǎn)（0 0, 0 0）的任一鄰域內(nèi)異于（0 0， 0 0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為正，而在點(diǎn)（ 0 0， 0 0）處的函數(shù)值為零。從幾何上看這是顯然22的，因?yàn)辄c(diǎn)（0 0, 0 0, 0 0）是開(kāi)口朝上的橢圓拋物面z3x 4y 的頂點(diǎn)。例2函數(shù)zX y2在點(diǎn)（0 0, 0 0）處有極大值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0 0, 0 0）處函數(shù)值為零， 而對(duì)于點(diǎn)（0 0, 0 0）的任一鄰域內(nèi)異于（0 0, 0 0）的點(diǎn)，函數(shù)值都為負(fù)，點(diǎn)（0 0, 0 0, 0 0）是位于

3、xOy 平面下方的錐面zx2 y2的頂點(diǎn)。例3函數(shù)z xy在點(diǎn)（0 0, 0 0）處既不取得極大值也不取得極小值。因?yàn)樵邳c(diǎn)（0 0, 0 0） 處的函數(shù)值為零，而在點(diǎn)（0 0, 0 0）的任一鄰域內(nèi)，總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)，也有使函數(shù)值 為負(fù)的點(diǎn)。定理 1 1 （必要條件）設(shè)函數(shù)zf（x,y）在點(diǎn)（Xo,y0）具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)（Xo,y0）處有極 值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：證不妨設(shè)z f（x，y）在點(diǎn)（X0，y0）處有極大值。依極大值的定義，在點(diǎn)（X0，y0）的某鄰域 內(nèi)異于（X0,y。）的點(diǎn)都適合不等式特殊地，在該鄰域內(nèi)取 y y。，而xX。的點(diǎn)，也應(yīng)適合不等式這表明一元函數(shù)f（x,y

4、。）在 X X。處取得極大值，因此必有類(lèi)似地可證從幾何上看，這時(shí)如果曲面z f（x，y）在點(diǎn)（Xo，yo，Z0）處有切平面，則切平面成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z Z00。仿照一元函數(shù)，凡是能使fx（X,y）0,fy（x,y）0同時(shí)成立的點(diǎn)（X0，y0）稱為函數(shù)zf（x,y）的駐點(diǎn)，從定理 1 1 可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一定 是極值點(diǎn)，例如，點(diǎn)（0 0,0 0）是函數(shù)zxy 的駐點(diǎn)，但是函數(shù)在該點(diǎn)并無(wú)極值。 怎樣判定一個(gè)駐點(diǎn)是否是極值點(diǎn)呢？下面的定理回答了這個(gè)問(wèn)題。定理 2 2 (充分條件)設(shè)函數(shù)zf (x,y)在點(diǎn)(X。，y。)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階

5、連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 又fx(x0,y0) 0, fy(x0, y0) 0，令則 f(x,y)在(X0,yo)處是否取得極值的條件如下：2(1)(1) AC B2。時(shí)具有極值，且當(dāng) A A。時(shí)有極大值，當(dāng) A A。時(shí)有極小值；2(2)(2) AC B2。時(shí)沒(méi)有極值；2(3)(3) AC B2。時(shí)可能有極值，也可能沒(méi)有極值，還需另作討論。這個(gè)定理現(xiàn)在不證。利用定理 1 1、2 2,我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z f(x，y)的 極值的求法敘述如下：第一步解方程組求得一切實(shí)數(shù)解,即可以得到一切駐點(diǎn)。第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(X0，yo)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A，B 和 C C。第三步定出 AC B2的符號(hào)，

6、按定理 2 2 的結(jié)論判定f(x0，y0)是否是極值、是極大值還是 極小值。例 1 1 求函數(shù)f(x，y)x3 y3 3x2 3y2 9x的極值。解先解方程組求得駐點(diǎn)為( 1,1,。)、(1,21,2)、( -3,-3,。)、(-3,2-3,2 )。再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(1,0)(1,0)處，AC B 12 6 0 又 A A 0 0，所以函數(shù)在(1，)處有極小值 f(1，)5;2在點(diǎn)(1,2)(1,2)處，AC B12 (6)，所以f(1,2)(1,2)不是極值；在點(diǎn)(-3,0)(-3,0)處，AC B212 6，所以f(-3,0)(-3,0)不是極值；2在點(diǎn)(-3,2)(-3,2)處，AC

7、B12 (6)0又 A A 0 0 所以函數(shù)在(-3,2)(-3,2)處有極大值f(-3,2)=31(-3,2)=31。例 2 2 某廠要用鐵板作成一個(gè)體積為 2nn2nn 的有蓋長(zhǎng)方體水箱。問(wèn)當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的 尺寸時(shí)，才能使用料最省。2 m解設(shè)水箱的長(zhǎng)為 xmxm ,寬為 ym，則其高應(yīng)為 xy ，此水箱所用材料的面積22A 2(xy y x ) xy xyA 2(xy2-)0即x y ( x x 0 0，y 0)可見(jiàn)材料面積 A 是 x x 和 y 的二元函數(shù)，這就是目標(biāo)函數(shù)，下面求使這函數(shù)取得最小值的點(diǎn)(x,y)解這方程組，得:Ax2( y電)xX邁,yV2從這個(gè)例子還可看出，在體

8、積一定的長(zhǎng)方體中，以立方體的表面積為最小。、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)zf(x，y)在附加條件(x，y)0下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中為某一常數(shù)求其對(duì) X X 與 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與方程(2)(2)聯(lián)立f fx(x,(x, y)y)x(x,(x, y)y) 0,0,f fy(x,(x, y)y)y(x,(x, y)y) 0,0,(x,y)(x,y) 0.0.( i i由這方程組解出 x x，y 及，則其中 x x，y 就是函數(shù) f(x,y)在附加條件下(x,y) 的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形。例如，要求函

9、數(shù)在附加條件(x,y,z,t)0，(x, y, z,t) 0下的極值，可以先構(gòu)成輔助函數(shù)其中1，2均為常數(shù)，求其一階偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，然后與 (2)(2)中的兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái) 求解，這樣得出的 X X、y y、Z Z、t就是函數(shù) f(x,y,乙 t)在附加條件 下的可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問(wèn)題中往往可根據(jù)問(wèn)題本身的性質(zhì)來(lái)判2例 3 3 求表面積為 a 而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積。解設(shè)長(zhǎng)方體的三棱長(zhǎng)為 x, y,z，則問(wèn)題就是在條件下，求函數(shù)的最大值。構(gòu)成輔助函數(shù)求其對(duì) x x、y y、z z 的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到y(tǒng)zyz 2(2( y y z)z) 0 0 xzxz 2(x2(x z)z) 0 0 xyxy 2(2( y y z)z) 0 0 再與(10)(10)聯(lián)立求解。因 x、y、z都不等于零，所以由(11)(11)可得y = yz， z = x z .由以上兩式解得(x, y,z,t) 2xy 2yz2xz a20(3 3)(4(4)將此代入式(10)(10)，便得6ax y z= = 6這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能2的極值點(diǎn)處取得。也就是說(shuō)，表面積為 a 的長(zhǎng)方體中，以棱長(zhǎng)為、6a/6 的正方