1、1.(2009湖南卷湖南卷)若若x0,則則x+ 的最小值的最小值為為 .2x222.設設(0, ),0, ,那么那么2- 的取值的取值范圍是范圍是( )223DA.（0, ） B.(- , ) C.(0,) D.(- ,)566566 解：由題設得解：由題設得02,0 ,所以所以- - 0，所以，所以- 2- 0，bc-ad0， - 0 (其中其中a、b、c、d均為實數均為實數)，用，用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數是確命題的個數是( )caA.0 B.1 C.2 D.

2、3db解：由解：由ab0,bc-ad0可得出可得出 - 0,bc-ad0兩邊同除以兩邊同除以ab,得得 - 0.同樣由同樣由 - 0，ab0，可得，可得bc-ad0. bc-ad0 bc-ad0 - 0 0 cadbcadbcaca由由ab0，選，選DcadbbcadabC4.設設a、b是不相等的正數，則下列關系中，是不相等的正數，則下列關系中，不恒成立的是（不恒成立的是（ ）A.|a-b|a|+|b| B.a2 + a+1C.|a-b|+ 2 D. - -21a1ab3a1a2aa解：解：C選項選項|a-b|+ 2，當，當a-b1，b1，若，若ax=by=3，a+b=2 ,則則 + 的最大值

3、為（的最大值為（ ）31x1yA.2 B. C.1 D.3212解：由解：由ax=by=3，得，得x=loga3，y=logb3, + =log3(ab)log3( )2=1，故選，故選C.1x1y2ab1.實數的大小順序與運算性質之間的關系實數的大小順序與運算性質之間的關系ab ;ab ,ab,bc ;ab,bb a+cb+c,故故a+bc (移項法則移項法則)推論推論:ab,cd (同向不等式相加同向不等式相加)a-b0a-b0a-b=0baacac-ba+cb+d要點梳理要點梳理(4)ab,c0 ;ab,cb0,cd0 .推論推論:ab0 .推論推論:ab0 .acbcacbdanbna

4、bnn2ab3.基本不等式基本不等式定理定理1:如果如果a、bR,那么那么a2+b2 (當且當且僅當僅當a=b時取時取“=”號號).說明：說明：(1)指出定理適用范圍：指出定理適用范圍：a、bR; (2)強調取強調取“=”號的條件號的條件a=b.結論：若結論：若x、yR+，x+y=S，xy=P，則，則如果如果P是是 值，那么當值，那么當x=y時，時，S的值的值 ;如果如果S是是 值，那么當值，那么當x=y時，時，P的值最的值最 .求最值的必要條件：一正、二定、三相等求最值的必要條件：一正、二定、三相等.定理定理2:如果如果a、b是正數，那么是正數，那么 (當且僅當當且僅當a=b時取時取“”號號

5、).2abab說明：說明：(1)這個定理適用的范圍：這個定理適用的范圍：a、bR+;(2)我們稱我們稱 為為a、b的算術平均數，稱的算術平均數，稱 為為a、b的幾何平均數，即兩個正數的算術平均的幾何平均數，即兩個正數的算術平均數不小于他們的幾何平均數數不小于他們的幾何平均數.2abab定定小小定定大大題型一題型一 不等式性質的應用不等式性質的應用 例例1、設、設f(x)=ax2+bx,且且1f(-1)2，2f(1)4，求，求f(-2)的取值范圍的取值范圍.思維啟迪思維啟迪 ：因為因為f(-1)=a-b，f(1)=a+b， 1a-b2，2a+b4. 又又a+b與與a-b中的中的a、b不是獨立的，

6、而是相互不是獨立的，而是相互制約的，因此，若將制約的，因此，若將f(-2)用用a-b與與a+b表示，表示，則問題得解則問題得解.題型分類題型分類 解法一：解法一：設設f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n為待定系數為待定系數)，則則4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b, m+n=4 m=3 m-n=2， n=1,所以所以f(-2)=3f(-1)+f(1).因為因為1f(-1)2,2f(1)，所以所以53f(-1)+f(1)10，故，故5f(-2)10.于是于是得得(方法二方法二) a-b=f(-1) a= f(1)+f(-1) a+b=f(

7、1), b= f(1)-f(-1),所以所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又又1f(-1)2，2f(1)4,53f(-1)+f(1)10，故，故5f(-2)10. 由由得得1212當當f(-2)=4a-2b過點過點B(3，1)時時,取得最大值取得最大值43-21=10,當當f(-2)=4a-2b過點過點 時時,取得最小值取得最小值 )21,23(A. 52122344221baba方法三方法三 由由 確定的平面區域如圖確定的平面區域如圖.5f(-2)10. 探究提高探究提高 嚴格依據不等式的基本性質和運算嚴格依據不等式的基本性質和運算法則，是正確解答此類題目的保證，若先將參法

8、則，是正確解答此類題目的保證，若先將參數數a、b的范圍求出，而后再求的范圍求出，而后再求f(-2)的范圍，這的范圍，這樣操作是錯誤的，因為解題過程沒有忠實題目樣操作是錯誤的，因為解題過程沒有忠實題目所給條件，即變形不等價，由所求的參數所給條件，即變形不等價，由所求的參數a、b的范圍并不能得到已知條件所給的的范圍并不能得到已知條件所給的f(-1)及及f(1)的范圍，這樣，已經改變了題目的條件，當然，的范圍，這樣，已經改變了題目的條件，當然，所求的結果就不是實際的結果所求的結果就不是實際的結果.因此，在解題因此，在解題的過程中，務必盡可能保持變形的等價性，以的過程中，務必盡可能保持變形的等價性，以

9、免發生錯誤免發生錯誤.解：解：由不等式的基本性質知，由不等式的基本性質知， ac且且bcab2c， 所以所以C是是ab2c的充分非必要條件的充分非必要條件.2.“ab2c”的一個充分非必要條件是的一個充分非必要條件是 () A.ac或或bc B.ac或或bc C.ac且且bc D.ac且且bcC3、設、設a,bR，那么，那么“a2+b2a+b” 的的 ( )A.充分非必要條件充分非必要條件 B.必要非充分條件必要非充分條件 C. 充要條件充要條件 D.既非充分條件也非必要條件既非充分條件也非必要條件. 1122babaab易知0)1)(1(1babaab解：解：A01010101baba或.1

10、0)1)(1(11, 1111122baabbabababa且.1122的充分非必要條件是即baabbaDA.b-a0 B.a3+b30C.a2-b20 D.b+a0練習練習1(2008廣東卷廣東卷)設設a、bR，若，若a-|b|0,則下列不等式中正確的是（則下列不等式中正確的是（ ）2、 的一個充分不必要條件是的一個充分不必要條件是 （ ） A.xy B.xy0 C.xy D.yxy0或或xyb成立的充要條件是成立的充要條件是 （ ） A.a2b2 B. C.lg alg b D. ba11ba2121思維啟迪思維啟迪可用特殊值代入驗證，也可用不等可用特殊值代入驗證，也可用不等式的性質推證式

11、的性質推證.D.2121ba解法二解法二 ab 2a2b 0 解法一解法一 取取a=1，b=-2，可驗證，可驗證A、B、C均不均不正確，故選正確，故選D.探究提高探究提高 (1)判斷一個關于不等式的命題的真假判斷一個關于不等式的命題的真假 時，先時，先把要判斷的命題與不等式性質聯系起來考慮把要判斷的命題與不等式性質聯系起來考慮 ，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題的真假，當然判斷的同時可能還要用到其他知的真假，當然判斷的同時可能還要用到其他知識，比如對數函數、指數函數的性質識，比如對數函數、指數函數的性質.(2)特殊值法是判斷命題真假時常用到的一個

12、方特殊值法是判斷命題真假時常用到的一個方法，在命題真假未定時，先用特殊值試試可以法，在命題真假未定時，先用特殊值試試可以得到一些對命題的感性認識，如正好找到一組得到一些對命題的感性認識，如正好找到一組特殊值使命題不成立，則該命題為假命題特殊值使命題不成立，則該命題為假命題.nnba (3)說明一個命題為假命題時，可以用特殊值說明一個命題為假命題時，可以用特殊值法，但不法，但不 能用特殊值法肯定一個命題，只能能用特殊值法肯定一個命題，只能利用所學知識嚴利用所學知識嚴 密證明，在用不等式性質證密證明，在用不等式性質證明命題時，可適當使用一些不等式性質的推明命題時，可適當使用一些不等式性質的推廣命題

13、，本題就可以利用結論廣命題，本題就可以利用結論“ab，nN+，n為奇數，則為奇數，則 ”. ,2,2vubvua得 4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v. 1u4，-1v2，-33v6. 則則-2u+3v10，即，即-24a-2b10. 解解法一法一 設設u=a+b，v=a-b,4、已知、已知1a+b4，-1a-b2，則，則4a-2b的取值的取值范圍是范圍是_.-2,10. 6)(33, 41. 3, 1. 2, 4babayxyxyx方法二方法二 令令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.-24a-2b10. ,32nmnm.21,25nm).(

14、21)(2532bababa5、已知、已知-1a+b3且且2a-b4,求求2a+3b的取值范圍的取值范圍.思維啟迪思維啟迪 將將2a+3b用用a+b和和a-b表示出來，再利表示出來，再利用不等式的性質求解用不等式的性質求解2a+3b的范圍的范圍.解解 設設2a+3b=m(a+b)+n(a-b),-1a+b3，2a-b4, 1)(212,215)(2525baba探究提高探究提高 由由af1(x1，y1)b，cf2(x1，y1)a,則高則高c的取值范圍是的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.),31() 1 ,31() 1 , 0()31, 0(解：依題意有解：依題意有, 1222cba,

15、1222cba即,2)1 ()1 (2)()(2222222ccccbabaab.310, 0)()1 ()0(0)1 (2222cccccccxcxxba可解得判別式兩個不相等的正根，的的方程是關于、即4 題型二題型二 利用作差法、作商法比較大小利用作差法、作商法比較大小例例2 (1)設設a0，b0且且ab，試比較試比較aabb與與abba的的大小大小.(2)已知函數已知函數f(x)=x2+ax+b，p+q=1，且，且p、q都都是正數，試比較是正數，試比較pf(x)+qf(y)與與f(px+qy)的大小的大小.解：解： (1)根據同底數冪的運算法則，可考根據同底數冪的運算法則，可考慮用比商法

16、慮用比商法. =aa-bbb-a=( )a-b.當當ab0時，時， 1，a-b0,則則( )a-b1，于是，于是aabbabba；當當ba0時，時，0 1,a-b1，于是，于是aabbabba.綜上所述，對于不相等的正數綜上所述，對于不相等的正數a、b,都有都有aabbabba.abbaa ba bbaabababab(2)作差作差pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2 =p(1-p)(x-y)2， 所以所以當當x=y時，時，p(1-p)(x-

17、y)2=0,得得pf(x)+qf(y)=f(px+qy);當當xy時，時，(x-y)20,所以所以pf(x)+qf(y)f(px+qy).綜上所述，當綜上所述，當x=y時，時，pf(x)+qf(y)=f(px+qy).當當xy時，時，pf(x)+qf(y)f(px+qy).探究提高探究提高 比較大小，常用作差（商）比較法比較大小，常用作差（商）比較法(1)作差法步驟：作差法步驟： 作差作差變形變形判斷差的符號判斷差的符號.作商法的步驟：作商法的步驟： 作商作商變形變形判斷商與判斷商與1的大小的大小.(2)兩種方法的關鍵是變形，常用的變形技巧有兩種方法的關鍵是變形，常用的變形技巧有因式分解、配方

18、、有理化等，也可以等價轉化因式分解、配方、有理化等，也可以等價轉化為易于比較大小的兩個代數式來達到目的為易于比較大小的兩個代數式來達到目的. 練習練習(1)比較比較x6+1與與x4+x2的大小的大小,其中其中xR; (2)設設aR,且且a0,試比較試比較a與與 的大小的大小.a1解解: (1)(x6+1)-(x4+x2) =x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 當當x=1時，時，x6+1=x4+x2; 當當x1時，時，x6+1x4+x2. （2）當當-1a1時時, 當當a-1或或0

19、a1時時, 當當a=1時時, aaaaaaa) 1)(1(112;1aa ;1aa .1aa (3)(2009湖南高考湖南高考)如圖，當參數如圖，當參數1，2時，時，連續函數連續函數y (x0)的圖象分別對應曲的圖象分別對應曲線線C1和和C2，則，則()A.012 B.021C.120 D.210解解:如果如果0，定義域不可能，定義域不可能為為0，+)，排除，排除C、D.又又C2的圖象在的圖象在C1的圖象的上方，的圖象的上方， 21B(4)已知函數已知函數f(x)ax22ax4(0a3)，若若m0，a(a1)0，又，又mn， 故故a(mn)(a1)0，f(m)f(n)f(m)0，b+c0，c+

20、a0，判斷判斷f(a)f(b)f(c)的符號的符號(2)a+b0，ab，f(a)f(b)f(b)，同理，由同理，由b+c0，得，得f(b)f(c)，由由c+a0得，得，f(c)f(a)，相加得相加得f(a)+f(b)+f(c)f(a)+f(b)+f(c)，即即f(a)+f(b)+f(c)0解解：(1)由定義知，由定義知，f(x)為奇函數，且為增函數為奇函數，且為增函數探究提高探究提高 應用函數的單調性也是比較數的應用函數的單調性也是比較數的大小中常用的方法大小中常用的方法(6)已知已知a、b、c滿足：滿足：a、b、cR+，a2+b2=c2，當當nN，n2時，比較時，比較cn與與anbn的大小結

21、果的大小結果為為_解解：a、b、cR+，an、bn、cn0而而nnnnncbcacba)()( a2+b2=c2，10, 10cbca nN，n222)()(,)()(cbcbcacann1)()(222cbacbcacbannnnn anbn0,y0,所以所以x-80,所以所以y= ,所以所以x+y=x+ =x+ =x+2+=x-8+ +10 2 +10=18,當當x-8= ,即即x=12時，等號成立，時，等號成立，故故x+y的最小值是的最小值是18.28xx28xx216 168xx168x168x16(8)8xx168x(方法二方法二)因為因為x,yR+,由由2x+8y-xy=0得得 +

22、 =1.所以所以x+y=(x+y)( + )=10+ +10+2 =18.由由 = 及及 + =1可得可得x=12，y=6,故當故當x=12，y=6時，時，x+y的最小值為的最小值為18.8x2y8x2y8yx2xy82yxxy8yx2xy8x2y2.“x+y”可視為可視為“(x+y)1”，而，而 + =1,因此，可采用整體思想將因此，可采用整體思想將 + =1整體代整體代入求解入求解.8x2y8x2y探究提高探究提高 1.結論中涉及結論中涉及x,y兩個變量，而條件是關于兩個變量，而條件是關于x、y的一個等量關系式，通過挖掘條件可采用轉化的一個等量關系式，通過挖掘條件可采用轉化思想將思想將“x

23、+y”轉化為一元函數的最值問題轉化為一元函數的最值問題. 練習練習1、(2009湖北卷湖北卷)圍建一個面積為圍建一個面積為360 m2的的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用利用的舊墻需維修的舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建。在舊墻，其它三面圍墻要新建。在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如的進出口，如圖所示。已知舊墻的維修費用為圖所示。已知舊墻的維修費用為45元元/m，新墻，新墻的造價為的造價為180元元/m.設利用的舊墻長度為設利用的舊墻長度為x(單位：單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為，修建此矩形場地圍墻

24、的總費用為y(單位：單位：元元).(1)將將y表示為表示為x的函數；的函數；(2)試確定試確定x，使修建此矩形場，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.解：解：(1)如圖，設矩形的另一邊長為如圖，設矩形的另一邊長為a m.則則y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360,由已知由已知xa=360，得，得a= , 所以所以y=225x+ -360(x0).(2)因為因為x0，所以所以225x+ 2 =10800.所以所以y=225x+ -36010440.當且僅當當且僅當225x= 時，等號成立時，等號成立.即當即當x=2

25、4 m時，時， 修建圍墻的總費用最小，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是最小總費用是10440元元.360 x2225 360360 x360 x360 x360 x2009年很多考生解答本題時做對了答案卻沒年很多考生解答本題時做對了答案卻沒有得滿分，主要原因是解題步驟不規范，造有得滿分，主要原因是解題步驟不規范，造成失分，主要體現在以下幾點成失分，主要體現在以下幾點.(1)列出函數解析式后沒有注明函數的定義域列出函數解析式后沒有注明函數的定義域.(2)利用基本不等式求出最值后沒有注明等號利用基本不等式求出最值后沒有注明等號成立的條件成立的條件.(3)沒有對結論進行總結沒有對結論進行總結.已知

26、已知 ，求函數，求函數 的最大值；的最大值； 310 x)31 (xxy（1）已知已知 是正數，滿足是正數，滿足 ，求求 的最大值和的最大值和 的最小值；的最小值； yx,（2）yx11xy12yx創造條件創造條件注意取等號的條件注意取等號的條件練習練習845x541128162xxxy（4）已知）已知 ，求函數，求函數的最大值。的最大值。（5）已知）已知a、b為實常數，求函數為實常數，求函數的最小值。的最小值。 22bxaxy解法三：導數法解法三：導數法方法與技巧方法與技巧在不等式的性質中，要特別注意下面三點：在不等式的性質中，要特別注意下面三點：1.不等式的傳遞性：若不等式的傳遞性：若ab

27、，bc，則，則ac，這，這是放縮法的依據是放縮法的依據.在運用傳遞性時，要注意不等在運用傳遞性時，要注意不等式的方向，否則易產生這樣的錯誤：為證明式的方向，否則易產生這樣的錯誤：為證明ac，選擇中間量，選擇中間量b，在證出，在證出ab，cb后，就誤后，就誤認為能得到認為能得到ac.2.同向不等式可相加但不能相減，即由同向不等式可相加但不能相減，即由ab，cd，可以得出，可以得出a+cb+d，但不能得出，但不能得出a-cb-d.3.不等式兩邊同時乘以一個數或式時，只有不等式兩邊同時乘以一個數或式時，只有保證該數或式為正，才能得到同向的不等式，保證該數或式為正，才能得到同向的不等式，若不能保證所乘

28、之數或式為正，則不等式兩若不能保證所乘之數或式為正，則不等式兩邊同時乘以該數或式后不能確定不等式的方邊同時乘以該數或式后不能確定不等式的方向；不等式兩邊同偶次乘方時，也要特別注向；不等式兩邊同偶次乘方時，也要特別注意不等式的兩邊必須是正意不等式的兩邊必須是正. 在基本不等式的應用中，要特別注意下面在基本不等式的應用中，要特別注意下面結論：若結論：若x、yR+，x+y=S，xy=P，則，則(1)如果如果P是定值，那么當是定值，那么當x=y時，時，S的值最小的值最小.(2)如果如果S是定值，那么當是定值，那么當x=y時，時，P的值最大的值最大.求最值的必要條件：一正、二定、三相等求最值的必要條件：

29、一正、二定、三相等常見構造條件的變換：加項變換，系數變換，常見構造條件的變換：加項變換，系數變換，平方變換，拆項變換，常量代換，三角代換平方變換，拆項變換，常量代換，三角代換等等. 如如.316)2383(31)38)(3(31)38(,380)2(. 422221)2(21,2) 1 (2xxxxxxxxxxxx時當時當21aa二次配方：二次配方： a0，aR,應用不等式應用不等式 可解決部分分式不等式的最值問題可解決部分分式不等式的最值問題.如：當如：當x2時，時，. 422221)2(21)2(2)2(212) 1 (22xxxxxxxx.41221)2(12121) 1(2)2(22xxxxxxx失誤與防范失誤與防范 使用基本不等式求最值使用基本不等式求最值,其失誤的真正原其失誤的真正原因是其存在因是其存在 前提前提“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”的的忽視忽視.要利用基本不等式