1、第四節第四節 三重積分的計算三重積分的計算一一 問題的提出問題的提出二二 直角坐標系下三重積分的計算直角坐標系下三重積分的計算三三 柱面坐標系下三重積分的計算柱面坐標系下三重積分的計算四四 球面坐標系下三重積分的計算球面坐標系下三重積分的計算一、問題的提出一、問題的提出例例 非均勻物體的質量非均勻物體的質量此此物物體體的的質質量量。上上的的連連續續正正值值函函數數，求求是是，體體密密度度域域角角坐坐標標系系中中占占有有空空間間區區的的物物體體，在在空空間間直直設設有有一一質質量量非非均均勻勻分分布布 ),( zyx積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標標系系中中的的體體其其中中 dxdydz的的物

2、物體體的的質質量量表表達達為為密密度度為為)z ,y,x( dxdydzzyxdVzyxM,),(直角坐標系下將三重積分化為三次積分直角坐標系下將三重積分化為三次積分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx,Dxoy的的投投影影為為閉閉區區域域面面上上在在閉閉區區域域 ),( :),( :2211yxzzSyxzzS ,),(lDyx作直線作直線過點過點 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz二、直角坐標系下三重積分的計算二、直角坐標系下三重積分的計算1. 1. 先先“一后一后“二二”（截線法）（截線法）l的的函函數數，只只看看作

3、作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區區間間計計算算DyxF),( DyxzyxzDddzzyxfdyxF ),(),(),(),(21,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),( baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx)()(),(),(2121),(類似可以得類似可以得 dczyzyyzxyzxdxzyxfdydz)()(),(),(2121),( dvzyxf),(解：解： 得得交交線線投投影影區區域域122 yxDxy： ,22222dzzyxfdxdy

4、IxyDxyx ,11221122222 xyxxxdzzyxfdydx解：解：11, 10 222 xyxyxz： xdxdydz xyDyxxdzdxdy210 xozy2111 xdxdydz 12 zyx軸軸方方向向積積分分，得得先先沿沿 z所所圍圍成成的的區區域域。與與直直線線面面上上，由由坐坐標標軸軸是是其其中中12 yxxoyDxy10 ,210 xxyDxy：1y21xoxyD 21010)21(xydyxxdx 102481141dxxxxozy2111 xdxdydz xyDyxxdzdxdy210z2. 2. 先先“二后二后“一一”（截面法）（截面法）截面法的一般步驟：截

5、面法的一般步驟： z,21cc(1) 把積分區域把積分區域 向某軸例如向某軸例如 軸）軸） 投影，得投影區間投影，得投影區間 ；,21ccz zxoy zD 對對 用垂直用垂直 軸且平行軸且平行 平面的平面去截平面的平面去截 得截面得截面 計算二重積分計算二重積分 其結果為其結果為 的函數的函數 ； zDdxdyzyxf),(z)(zF 最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值。即得三重積分值。 xyzozD解：解： zDccdxdydzzdxdydzz22 )1()1(222222czbczadxdyzD )1(22czab ccdzzczab222)1( 3154a

6、bc 原式原式。的的柱柱面面坐坐標標就就叫叫點點三三個個數數，則則這這樣樣的的的的極極坐坐標標為為面面上上的的投投影影在在并并設設點點為為空空間間內內一一點點設設Mzr,r,PxoyMz,y,xM),()( , ) ( ,0 r,20 ， z規定：規定：xyzo),(zyxM),( rP r留意：柱面坐標系就是平面留意：柱面坐標系就是平面 極坐標系加上極坐標系加上 軸。軸。z三、柱面坐標系下三重積分的計算三、柱面坐標系下三重積分的計算1. 1. 柱面坐標系柱面坐標系 zzryrx sincos柱面坐標與直角坐標的柱面坐標與直角坐標的關系為：關系為：柱面坐標系的三坐標面是柱面坐標系的三坐標面是

7、為為常常數數r圓柱面；圓柱面； 為常數為常數半平面；半平面； 為常數為常數z平平 面。面。),(zyxM),(rPrzxyzo zzxyyxr tan22或或2. 2. 柱面坐標系下三重積分的計算柱面坐標系下三重積分的計算 dxdydzzyxf),( dzrdrdzrrf),sin,cos( drxyzodzdr rd利用柱面坐標系的三組坐標利用柱面坐標系的三組坐標面來分割積分區域，如圖，面來分割積分區域，如圖，dzrdrddv 體積元素為體積元素為棱棱的的長長方方體體體體積積，所所以以為為，積積近近似似等等于于以以所所圍圍成成的的小小柱柱體體的的體體和和，和和和和由由zrrzzzrrr ,

8、解：解： zrzr342223 , 1 rz球面與拋物面交線為球面與拋物面交線為把閉區域把閉區域 投影到投影到xoy面上面上 24322030 rrrzdzdrd 413 20 30 43 :22 rrzr zdxdydzI 2432 xyDrrzdzrdrd 解：解： 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， 22 dxdydzyxz計計算算例例6 6 由由圓圓是是中中其其 。所所圍圍成成的的區區域域與與錐錐面面1222 zzyx222zyx rz 20, 10, 1 : rzr 110220 rzdzdrrd )21(21022 drrr 152 122 xyDrzdzdrdrdzdrdzr

9、22 dxdydzyxz所以所以四、球面坐標系下三重積分的計算四、球面坐標系下三重積分的計算1. 球面坐標系球面坐標系的球面坐標。的球面坐標。就叫做點就叫做點個數個數這樣的三這樣的三面上的投影面上的投影在在為點為點的角，這里的角，這里時針方向轉到有向線段時針方向轉到有向線段軸按逆軸按逆軸來看自軸來看自為從正為從正正向所夾的角，正向所夾的角，軸軸與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點與點為原點為原點其中其中來確定來確定三個有次序的數三個有次序的數可用可用則點則點為空間內一點為空間內一點設設MxoyMPOPxzzOMMOMzyxM , , , , , , , ),( ,0 20 ,0 規

10、定：規定：如圖，三坐標面分別為如圖，三坐標面分別為 為為常常數數 圓錐面；圓錐面； 為常數為常數 球球 面；面； 為常數為常數半平面。半平面。Pxyzo),(zyxM zyxA cossinsincossinzyx球面坐標與直角坐標的關系為球面坐標與直角坐標的關系為如圖，如圖，軸軸上上的的投投影影為為在在點點，面面上上的的投投影影為為在在設設點點AxPPxoyM ,zPMyAPxOA 則則Pxyzo),(zyxM zyxA2. 球面坐標系下三重積分的計算球面坐標系下三重積分的計算 ),( dxdydzzyxf sin )cos,sinsin,cossin(2 dddf 球面坐標系中的體積元素為

11、球面坐標系中的體積元素為 ddddvsin2 drxyzodr dsinr rd d d sinr解：解： 由錐面和球面圍成由錐面和球面圍成， 采采用用球球面面坐坐標標， 4 20 ,40 ,20 : ar例例7 7 計算計算 zdv其中其中 是是 與與 所圍成的立體。所圍成的立體。22yxz 22222azyx 2 ar 22222azyx zdv addd2022040sincos ad2040|41cossin2 42a 解：解： cos2cos32020sin dddI 23 204sincos215 d az cos a 222zyx 4 20,40,cos0 : a解法一：采用球面

12、坐標解法一：采用球面坐標 dxdydzyxI)(22 ddda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403 510a dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2 54254aaa 510a 222zyx , rz 20 ,0 , : arazr解法二：采用柱面坐標解法二：采用柱面坐標 補充補充 利用對稱性化簡三重積分計算利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應注意使用對稱性時應注意. 積分區域關于坐標面的對稱性；積分區域關于坐標面的對稱性；. 被積函數在積分區域上關于三被積函數在積分區域上關于三 個坐標的奇偶性。個坐標的奇偶性。 1)1ln( 222222 dxdydzzyxzyxz解：解：積分域關于三個坐標面都對稱，積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數是被積函數是 的奇函數的奇函數z0 解