1、18題圖2008年高考數學試題分類匯編立體幾何（二）1.（全國18）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）四棱錐ABCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC底面BCDE,BC2,CD四，ABAC.(I)證明：ADCE;（H）設CE與平面ABE所成的角為45°,求二面角CADE的大解：（1）取BC中點F,連接DF交CE于點O,QABAC,AFBC,又面ABC面BCDE,AF面BCDE,AFCE.tanCEDtanFDC,2OEDODE90°,DOE90°,即CEDF,CE面ADF,CEAD.(2)在面ACD內過C點作AD的垂線，垂足為G.QCGAD,CEA

2、D,AD面CEG,EGAD,則CGE即為所求二面角的平面角.CGACgDD2、3ADEGDE2DG2CE,6,則cosCGE222CG2GE2CE22CGgGE:7010.記CGE冗arccos,即二面角CAD10E的大小arccos102.（全國二19）如圖，正四棱柱（本小題滿分12分）ABCDAB1clD1中，AA12AB4,點E在CC1上A1且C1E3EC.(I)證明：A。平面BED;(H)求二面角ADEB的大小.解法一：依題設知AB2,CE1.(I)連結AC交BD于點F,則BDAC.由三垂線定理知，BDAC.3分在平面ACA內，連結EF交AC于點G,AA1AC-由于021242,FCC

3、E故RtzAACsRtzFCE,AA1CCFE,CFE與FCA1互余.于是ACEF.AiC與平面BED內兩條相交直線BD,EF都垂直,所以AC平面BED.6分(n)作GHDE,垂足為H,連結AH.由三垂線定理知AiHDE,故AHG是二面角ADEB的平面角.efJcf2ce273,CECF2223CG-f=E,EGvCECG.EF33EGIgh1互DEF33DE又ACAA2AC22石,_2而5,6AGACCG-3tanAHG柜5芯.HG所以二面角ADEB的大小為arctan5痣.解法以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸,建立如圖所示直角坐標系Dxyz.依題設，B(2,2,0)C(0,2,0)E

4、(0,2,1),A(2Q4).uuuruuirDE(0,2,1),DB(2,2,0),uuiruuurAC(2,2,4),DA1(2,0,4).3分uuirunruuiruuur(i)因為ACgDB0,ACgDE0,故ACBD,A1cDE.又DBIDED,所以A1c平面DBE.(n)設向量n(x,y,z)是平面DA1E的法向量，則uuuruurnnDE,nDA1.故2y z0, 2x 4z 0.2,x4,n(41,2).umr(n,AC)等于二面角A1DEB的平面角,.n?AC.14cosn,A|C；-,nA1C42所以二面角ADEB的大小為14arccos12分BCAB ,C3.(北京卷16

5、)如圖，在三棱錐PABC中，ACPCAC.(I)求證：PCAB;(n)求二面角BAPC的大小；(m)求點C到平面APB的距離.解法一：(I)取AB中點D,連結PD,CD.QAPBP,PDAB.QACBC,CDAB.QPDICDD,AB平面PCD.QPC平面PCD,PCAB.(n)QACBC,APAPCABPC.又PCAC,PCBC.BP,又ACB90o,即ACBC,且ACIPCC,BC平面PAC.取AP中點E.連結BE,BCE.QABBP,BEAP.QEC是BE在平面PAC內的射影，CEAP.BEC是二面角BAPC的平面角.在ABCE中，BCE900,BC2,BEBC.6sinBECBE3面角

6、BAPC的大小為arcsin（出）由（I）平面APB過C作CHQ平面APBICH平面知AB平面PCD,平面PCD.PD,垂足為平面PCDAPB.H.PD,CH的長即為點C到平面APB的距離.由(I)PCQCDPC知PCAB,平面ABC.平面ABC,CD.又PCAC,且ABIACA,在RtzXPCD中，CD1AB22PD223PBPC.PD2CD22.PCCD23CHPD點C到平面APB的距離為2®.3又PC PCQ ACIPCQ ABPCQ PBt 2, P(0Q ,2).取AP中點E,連結BE, CE.Q ACPCABBPCE AP, BEBEC是二面角AP .B APC的平面角.

7、QE(011),uurEC(0，1,1)，uuuEB(2, 1, 1),cos BECEC?EBEC EB2,6面角BAP C的大小為n arccos 3(出)Q ACBC PC ,C在平面APB內的射影為正如(n)建立空間直角坐標系 APB的中心H ,且CH C xyz.的長為點C到平面APB的距離.uuuQ BHuuur2HE ,解法二：(1) QACBC,APBP,APCABPC.AC,BC.BCC,平面ABC.平面ABC,AB.(n)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系Cxyz.則C(0,0Q),A(0,2,0)B(2,0Q).設P(0Q,t)的坐標為umrCH2,33點C到平面APB的

8、距離為2.34.(四川卷19).(本小題滿分12分)s如，平面ABEF平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD者B是直角梯形,011BADFAB90,BC/-AD,BE/AF22(I)證明：C,D,F,E四點共面；(H)設ABBCBE,求二面角AEDB的大小;【解1】：(I)延長DC交AB的延長線于點GBGCBC1GAGDAD2延長FE交AB的延長線于G'同理可得GEGBBE1GFGAAF2拓GBGB，故，即G與G重合GAGA因此直線CD、EF相交于點G,即C,D,F,E四點共面。(n)設AB1,則BCBE1,AD2取AE中點M,則BMAE,又由已知得，AD平面ABEF故ADBM,BM與

9、平面ADE內兩相交直線AD、AE都垂直。所以BM平面ADE,作MNDE,垂足為N,連結BN由三垂線定理知BNED,BMN為二面角AEDB的平面角。,21ADAE.3BM，MN22DE3故tanBMNBMMN所以二面角A6EDB的大小arctan2【解2】：由平面ABEF平面ABCD,AFAB,得AF平面ABCD,以A為坐標原點,射線AB為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系Axyz(I)設ABa,BCb,BEc,則Ba,0,0,Ca,b,0,Ea,0,c,D0,2b,0,F0,0,2cuuruuinEC0,b,c,FD0,2b,2cuuriuur故EC1FD,從而由點EFD,得ECFD2故C,

10、D,F,E四點共面(n)設AB1,貝UBCBE1,B1,0,0,C1,1,0,D0,2,0,E1,0,1在DE上取點uuujr,使DMuur5ME,5156,3,6uuur從而MBuuuruuruuur又DE1,2,1,MBDE0,MBDE在DE上取點uurDNuuui2NE,則N2,2,2333uuu從而NAuuu,NAuuurDE0,NADEuuu與NA的夾角等于二面角DEB的平面角,uuuuuucosMBNAuuuruuuMBNANA10-uuurNA|5所以二面角ADEB的大小arccos5天津卷(19)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB3,A

11、D2,PA2,PD22,PAB60(I)證明AD平面PAB;(n)求異面直線PC與AD所成的角的大小;(出)求二面角PBDA的大小.(19)本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力.滿分(I)證明：在PAD中，由題設PA2,PD2J2可得12分.222PA2AD2PD2于是ADPA.在矩形ABCD中，ADAB.又PAABA,所以AD平面PAB.(n)解：由題設，BCAD,所以PCB異面直線PC與AD所成的角在PAB中，由余弦定理得PB.PA2AB22PAABcosPAB、.7由（I）知AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB

12、,因而BCPB,于是PBC是直角三角形，故tanPCBPB二BC2所以異面直線PC與AD所成的角的大小為arctan.2（出）解：過點P做PHAB于H,過點H做HEBD于巳連結PE因為AD平面PAB,PH平面PAB,所以ADPH.又ADABA,因而PH平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內的射影.由三垂線定理可知,BDPE,從而PEH是二面角PBDA的平面角。由題設可得，PHPAsin60、3,AHPAcos601,2,BDAB2AD213,4.13于是再RTPHE中，tanPEH所以二面角PBDA的大小為安徽卷（18）.（本小題滿分12分如圖，在四錐OABCD中，底面ABCD四邊長為1的

13、菱形,OA2,M為OA的中點，N為BC的中點（I）證明：直線MN|平面OCD；（n）求異面直線AB與MD所成角的大小；（出）求點B到平面OCD的距離。BHHEABADBDAHBH.394,39arctan一4方法一（綜合法）（1）取OB中點E,連接ME,NEQME|ABABllCD,ME|CDABC一,OA底面ABCD,又QNE|OC,平面MNE|平面OCDMN|平面OCD(2) QCD|AB,MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）作APCD于P,連接MPOA面面ABCD”.CDMPMD JMA2 AD2 V2，: cosMDPDP 1 ,MDCMD 2MDP 3所以AB與MD所成角的

14、大小為一3(3) AB|平面OCD；.點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作AQOP于點Q,vAPCD,OACD,/.CD平面OAP,：AQCD到平面OCD的距離又AQOP,/.AQ平面OCD,線段AQ的長就是點Av OP OD2DP2, OA2 AD2 DP2, 4 1；AP DP ".aq OAgAPOP2-o92q2222,所以點B到平面OCD的距離為-3.233方法二（向量法）作APCD于點P如圖，分別以AB,AP,AO所在直線為x,y,z軸建立坐標系A(。,。,。)，B(1,0,0),P(0£0),D(3短0)。0,0,2),.0”。uuuir(1)

15、 MN(122 uuu 、2 uuur彳7 1),0P (。亍 2),OD (,2、,22)設平面OCD的法向量為nuur(x,y,z)，則 ngDPumr0,ngOD 02萬y即 2 _ .2 x22z 072,解得n （0,4，歷至32uuurMN gn1)的4, 2)MN|平面OCD(2)設AB與MD所成的角為uuu， ABuuuu .22(1,0,0)，MD ( ”，1)uur ujurABgMD?uuu-uuuu|AB MD,AB與MD所成角的大小為一33(0,4,5/2)上的投影的絕對值uuiu一(3)設點B到平面OCD的距離為d,則d為OB在向量nuuruuuOBn22由OB(1

16、,0,2),得d.所以點B到平面OCD的距離為一n33山東卷(20)(本小題滿分12分)如圖，已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形，PAL平面ABCD,ABC60,E,F分別是BC,PC的中點.(I)證明：AEXPD;(II)若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為,求二面角E-AF-C的余弦值.2(I)證明：由四邊形ABCD為菱形，/ABC=60°,可得ABC為正三角形因為E為BC的中點，所以AEXBC.又BC/AD,因此AEXAD.因為FAL平面ABCD,AE平面ABCD,所以FAXAE.而PA平面PAD,AD平面FAD且FAAAD=A,所以AEL平面PAD

17、,又PD平面PAD.所以AEXPD.(II)解：設AB=2,H為PD上任意一點，連接AH,EH.由(I)知AEL平面PAD,則/EHA為EH與平面PAD所成的角.在RtAEAH中，AE=J3,所以當AH最短時，/EHA最大，即當AHXPD時，/EHA最大.AE36此時tanZEHA=AHAH2因此AH=J2.又AD=2,所以/ADH=45°,所以PA=2.解法一：因為PAL平面ABCD,PA平面PAC,所以平面PACL平面ABCD.過E作EOXAC于O,則EOL平面PAC,過。作OSLAF于S,連接ES,則/ESO為二面角E-AF-C的平面角,AO=AE - cos30。=32在Rf

18、AOE中,EO=AE-sin30=立,2又F是PC的中點，在RtASO中，SO=AOsin45°,SO在 RtA ESO 中，cos/ ESO=SE3、2工 _15,3054即所求二面角的余弦值為解法二：由(I)知 AE, AD, AP兩兩垂直,標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以E、F分別為BC、PC的中點，所以A (0, 0, 0), B (石，-1, 0), C (C, 1, 0),D (0, 2,0),P (0, 0,2),E( 73,0, 0), F( ,1,1),2 2以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐所以uurAE一 uuur( 3,0,0), AF0,0,

19、設平面AEF的一法向量為m(x1,y1,z1),Zi1,則 m (0,2, 1),uur皿mgAEuuurmgAF因為BDXAC,BDPA,PAAAC=A,所以BD，平面AFC,uuu故BD為平面AFC的一法向量.uuur_BD = (-73,3,0),uuruuurmgBD2315所以cosvm,BD>=三Uuu-=.|m|gBD|,5.125因為二面角E-AF-C為銳角,15所以所求二面角的余弦值為55江蘇卷16.在四面體ABCD中，CB=CD,AD，BD,且E,F分別是AB,BD的中點,求證：(I)直線EF/面ACD;(II)面EFCL面BCD.【解析】本小題考查空間直線與平面、平

20、面與平面的位置關系的判定.(I)E,F分別是AB,BD的中點，EF>AABD的中位線，EF/AD,EF面ACD,AD面ACD,.直線EF/面ACD.(n).ADXBD,EF/AD,.EF±BD.CB=CD,F是BD的中點，CFXBD.又EFICF=F,BD±WEFC.BD面BCD,面EFC,面BCD.江西卷.解：(1)證明：依題設，EF是ABC的中位線，所以EF/BC,Ci則EF/平面OBC,所以EF/B1C1。又H是EF的中點，所以AH，EF,則AH±B1C1oA因為OAOB,OA±OC,所以OAL面OBC,則OA±B1C1,因此BiC

21、i，面OAH。(2)作ON，AB于N,連C1N。因為OC1L平面OAB1,根據三垂線定理知，C1N±A1B1,ONCi就是二面角OA1B1Ci的平面角。作EMLOB1于M,則EM/OA,則M是OB的中點，則EMOM1。設OBx,由OB1MB10A1得xEM寸'x13,在RtOABi中,AB:OA；OB12ONOA1OB1AB1所以tanONC10clONOA|B1C1為arctan后。解法二：(1)以直線OAOC、OB分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系,xyz則A(2,0,0),B(0,0,2),-11C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0),H(1,?2)所

22、以uuurAH11uuur(反產11uuir(1丑)斥(0,2,2)所以uuurAHuuiruuurBC0,OHuuirBC所以BC平面OAH由EFBC得B1cl/故:BiCi平面OAH(2)由已知3、兒A(2,0,0),設B1(0,0，z)uuur則AEUULTuuir(2，0，1)，EB1(uur1,0,z1)由AE與EB1共線得：存在uuurR有AEumrEB/導12z31(z1)Bi(0,0,3)z同理：a(0,3,0)uuuur3uuuirA1B1(一,0,3),AC123(2，3，0)r設n1(%,%,乙)是平面AB1G的一個法向量，3-x23-x23z3yurn1(2,1,1).uu又“(0,1,0)是平面OA1B1的一個法量iruurcosni,rb1_64116所以二面角的大小為arccos96 3(3)由(2)知，A1(-,010)2LTUULTB(0,0,2),平面ABG的一個法向量為r1(2,1,1)。3則AB(,0,2)。2則點B到平面ABiCi的距離為uuururA1Br1I32ni湖北卷18.(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC側面A1ABB1.(I)求證：ABBC;(n)若直線AC與平面ABC所成的角為，二面角ABCA的大小為，試判斷與的大小關系，并予以證明.18.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二