1、關于實數連續性的6個基本定理的互證中國人民大學2006級經濟學數學雙學位實驗班張磊首先6個定理表述如下：確界定理：在實數系R內，非空的有上（下）界的數集必有上（下）確界存在.單調有界原理：若數列xn單調上升有上界，則xn必有極限.區間套定理：設an,bnJ是一個區間套，則必存在唯一的實數r,使得r包含在OC所有的區間里，即rAan,bnn=4有限覆蓋定理：實數閉區間a,b的任一覆蓋E,必存在有限的子覆蓋.緊致性定理：有界數列必有收斂子數列.柯西收斂定理：在實數系中，數列卜0有極限存在的充分必要條件是：£>0,N,當naN,maN時，有|xn-xm|<&一、確界定理

2、證明其他定理1、確界定理證明單調有界定理證明：設<xn是單調上升有上界的實數列.由確界定理可得，r,使r=sup',xn.n，有xn<r,并且£>0,xN，有xN>r-£n>N，有r-£<xn<xn<r,即|xn-r|<£2、確界定理證明區間套定理證明：由bn十，為十】L,bn，知an是單調上升有上界的實數列，bn是單調下降有下界的數列且bl是an的上界，ai是bn的下界.設liman=r,limbn=r'由n8nT8確界定理對單調有界定理的證明知r=supan,rz=infbn.由l

3、im（bn-an）=0得r-r=0即r-r=supian=infbnnco88最后證明唯一性.若有r,r，滿足rPlIan,bn,r'Q*,bn,則n1n1|r-r'|wbn-an-0(n囚故r=r，.即這樣的r是唯一的.定理證完.3、確界定理證明致密性定理.證明：證明：設數列Xn是有界數列.定義數集A=x|xn中大于x的點有無窮多個Gn有界A有上界且非空.由確界定理可得r,使r=supA.則£>0,有r-e不是A的上界.xn中大于r-£的項有無窮多個.r+e是A的上界xn中大于r十e的項只有有限個.在(r-£,r+e)中有xn的無窮多項，即

4、c>0,n,n>N,使xn(r-£,r+£)對£=1,L,使xni(r-1,r+1),即|"-r|<1取£二一12，n2An1,有|%2-r|<12，如此繼續下去，取e=,nk>nk-1，有|xnk-r|<°k,由此得到xn的子數列xnk,當k一8時，xnk-rxn存在收斂子數列.定理證完4、確界定理證明柯西收斂原則.證明：首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數，當m,n>N0時，有xm-xj<1,特別的當n>N0且m=N0+1時，有xn-xno力<1從而當nN0

5、時，有xn<xn-xN0書+xN01<1+xN0書這就證明了的有界性.記A=XXn中大于x的有無窮項顯然A為有界集合，則由確界定理知A有上確界記B=supA.則O0,滿足Xn>B-由勺有無窮多項，且XnAB+由勺有有限項所以xn中有無窮多項滿足B-£<Xn<P+££>0,N>0,當nN時，Xn-卜limXn=Bnco5、確界定理證明有限覆蓋定理證明：設E是閉區間a,b的一個覆蓋.定義數集A=xla,b】|區間a,x在E中存在有限子覆蓋從區間的左端點x=a開始.由于在E中有一個開區間覆蓋a,因此a及其右側充分鄰近的點均在A中

6、.這就保證了數集A是非空的.從數集A的定義可見，若XA,則整個區間a,xA.若A無上界，則bA,那么a,b在E中存在有限子覆蓋.若A有上界，由確界定理可得r,使r=supA.x?r都有xA.事實上，(r-x)>0,y,s,ty>r-(r-x)=x.a,y在E中存在有限子覆蓋，a,xa,V在E中存在有限子覆蓋下證b<r.用反證法.如果不然，rwb,則ra,b.因此，在E中存在有一開區間覆蓋Ea覆蓋r.a0,b0Ea,使a。<r<b0.由上面論證知a0A,也即區間a,a0在E中存在有限子覆蓋，向這個有限子覆蓋再加上開區間Ea,即成為a，b的覆蓋.b0A,與r=supA

7、矛盾.定理證完.、單調有界定理證明其他定理1、單調有界定理證明確界定理證明1：已知實數集A非空.aA,不妨設a不是2/勺上界，另外，知b是A的上界，記ai=a,bi=b,用ai,bi的中比2一二二等分b|,bi，如果a_b、B,則%2；如果albA,則取a=2aibi如此繼續下去，使得兩用序列anbn.其中anA單調上升有上界（例如從），bnB單調下降有下界（例如ai）并口n-an=1（n）.由單調有界定理，知2r,使liman=r.由lim(bn-an)=0有liman+(bn-an)=rn-8nsn0°bn是A的上界，xA,有x<bn(n=i,2,),令n-8,x<l

8、imb=rr是A的上界.nfcon而£>0,由liman=r知£>0,知N,當nN,有r-£<an,nf8從而XA使r-e<an<X,r=supA.同理可證非空有下界數集有下確界.定理證完.證明2:設E是非空有上界的集合，設Qo為E的所有有理數上界.令Q=r,r,r.r.r.令x=minr,r.r0i23nni2xnQ0且單調下降有下界的數列。Ss.tlimxn=E,下面證明白supE。n0°(i)如果xE,s.txA巳則x0-2>0N,s.tx<E+x0-七=刈+I<x002n220.xNQ0這與xN為E

9、的上界矛盾.（2）如果0,xE,s.txw±-b由有理數稠密性定理知r'Q,s.t"-r'<己xE,x<r'r'為E的一個上界r'Q0這與寧xn<rn矛盾2、用單調有界證明區間套定理證明：已知an<an書（n）,an<bn<bi,由單調有界定理知an存在極限，設liman=r,n0°同理可知bn存在極限，設limbn=r,由lim(bn-an)=0得r-r'=0即r=rnocnx.n,有anWbn,令n一°0,有anWr=r，Wbn,n,有anWrWbn.一.一i一八一1

10、，一,88取后證明唯一性.右有r,r，滿足rAan,bn,r，Aa“，b”,則nn/|r-r'|<bn-an-0(n丹故r=r，.即這樣的r是唯一的.3、用單調有界定理證明致密性定理證明：首先證明有界數列an有單調子數列.稱其中的項an有性質M,若對每個i>n,都有an>ai,也就是說，an是集合ai|i>n的最大數.分兩種情形討論：數列an有無窮多項具有性質M,將它們按下標的順序排列，記為am,an2ank,滿足ni<n2c.nk<,那么我們就已經得到一個單調下降的子列；an.數列an只有有窮多項具有性質M,那么N,當nN,有an不具有性質M,即i

11、>n,有an<ai,從中任取一項記為am,因為它不具有性質M,1- n2>ni,使ani<an2,如此繼續下去，我們得到一子列ank單調上升，.有界數列an必有單調子數列，由單調有界定理，可得ank存在極限.4、單調有界證明柯西收斂準則證明：首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數，當m,n>N0時，有|xm-Xn|<1,特別的當n>N0且m=No+1時，有Xn-XN0+1<1從而當n>N0時，有xn&xn-xN0+xN0中<1+xN0書這就證明了kn的有界性.任意有界數列必存在單調子列，由單調有界定理知必有收斂子列

12、5,設limxn=a,則對£>0,K>0,k>K時有|xn-a|<£kk*kk取一正整數k0=max(K+1,N+1),于是當k0K且nk0>nNi>N+1>N當nN時，由已知條件有xn-xnk0<e|xn-al<xn-xn心-a<e+e=2e即limxn=ak0111k0n-85、單調有界證明有限覆蓋定理證明：假設某一閉區間L,b的某個開覆蓋E的有限個區間覆蓋，等分a,b為兩個部分區間，則至少有一個部分區間不能被E的有限個區間覆蓋，把這個區間記為Li,b1,再等分a，b1,記不能被E的有限個區間覆蓋的那個部分區間

13、為L2,b2,照這樣分下去得到一個區間列an,bn】,這些區間適合下面3個條件:(1)每一個Un,bn】都不能被E的有限個區間覆蓋an單調遞增且有界，bn單調下降且有界，an<bnba，一、.-bn-an=2-n-0由單調有界定理知an極限存在，記liman=an*同理由單調有界定理知bn極限存在，記limbn=&,下面證明6=8n*用反證法，如果&w日，則a<a.e=J20,n>0,n>NJa-3即a<e=2&*311nln13£=0,N2A0,n>N,|b-q<3即bn>2-e=&+2a30023c&

14、gt;0,N3,當n>N3時，bn-an<£N=max(N1,N2,N3),當n>N時，bn-ana-2二工，矛盾3由覆蓋概念和定理所設條件，在E中至少存在一個開區間滿足己(a,B)由數列極限的性質知道，必存在一個正整數N當n>N時，有a<an<bn<B即當n>N時，有lan,bn】(a,B步(1)矛盾.所以假設錯誤，原命題成三、區間套定理證明其他定理1、區間套定理證明確界定理證明：由數集A非空，知aA,不妨設a不是A的上界，另外，知bab是A的上界，記,=,用，的中足J一二等分，,aibiabaibi2aibiai+bi是A的上界，則

15、取ai+biai+bi如果a2,b21=ai,;如果不是A的上222界，則取取和bi；用a2,b2的中點電2二等分a2,22b2如此繼續下去，使得區間套an,bn.其中an不是A的上界，bn是A的上界.由區間套定理可得,OC唯一的rAan,bn，使liman=limbn=r,n-8nsnixA，由xWbn(n=i,2,),令n-8,x&limbn=rr是A的上界.nco而£>0,由liman=r知00,知N,當naN,有r-£<an,n78從而XA,使r-£<an<X,r=supA.同理可證非空有下界數集有下確界.定理證完.2、用區

16、間套定理證明單調有界定理證明：設xn是單調上升有上界的實數列.b是它的一個上界，令ai=xi-i,二等分a，bi,其中必有一區間含xn的無窮多項，記其為a?,b2，二等分a2,b2,如此繼續下去，使得區間套an,bn,滿足n5an,bnco含xn的無窮多項.由區間套定理可得，唯一的rAan,bn,使nIima=limb=r,則對e>0,N,n>N,r-e<an<bn<r+e.nsnnsn取，a,b含<x的無窮多項,n°Nn0n0n當m>M時，有xa,b.如果不然，m0no則M,使xa,b.mn0n0m>M，有b<x,則在a1n01

17、n0n0中最多只有%的前m1項，與am,be的構造矛盾.從而當m>M時，有r-£<an<xm<bn<r+e,即|xm-r|<&00.limxm=r,即lim%=r.3、用區間套定理證明致密性定理證明：已知a,b,使aVxnVb.設ab沒有E的有限子覆蓋，記a,b=a，b1,二等分a，b,其中必有一區間含xn的無窮多項，記其為a2,b2,>等分a2,b2,如此繼續下去，便得區間套an,bn,滿足n,an,bn含xn的無窮多項.由區間套定理可得，唯一的OCrpa,b，使lima=limb=r.nnn8nn-8nn=1k1,nk,使r-k:

18、ank'k,bnknkk-1<r<bnk<r+-kWbnk因此n1,使r-1<an1<r<bm<r+.這時存在xn1an-bn1,歸納地，,nkxnnk由含的無窮多項，知令k,limxn=r.xn存在收斂子數列ksk4、區間套定理證明柯西收斂原則證明1:首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數,當m,n>N0時，有xm-xn<1,特別的當n>N0且m=N0+1時，有xn-xn。書<1從而當n>N0時，有xnwxn-xN0+xn。書<1+xn0+這就證明了xn的有界性.記a<xn<b將區間

19、a,b二等分，則必有一個區間上有xn的無窮多項，記這個區間為bi,bi】.依次類推彳評區間晝外,坊1滿足(D每個bn,bn】中都含有Xn的無窮多項(2) an單調遞增且有界，bn單調下降且有界，an<bnb_a(3) b-a=2nnn4由區間套定理知唯一的建所有區間的公共點，lima=limb=Ennnns所以冷有無窮多項屬Kan,bn,記這些項組成的子列攵Xnk,則容易證明limx=E，下面證明x的極限也為己,若不然，x存在另外n；U，nn.一個收斂子列使得limx=E不妨設Ea己nkk-8e=3七>0,K>0,k>K,x-i<e,即x<E+e=21t_L

20、311nnokk3£=W二上-0,K0,kK,|x322n，一21E<e,即x'>e=_匕-7nok3則N=maxNki,Nk2,N)當利時，xm0)，(ast|xm-xn>&七3與基本數列矛盾，所以xn的極限為J證明2:首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數，當m,n>N0時,有xm-xn<1,特別的當n>N0且m=N0蟲時，有xn-xN0書<1從而當nN0時，有lxnlJn-N0*|4N0*-1+|N0+|這就證明了xn的有界性.a1,b1,使n,有a1<xn<b,將區間a1,b1二等分，令C1,c

21、2=a1b1,得到三個長度相同的子區間a1,C1,C1,C2,C2,b1分別記為J1,J2,J3,根據它們在實數軸上的左中右位置和基本列定義，J1,J3,至少有一區間只含有數列xn的有限多項.如果不然，在J1,J3均有數列的無限多項那么b-a，取xJ,xJ,n,m可以任意大，|x-x|£0=-n1m3nm£03與基本列定義矛盾，結論成立.;可以從ai,bl中去掉只含有xn中有限多項的區間Ji或J3bn,該區間套具有以將得到區間a2,b2,重復這個過程，得到區間套an卜兩個性質：2(1)閉區間套中的每個區間的長度是前一個區間長度的-3.(2)每一個an,bn中含有數列xn從某

22、項后的所有項由(1)所得，唯一的實數r,使liman=limbn=rnsn-8£0,N使得aN,bN(r-£,r+&),由(2)可得N,當n>N,有|xn-r|<e,limxn=r.定理證完.nco兩種證法分別采用的是區間套的兩種構造方法：二分法具有b-a=bn-an,這就保證了點r唯一，而對有界數列x,更構n1n12n造了每個閉區間含有數列而的無限多項；而三分法，不僅具有b-a=2(bn_L_a。，也保證了點r唯一，更是用到了基本列的性質，使每個閉""3區間包含從某項起的所有項.5、區間套定理證明有限覆蓋定理證明：用反證法.設E是閉

23、區間a,b的一個覆蓋.設a,b沒有E的有限子覆蓋，記a,b=ai,bi,二等分ai,b1,其中必有一區間沒有E的有限子覆蓋，記其為a?,b2,二等分a2,b2,如此繼續下去，便得區間套an,bn,滿足n,an,bn沒有E的有限子覆蓋.由區間套定理可唯一的OCrna,b,使lima=limb=r.11nnn-8nf00n1由E是a,b的覆蓋，知(a,B)E,使a<r<B根據極限不等式，N1,當n>N1,有a<an,N2，當n>N2,有B>bn.取N=max(Ni,N2)，當n>N，有a<anBabn.又anwrwbn(n),當n>N,有an,

24、bn(a,B),與an,bn沒有E的有限子覆蓋矛盾.故a,b在E中存在有限子覆蓋.定理證完.四、致密性定理證明其他定理1、致密性定理證明確界原理證明：設E是非空有上界的集合，設Q0為E的所有有理數上界令Q=r,r,r.r.r.令x=minr,r.r01123sn；n12n；xnQ0且單調下降有下界的數列。且顯然有上界，由致密性定理知:Es.tlimxnk=自下面證明E=supE。ks(1)如果xE,s.txE,貝ux0-己>0N,s.tx<l+x0-己=x0*己<x002n220.xNQ0這與xN為E的上界矛盾.(2)如果己0>0,xE,s.txwjb由有理數稠密性定理

25、知r'Q,s.t0-0<r'cxE,x<r'r'為E的一個上界r'Q0這與yxnk<r矛盾.2、致密性定理證明單調有界定理證明：設xn是單調上升有上界的實數列.Vxn有界，由緊致性定理可得，xn的子數列xn;且收斂于r.即eA0,K,當kK時，有,n-r<"即r-£<xn<r+e,N=nK書,n>N,有xnxn>r-£.kK1.nk-00,n>N,nk<n,從而xn<xn，<r+*即|xn-r|<£.k£>0,N=nK七，

26、當n>nk書時，4-r|<£,limxn=r.定理證完.nfco3、致密性定理證明區間套定理證明：得區間套an,bn,知an單調遞增且有上界，則an為有界數列，則由致密性定理知存在an的子列滿足liman=a,同理存在bn的子歹1limbn=2k-k下面證明&=a,用反證法，如果&W2,則&<H.=-2>0,N>0,n>N,a-且<e,即a<己+£=2&*2311n1n13e=芻-3>0,N>0,n>N,b-L<£，即b>E-e=JLL2222n2n2&#

27、163;>0,N3,當nAN3時,bn-an<£N=max(Ni,N2,N3),當n>N時，bn-anA寶二上,矛盾3所以假設錯誤，原命題成立.4、致密性定理證明柯西收斂原則證明：首先證明基本列必有界，取E<1,必有一正整數，當m,n>N0時，有Xm-Xn<1,特別的當n>N0且m=N0+1時，有Xn-XN。出?1從而當nN0時，有Xn<Xn-XN0書+xn0由11+XN0平這就證明了Xn的有界性.下證Xn有極限存在.,Xn有界，由致密性定理可得，Xn的子數列Xnk且收斂于r.即£>0,K,當kK時，有Xnk-r|一2.

28、另外N1>0,當nANi,m>Ni時，Xn-Xm一2.取N=max(nK力，N1),nN時，取k0N,則xn-r=xn-xk0+xk0-r<Xn-xk0+xk0-r<£limXn=r.定理證完nco5、致密性定理證明有限覆蓋定理證明：假設某一閉區間a,b的某個開覆蓋E的有限個區間覆蓋，等分a,b為兩個部分區間，則至少有一個部分區間不能被E的有限個區間覆蓋，把這個區間記為lai,bi,再等分ai,bi,記不能被E的有限個區間覆蓋的那個部分區間為la2,b2,照這樣分下去得到一個區間列an,bn,這些區間適合下面3個條件：(1)每一個lan,bn都不能被E的有限個

29、區間覆蓋(2)兩個數列均為有界數列，且an:二bnb_a(3)b-a=一一0nn2n所以兩個數列均春在收斂子列，記liman=a,limbn=&，下面證明&=A.kfCK)kkfCK)k若4*七2，由an<bn易知&<2£=學>0，K>0,n>Ka-<£，即a<己+£=2&+23ii.環""3e=2>0,K>0,n>K,b-g<£，即b>2-£=1+22322nk2'k3o0,N3,當naN3時，bn-an<

30、£N=max(Ni,N2,N3),當n>N時，-_bn-an-2)，矛盾3所以i=2，記liman=limbn=E.ko0kko0k由覆蓋概念和定理所設條件，在E中至少存在一個開區間滿足己(出心由數列極限的性質知道，必存在一個正整數K=max(Ki,K2)時，當k>K時，有a<ank<bnk<0即當nK時，有an,bn】(a,p)(n>nK)與(i)矛盾.所以假設錯誤，原命題成立.五、柯西收斂原則證明其他定理1、柯西收斂原則證明確界定理證明i:記A為數集E所有上界構成的集合，任取一個元素r屬于Ak0N,滿足r-k0不是E的上界，而r-(k0-i)為

31、E的上界，kii,238,9,滿足r-(k0-i)-不是E的上界，而r-(k0-i)-員化為E的上界k21,238,9,滿足r-甘匚-k2不是E的上界，而r-匯;生為E的上界k3123.8,9滿足r-Eki-1k10k410k3不是E的上界，而r-萬ki-1為E的上界3i上1010kn不是E的上界，而r-10nJkkn1,23.8,9,滿足r-Xrif10令xn=r-77i-i衛101&0,N=lg，當m>n>N時,£xm-xnm工i=n1K-1i108m-n-11Zjr<10i毛108n1101<-n<&10所以xn是一個基本列且單調遞

32、減，所以limxnnco1-10E,下面證明已為E的上確界.(1)如果xE,0N,n>N時，s.tx<+x0-x=x0+xNQ0這與xN為E的上界矛盾.(2)如果C.0,xE,s.txw±-b由有理數稠密性定理知r'Q,s.t&-E0<r'<ExE,x<r'r'為E的一個上界r'Q0這與yxnk<r矛盾.證明2：設數集A非空有上界，b1是A的上界，a1不是A的上界，a1<b1，用a1,b1的中點型力二等分a,b",如峭士也是A的上界，則取a2,b2=22a2b?不是A的上界，則取a2,

33、b2.a1bia1b1如果=,b1；用a2,b2的中點等分a2,b2如此繼續下去，得數列an,bn滿足n,an不是A的上界，bn是A的上界且lim(bn-an)=0.nco下證an是柯西列，:lim(bn-an)=nco又a<a<b<b,從而pZ*,|ann-1n1n西列從而收斂，設liman=r.nco最后證r=supA.n,an不是A的上界，o0,n,當n>N,有r-£<an<a<r.故r=supA.下證r是唯一的.即唯一的r,0,即e>0,N,n2N,bn-an<e.-a|<(b-a就a是柯n-pnnnnaA,使an&

34、lt;a.由liman=r,則ncoe>0,N,當n>N,有r-£<a<r,使n,an<r<bn.如果不然，若有r,r88滿足rAan,bn,r，口島,bn,則|r-r1<bn-an-0(n-3,故r=r，.即這樣的n4n4r是唯一的.2、柯西收斂原則證明單調有界定理證明：設xn是單調上升有上界的實數列.用反證法和柯西收斂定理.若xn不存在極限.則£0>0,N,n>N,有Xn-xN=Xn-Xn卜©.依次取N1=1,ni>N1,使Xni-X1>3,N2=n1,n2>n1，使Xn2-Xm>0

35、,；Nk=nk-1,Pk>Nk,使Xnk-Xnk-1A0.把它們相加，得到x-x冰gnG,k>一，有X>G,與x有界n10ennkk矛盾，故Xn必有極限.3、柯西收斂原則證明區間套定理證明：e>0,N1>0,當門AN1時，bn-anRe，當m>n>N時，amc>0,N=N1an<an-bn<"由柯西收斂原則知liman=3n-00£>0,N=N，當m>nN時，b-b<la-b<3由柯西收斂原則知limb二七1mn1nnn2下面證明1=2用反證法，如果aW2,則芻多(an<bn).

36、63;=-20,N>0,n>N,ia-日<egJa<己+e=2-*&311n1n13e=J2二0,N2>0,n>N,|b-q"即bnA3-"1+2a320023o0,N3,當nN3時，bn-an<£N=max(Ni,N2,N3),當n>N時，bn-an>-,矛盾3所以假設錯誤，原命題成立.唯一性易證.4、柯西收斂原則證明致密性定理證明：首先證明有界數列xn有單調子數列.稱其中的項xn有性質M,若對每個iAn,都有xn>xi,也就是說，xn是集合xn|i>n的最大數.分兩種情形討論：數列(Xn

37、有無窮多項具有性質M,將它們按下標的順序排列，記為xni,xn2.xnk,滿足ni：二n2：二.nk：二,那么我們就已經得到一個單調下降的子列x.數列an只有有窮多項具有性質M,那么N,當n>N,有xn不具有性質M,即i>n,有xn<為，從中任取一項記為xni,因為它不具有性質M,n2Ani,使iMx.,，如此繼續下去，我們得到一子列xnk單調上升.不妨設xn有一個單調遞增且有界的的子列xnk，若xnk不存在極限則£0>0,K,nk>nK,有xn-xn>0IkK依次BKii，nk>ni,Hlxn-xn>0,K2=ki,nk2>nk

38、,使xn-xn£01k.iiki2iKj=kj-i,nk>nk,佃-%>j-ikjj-i.x.G.xi»；把它們相加得xnknk>k，G，j>,有xv>G與1xnk）有界矛盾kij所以xnk有極限，證畢.5、柯西收斂原則證明有限覆蓋定理證明：假設某一閉區間,b不能被某個開覆蓋E的有限個區間覆蓋，等分la,b為兩個部分區間，則至少有一個部分區間不能被E的有限個區間覆蓋，把這個區間記為ai,bi,再等分fei,bi,記不能被E的有限個區間覆蓋的那個部分區間為自2,b2,照這樣分下去得到一個區間列an,bn,這些區間適合下面3個條件：(1)每一個la

39、n,bn都不能被E的有限個區間覆蓋(2)兩個數列均為有界數列，且an：二bnb.a(3) b-a=0nn2nb-a£>0,Na0,當nN時，有b-a|_一二,作數歹x=亙_bi,11nn2nn2£>0,N=N，當mnaN時，X-x|<lam-anl+lbm-bn<&1 mn|2 2所以xn為基本列，記limxn=己nco由覆蓋概念和定理所設條件，在E中至少存在一個開區間滿足己(&B)由數列極限的性質知道，必存在一個正整數K=max(K1,K2)時，當k>K時，有a<ank<bnk<0即當n>K時，有lan

40、,bn(B)(n>Ik)與(1)矛盾.所以假設錯誤，原命題成立.六、有限覆蓋定理證明其他定理1、有限覆蓋定理證明確界定理證明：設WER,A為E的所有上界組成的集合，xE,MA,則x<M,任取x0E,假設E無最小上界，則x【x。，M朋足：（1） x為E的上界時，則必有更小的上界x1<x,因而有x的一個開鄰域其中皆為E的上界（2） x不為E的上界時，則必有X2E,X2>x,使得有x的一個開鄰域x,其中皆不為E的上界所以區間b,M）的每一點均存在一個開鄰域x要么為（1）要么為（2）,這些開鄰域x：x1x0,M）組成了區間lx。，M的一個開覆蓋，則由有限覆蓋定理知存在有限覆蓋x

41、i，x2Xn）覆蓋區間區,M.所以M屬于的開區間為（1）,相鄰接的鄰域如有公共點也應為（1）,依此類推經過有限次的鄰接后，得xo也應為（1）,矛盾.2、有限覆蓋定理證明單調有界原理證明：不妨設xn單調遞增，且m<xn<M,假設xn的極限不存在，所以x1m,M,存在x的某個x鄰域中只含有xn的有限項.否則如果有x1,x2,使得存在xn的兩個子列xnk和xnk極限分別為x1,x2（不妨設x1<x2）£=x2-x1>0,K，當k>K時，x-xl<£,x<x1+x2211n'nckk2&=x2-x1>0,K,當k>K時，x'-x<e,x'>x1'x22122，n27n2右kk右則對充分大的K,有xkxnkMxjJk（k>j）但是xk<