1、2 2 矩陣的標準形矩陣的標準形3 3 不變因子不變因子4 4 矩陣相似的條件矩陣相似的條件1 1 矩陣矩陣小結與習題小結與習題6 6 若當若當(Jordan)(Jordan)標準標準形的理論推導形的理論推導5 5 初等因子初等因子一、一、 矩陣的概念矩陣的概念三、三、 可逆可逆 矩陣矩陣 二、二、 矩陣的秩矩陣的秩第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念定義定義：若矩陣若矩陣A的元素是的元素是 的多項式，即的多項式，即 的元素，則的元素，則 P 設設P P是一個數域，是一個文字，是多項式環，是一個數域，是一個文字，是多項式環， P 稱稱A為為 矩陣矩陣，并把，并把A寫成寫成 ( ).

2、A 一、一、 矩陣的概念矩陣的概念注：注： 數域數域P上的矩陣上的矩陣數字矩陣也數字矩陣也 ,PP 是是 矩陣矩陣.第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念其定義與運算規律與數字矩陣相同其定義與運算規律與數字矩陣相同. 對于對于 的的 矩陣，同樣有行列式矩陣，同樣有行列式 nn |( )|,A 它是一個它是一個 的多項式，且有的多項式，且有 |( ) ( )| |( )|( )|.ABAB 這里這里 為同級為同級 矩陣矩陣.( ),( )AB 與數字矩陣一樣，與數字矩陣一樣，矩陣也有子式的概念矩陣也有子式的概念. 矩陣的各級子式是矩陣的各級子式是 的多項式的多項式. 矩陣也有加法、減法

3、、乘法、數量乘法運算，矩陣也有加法、減法、乘法、數量乘法運算， 第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念若若矩陣矩陣 中有一個中有一個 級子式不為零，級子式不為零， ( )A (1)r r 而所有而所有 級的子式（若有的話）皆為零，則稱級的子式（若有的話）皆為零，則稱1r ( )A 的的秩為秩為r .二、二、矩陣的秩矩陣的秩定義定義：零矩陣的秩規定為零矩陣的秩規定為0. 第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念三、可逆三、可逆 矩陣矩陣一個一個 的的 矩陣矩陣 稱為稱為可逆的可逆的，如果有一，如果有一 nn ( )A ( ) ( )( ) ( )ABBAE 一個一個 的的矩陣矩

4、陣 ，使，使 ( )B nn 定義定義：這里這里E是是n級單位矩陣級單位矩陣. 稱稱 為為 的逆矩陣的逆矩陣(它是唯一的它是唯一的)，記作，記作( )B ( )A 1( ).A 第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念（定理定理1） 一個一個 的的矩陣矩陣 可逆可逆nn ( )A 是一個非零常數是一個非零常數.( )A 證證: “ ” 若若 可逆，則有可逆，則有 ，使，使( )A ( )B ( ) ( )ABE 兩邊取行列式，得兩邊取行列式，得( ) ( )( )( )1ABABE ( ) ,( )AB都是零次多項式，即為非零常數都是零次多項式，即為非零常數. 判定判定：第八章第八章 矩陣矩陣 1 1 矩陣概念矩陣概念“ ” 設設 是一個非零常數是一個非零常數. ( )Ad 為的伴隨矩陣，則為的伴隨矩陣，則 ( )A ( )A 11( )( )( ) ( )AAAAEdd