1、蘇州大學本科生畢業設計（論文）目錄摘要2Abstract31. 前言42. 一維熱傳導方程第一邊值問題的定義及差分格式的建立52.1 第一邊值問題的定義52.2差分格式的建立52.2.1 連續問題離散化：網格剖分52.2.2 顯式差分格式的定義及截斷誤差72.3 熱傳導方程混合問題的差分方法82.3.1顯式差分方程問題及向量表示82.3.2 顯式差分格式的穩定性92.3.3 顯式差分格式的收斂性133. 數值算例及圖像153.1 數值算例154 總結185 參考文獻196 致謝20摘要在物理學中，通常采用二階拋物型偏微分方程來對熱傳導和擴散現象進行描述，統稱為熱傳導方程。目前常用的求解熱傳導方

2、程的差分格式有六點格式（Crank-Nicolson）、隱式差分格式、顯式差分格式和Richardson格式。本文將使用顯式差分法分析一維熱傳導方程問題，給出其截斷誤差，并證明穩定性及收斂性，最后通過數值算例和圖像對誤差進行簡單的分析，從而驗證我們的理論分析。關鍵字：一維熱傳導方程，初邊值條件，顯式差分法，穩定性，收斂性。AbstractThe second order parabolic partial differential equation is usually used to describe the phenomena of thermal transmission and dif

3、fusion in physics.At present, there are explicit difference schemes, implicit difference schemes, Crank-Jolson schemes and Richardson schemes for solving thermal transmission equations.In this paper, the explicit difference method is used to analyze the one-dimensional thermal transmission question,

4、 and its steadiness and astringency are proved. The truncation error is given, and the error is analyzed simply by numerical examples and images, so as to verify our theoretical analysis.Keywords:one-dimensional thermal transmission equation, explicit difference method, boundary condition, steadines

5、s, astringency.1. 前言熱傳導是由溫差引起的熱量傳運過程，當物體內部各點溫度不相同時，熱量就會從高溫處向低溫處傳播。熱傳導方程是拋物型偏微分方程最簡單的例子，用于探究固體內部的熱量傳輸，在許多現象的數學模型中出現；熱傳導的探究對工業和經濟長遠發展也是十分重要的，比如：材料結構熱應力計算、金屬材料在鑄造、鍛壓等過程中內部溫度分布，以及食品的冷凍過程等等都跟導熱理論關系密切，同時它也是目前研究各種傳熱現象及工程熱物理學科必不可少的工具。所以，探究熱傳導方程具有十分重要的實踐意義。下面，先考察某個物體在三維情況下的熱傳導問題，物體G在時刻時在處的溫度我們用函數來表示，假設關于具有連續

6、一階偏導數，關于具有連續二階偏導數。計算熱傳導問題，還需要一些參數，那么用表示物體在處的熱傳導系數，設物體G的密度為，比熱容為。那么根據熱量守恒定律、傅里葉定律以及高斯公式得：，假設此時物體是均勻的，那么均是常數，令，化簡得到：拋物型方程的求解是很有研究意義的，通常情況下，對于簡單的方程或定解問題，精確解比較容易求得，但是過于復雜的方程，精確解很難求甚至求不到，這個時候我們就只能想辦法去找拋物型方程定解問題的近似解，所以就有必要去研究拋物型方程數值解。而在目前，已經總結出了求解近似解的方法，即有限差分法和有限元法。本文主要是來討論有限差分法當中的顯式差分。本文主要探究一維熱傳導方程問題。全文分

7、為兩部分，第一部分從一維熱傳導方程的定義出發，介紹了求解熱方程的顯式差分法,所謂顯式差分法，第一步就是把問題的定義域劃分成網格，第二步使用數值微分公式，用差商取代替原來熱傳導問題的微商，就可以把熱傳導問題轉換成顯式差分格式，再討論其在不同網格上的誤差，第三步證明其穩定性及收斂性，第二部分是通過具體的數值算例對誤差進行簡單的分析，驗證我們的理論分析。2. 一維熱傳導方程第一邊值問題的定義及差分格式的建立2.1 第一邊值問題的定義本文討論的一維熱傳導方程第一邊值問題如下：在區域內求函數滿足方程及初始條件邊界條件 并且，其中是給定的函數.2.2差分格式的建立2.2.1 連續問題離散化：網格剖分用差分

8、方法求解偏微分方程的第一步是將連續問題離散化，所以取為自變量的增量，稱為空間步長；取為自變量的增量，稱為時間步長。接下來我們用兩組平行線構成的長方形網格覆蓋整個平面,網格點簡記為.在上的結點稱為邊界結點（結點：網格線的交點），其它的在內的結點稱為內部結點.下面介紹建立差分格式時幾個常見公式：，其中 （1），其中. （2），其中. （3），其中. （4）現就公式（1）（2）做如下證明：將在點處作拉格朗日型泰勒展開得到 所以有，公式(2)得證.將在點處作拉格朗日型泰勒展開得到 得到 （5）將在處作泰勒展開得到 得到 （6）由(5)-(6)得：,公式(1)得證。稱為關于自變量的二階中心差商，是關于自

9、變量的一階向前差商、是關于自變量的一階向后差商、是關于自變量的一階中心差商.上述公式過于冗長，為方便起見，我們規定用下列符號來替代關于自變量的差商： 2.2.2 顯式差分格式的定義及截斷誤差差分方法的思想：(1)用差商代替微商；(2)求網格點上的近似值.利用關于的二階中心差商以及關于的向前差商，也就是公式（1）（2），在點處就有： （7）設 （8） （9）則（7）式可以改寫為，其中表示差分算子，表示在點以逼近的截斷誤差。從（9）中我們能得到，若在所考慮的區域內是保持有界的，那么當時有。用表示的近似值，忽略截斷誤差，則得到差分方程令，則有.顯式差分格式的圖示為： (k,j+1) j+1 （k-1

10、,j） (k,j) (k+1,j) j2.3 熱傳導方程混合問題的差分方法2.3.1顯式差分方程問題及向量表示與第一邊值問題對應的顯式差分問題是：當固定時，令，則方程組（10）可以表示成 （13）方程組（13）右端關于的系數是組成了一個N-1階的三對角矩陣 （14）再將方程組（10）（11）（12）也寫成向量形式，令，則方程組（10）（11）（12）可以簡單的記作 （15）所以，根據初始條件（11）以及邊界條件（12），再通過方程組（10）就可以逐層算出.例如已知層的值，則有，.初始條件和邊界條件已經給出，由這兩個條件即可算出層的值，以此類推。雖然顯式差分格式已經構造出來，但一個數值格式可以被

11、真正用于計算還需考慮以下兩點：1. 數值格式的穩定性，即顯式差分格式的誤差在計算中能不能保持有界？2. 數值格式的收斂性，即當無限小時，差分方程的精確解是否逼近微分方程解？2.3.2 顯式差分格式的穩定性建立差分格式的時候，我們在網格區域內計算通常是分層進行的。所謂的穩定性問題就是如果在某一層引入了誤差,那么一定會影響到下一層和之后各層的計算，但是我們在解差分方程組時必定會因為客觀因素的影響而引入誤差，比如初始誤差和舍入誤差,那么研究諸如這些誤差在計算過程中的影響。如果說誤差是在剛開始計算時引入的，要使差分方程穩定，就要滿足在之后逐步計算過程中，誤差的影響有界或逐漸消失；不然就表明該差分格式是

12、不穩定的。不穩定的差分格式即使收斂也沒有意義,因為此時誤差會隨步數的增多慢慢積累逐漸擴大,最終差分方程的真實解將被完全淹沒。下面我們用圖來證明探究差分格式的穩定性是十分有必要的。令時，差分格式為假定邊界條件的計算是精確的，只在初始層某個點上產生了誤差，初始層其他點以及以后各層上都沒有誤差。誤差應該滿足方程組由此可以得到的如下分布表：000000000000000表1.時的誤差分布表從圖中能明顯看到，誤差是在逐層減少，所以當步長比時，顯式差分格式穩定。再來看一下當時的情形，誤差方程為此時誤差分布表如下：表2.時的誤差分布表從表中可以明顯看出誤差是在逐層增大的，所以當時顯式差分格式不穩定。因此研究

13、要使顯式差分格式穩定，步長比應該在什么范圍內就至關重要。下面開始研究顯式差分格式穩定的充要條件。設方程組（15）的近似解為，則滿足方程組因此誤差應滿足方程由此就能得到，故有.由這個不等式可知，如果，則有，也就是在各層結點上的范數都不超過初始誤差的范數。在此時，顯式差分格式是穩定的。所以問題就轉化成了在什么條件下才能使成立。矩陣A也就是公式（14）是一個實對稱矩陣，取范數，就有，其中是A的絕對值最大的特征值，所以說顯式格式穩定的充分條件是，,充分條件已證明，接下來用反證法說明這一條件也是必要的。假設顯式格式穩定，但是。如果是A的與對應的特征向量，也就是，那就有，所以，。如果不是A的與對應的特征向

14、量，那么就可以唯一的表示為A的N-1個線性無關的標準直交特征向量的線性組合，即，其中，這些特征向量是一個標準直交系，即所以，又有，因為A是實對稱矩陣，所以A的特征值都是實數，只要，當時就總有。以上這兩種情況都說明顯式差分格式是不穩定的，與假設矛盾，所以。因此，顯式差分格式穩定。定理1：顯式差分格式穩定,.證明：求A的特征值.A的特征多項式為.按第一行展開，就有,這個式子其實是的一個遞推公式 其中， .由此就可以依次求出令，那么特征方程為特征方程的根為，因此.設，那么， 再由， 能解出， 所以就有.接下來就要求方程的根，也就是求矩陣A的特征值.令那么，因此，那么要求的根，也就轉化成求的根。即，再

15、由，我們可以知道，這就是矩陣A的特征值。根據前面的討論我們已經知道顯式差分格式穩定的充要條件是，即，這個公式等價于 ，不等式右端很明顯對于一切都成立，要使左端不等式也成立，必須滿足。所以當滿足時，顯式差分格式穩定。同樣的再用反證法證明這一條件也是必要的。假設差分格式穩定，但，這個時候可以把表示為，。對于充分大的N來說，一定可以在中找到一個，使得.所以當時，差分格式不穩定。綜上，我們得到顯式差分格式穩定的充要條件是，也就是步長比一定要限制在這一范圍內，所以通常也稱顯式差分格式是條件穩定的差分格式。2.3.3 顯式差分格式的收斂性接下來我們討論當無限小時，差分方程精確解是否無限趨近于微分方程解.定

16、理2：若滿足第一邊值問題的解在區域內有連續的偏導數，并且，則顯式差分格式一致收斂.證明：由前面的討論我們知道微分方程的解應滿足其中，=常數.差分方程精確解要滿足因此，將微分方程解和差分方程精確解作差就能得到上式應滿足其中.設 ， .那我們就可以把方程組寫成向量的形式所以令 ,.那么.當時，.那我們就能得到 ，所以 ，（對所有k,j都成立）。因此，在我們考慮的區域內的任意一點（k,j）上都有，當時.這就足以證明，要使顯式差分格式一致收斂，必須要滿足第一邊值問題的解在區域內有連續的偏導數，并且.3. 數值算例及圖像3.1 數值算例為了便于觀察和表示微分方程的解，我們將最終解用圖像表示出來。下面給出

17、了一個熱傳導方程問題具體算例：真解為下面利用顯式格式，取不同的網格比和步長h來計算，得到數值解與準確解的三維圖像。 圖1. 時的數值解圖 圖2. 時的真解圖下面列出部分結點數值解、精確解和誤差絕對值的表格，便于我們更直觀的觀察。 數值解精確解 40（0.5,0.1）0.375690.372712.980e-380（0.5,0.2）0.141140.138912.230e-3120（0.5,0.3）0.0530260.0517731.253e-3160（0.5,0.4）0.0199210.0192966.250e-4200（0.5,0.5）0.00748430.00719192.924e-424

18、0（0.5,0.6）0.00281180.00268051.313e-4280（0.5,0.7）0.00105640.000999035.737e-5320（0.5,0.8）0.000396860.000372352.451e-5360（0.5,0.9）0.000149100.000138781.032e-5表2. 部分結點數值解、精確解和誤差的絕對值（） 取不同空間步長時所得的數值解最大誤差我們記為固定網格比，分別取，利用loglog函數，探究與的關系，結果如下圖： 圖3. ，時的誤差圖從上圖中我們能很清楚的看到，真解和數值解的誤差以平方階收斂。4 總結本文介紹了求解熱傳導方程的顯式差分格式

19、，使用顯式差分法分析一維熱傳導問題，把問題的定義域劃分成網格，使用適當的數值微分公式，就可以用差商代替原來熱傳導問題的微商，從而把原問題轉換成顯式差分格式，證明穩定性及收斂性，討論其在不同網格上的誤差，并用實例和圖像簡單的驗證并說明關于誤差的結論。熱傳導方程的求解方法多種多樣，比如Crank-Nicolson格式、隱式差分格式、顯式差分格式和Richardson格式，古典顯格式不用求解一個迭代方程組，計算速度快，需要的內存也比隱式格式要少，使用起來方便；但是這種格式是條件穩定的，也就是它要求計算的時間步長要受到嚴格的控制，而隱式差分格式則不會受到任何限制，它是無條件穩定，所以在實際應用問題當中通常都會采用隱式差分格式而非顯式，這是古典顯格式的不足之處。5 參考文獻1 蘇煜城，吳啟光：偏微分方程數值解法 M南京大學數學系計算數學用書 科學出版社 2 李榮華：偏微分方程數值解法 M高等教育出版社 3 馮立偉：熱傳導方程幾種差分格式的MATLAB數值解法比較 M沈陽化工大學，遼寧沈陽.2011-64 梁昆淼：數學物理方法