1、2022-3-251第一部分第一部分 概率統(tǒng)計基礎(chǔ)知識概率統(tǒng)計基礎(chǔ)知識 隨機事件及其概率隨機變量及其分布隨機變量的數(shù)字特征數(shù)理統(tǒng)計的基本概念參數(shù)估計假設(shè)檢驗方差分析2022-3-2521.1 隨機事件及其概率隨機事件及其概率隨機事件及其運算概率的定義及其運算條件概率全概率公式與貝葉斯公式事件的獨立性2022-3-2531.1.1 隨機事件隨機事件及其運算及其運算隨機試驗隨機試驗(簡稱簡稱“試驗試驗”)隨機試驗的特點 1.可在相同條件下重復(fù)進行； 2.試驗可能結(jié)果不止一個,但能確定所有的可能結(jié)果; 3.一次試驗之前無法確定具體是哪種結(jié)果出現(xiàn)。隨機試驗可表為E 2022-3-254例例1.1.1隨

2、機試驗例：隨機試驗例：E1: 拋一枚硬幣，分別用拋一枚硬幣，分別用“H” 和和“T” 表示出正面和反表示出正面和反面面;E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù);E3:擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；擲一顆骰子，考慮可能出現(xiàn)的點數(shù)；E4: 記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；記錄某網(wǎng)站一分鐘內(nèi)受到的點擊次數(shù)；E5:在一批燈泡中任取一只，測其壽命。在一批燈泡中任取一只，測其壽命。2022-3-2551.1.1 隨機事件隨機事件及其運算及其運算樣本空間樣本空間實驗的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為樣本點 試驗的每一個結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本

3、點,記為 基本事件由一個樣本點組成的單點集由一個樣本點組成的單點集2022-3-2561.1.1 隨機事件隨機事件及其運算及其運算隨機事件隨機事件試驗中可能出現(xiàn)或可能不出現(xiàn)的情況叫“隨機事件”, 簡稱“事件”.記作A、B、C等任何事件均可表示為樣本空間的某個子集任何事件均可表示為樣本空間的某個子集.稱事件稱事件A發(fā)生當且僅當試驗的結(jié)果是發(fā)生當且僅當試驗的結(jié)果是A中的元素中的元素兩個特殊事件兩個特殊事件: 必然事件必然事件 、不可能事件、不可能事件.2022-3-257例例1.1.2 對于試驗對于試驗E2:將一枚硬幣連拋三次，考慮正面將一枚硬幣連拋三次，考慮正面出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù) ，以下隨機事

4、件，以下隨機事件: 1=0，1，2，3 -必然事件必然事件 A“至少出一個正面至少出一個正面” 1，2，3；而對試驗而對試驗E5：在一批燈泡中任取一只，測其壽命。：在一批燈泡中任取一只，測其壽命。 2=x:0 x (小時）小時）。 B“燈泡壽命超過燈泡壽命超過1000小時小時” x:1000 x0,則則: P(AB)P(A)P(B|A) 稱為事件稱為事件A、B的概率乘法公式的概率乘法公式推廣推廣到三個事件的情形：到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An-1).20

5、22-3-2531n例例1.1.10 1.1.10 有有1 1張電影票需要給張電影票需要給3 3個人分，每個人都想個人分，每個人都想要，決定用抓鬮的方式解決，問抓鬮的先后對此方要，決定用抓鬮的方式解決，問抓鬮的先后對此方法的公平性是否有影響。法的公平性是否有影響。解：設(shè)解：設(shè)A Ai i為第為第i i次抓鬮時取到電影票，次抓鬮時取到電影票，i=1,2,3i=1,2,3。則。則31)(1AP)(3121*32)|()()()(12121212AAAAPAPAAPAP)(3111*21*32)|()|()()()(2132131213213AAAAAAPAAPAPAAAPAP由此可見，由此可見，抓

6、鬮的方式是公平的！可推廣到抓鬮的方式是公平的！可推廣到n n中抓中抓m m的情況。的情況。P=m/nP=m/n2022-3-25321.1.4 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式n完備事件組事件組事件組A1，A2，An (n可為可為)，稱為樣本空間，稱為樣本空間的一個完備事件組，若滿足：的一個完備事件組，若滿足：.,.,2 , 1,),(,)2(;)1 (1njijiAAAjiniiAnA2A1-B-2022-3-25331.1.4 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式n全概率公式事件組事件組A1，A2，An 為樣本空間為樣本空間的一個完備事的一個完備事件組，且件組，且P(A

7、i)0，(i1，n)，則對任何事件，則對任何事件B有：有：AnA2A1-B-niiiniiABPAPBAPBPBP11)|()()()()(2022-3-2534n例例1.1.111.1.11市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為牌產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工廠的次品率分別為，且三家工廠的次品率分別為 2 2、1 1、3 3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B買到一件丙廠的產(chǎn)品買到一件乙廠的產(chǎn)品買到一件甲廠的產(chǎn)品：買到一件次品設(shè)：:

8、321AAAB)()()()(321BAPBAPBAPBP)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225. 02103. 04101. 04102. 02022-3-2535解：設(shè)A1從甲袋放入乙袋的是白球； A2從甲袋放入乙袋的是紅球； B從乙袋中任取一球是紅球；12731433221)()|()()|()(2211APABPAPABPBP甲乙n例例1.1.12 1.1.12 有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1 1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球這六個球手個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球這六個球手感上不可區(qū)別今從甲袋中

9、任取一球放入乙袋，攪勻感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？2022-3-25361.1.4 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式n貝葉斯公式 上例中，若已知取到一個紅球，則從甲上例中，若已知取到一個紅球，則從甲 袋放入乙袋的是白球的概率是多少？袋放入乙袋的是白球的概率是多少？74127)|()()()()|(1111ABPAPBPBAPBAP事件組事件組A1，A2，An 為樣本空間為樣本空間的一個完備事的一個完備事件組，且件組，且P(Ai)0，(i1，n)，則對任何事件，則對任何事件B有：有：2

10、022-3-2537),.,1( ,)|()()|()()()()|(1njABPAPABPAPBPBAPBAPniiijjjj稱為貝葉斯公式貝葉斯公式。n例例1.1.131.1.13用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，試驗反應(yīng)有陰用血清甲胎蛋白法診斷肝癌，試驗反應(yīng)有陰性和陽性兩種結(jié)果。當被診斷者患肝癌時，其反應(yīng)性和陽性兩種結(jié)果。當被診斷者患肝癌時，其反應(yīng)為陽性的概率為為陽性的概率為0.950.95；當被診斷者未患肝癌時，其反；當被診斷者未患肝癌時，其反應(yīng)為陰性的概率為應(yīng)為陰性的概率為0.90.9。根據(jù)記錄，某地人群中肝癌。根據(jù)記錄，某地人群中肝癌的患病率為的患病率為0.00040.0004，現(xiàn)有一人的

11、試驗反應(yīng)為陽性，問，現(xiàn)有一人的試驗反應(yīng)為陽性，問此人確實患肝癌的概率此人確實患肝癌的概率? ?2022-3-2538解：設(shè)A1患肝癌； A2未患肝癌； B反應(yīng)為陽性；則：0038. 01 . 0*9996. 095. 0*0004. 095. 0*0004. 0)|()()|()()|()()()()|(22111111ABPAPABPAPABPAPBPBAPBAP9996. 00004. 01)(,0004. 0)(, 1 . 09 . 01)|(,95. 0)|(2121APAPABPABP根據(jù)貝葉斯公式，有所求概率為：表明還需要通過綜合考慮其他方面才能確診！2022-3-25391.1.

12、5 事件的獨立性事件的獨立性n兩個事件獨立的定義設(shè)設(shè)A、B是兩事件，是兩事件，P(A) 0,若若 P(B)P(B|A) P(AB)P(A)P(B) 則稱事件則稱事件A與與B相互獨立相互獨立（即（即A的發(fā)生與否對的發(fā)生與否對B毫無影響）。毫無影響）。定理定理 以下四件事等價：以下四件事等價：(1)事件事件A、B相互獨立；相互獨立；(2)事件事件A、B相互獨立；相互獨立；(3)事件事件A、B相互獨立；相互獨立；(4)事件事件A、B相互獨立。相互獨立。 2022-3-25401.1.5 事件的獨立性事件的獨立性n多個事件獨立的定義若三個事件若三個事件A、B、C滿足：滿足：(1) P(AB)=P(A)

13、P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件則稱事件A、B、C兩兩相互獨立兩兩相互獨立(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 則稱事件則稱事件A、B、C相互獨立。相互獨立。2022-3-25411.1.5 事件的獨立性事件的獨立性推廣：推廣：一般地，設(shè)一般地，設(shè)A1，A2，An是是n個事件，如果對個事件，如果對任意任意k (1kn), 任意的任意的1i1i2 ikn，具有等，具有等式：式： P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱則稱n個事件個事件A1，A2，An相互獨立。相互獨立。2022-3-25421

14、.1.5 事件的獨立性事件的獨立性n事件獨立性的應(yīng)用1、加法公式的簡化：若事件、加法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互相互獨立獨立, 則：則：2、在可靠性理論上的應(yīng)用、在可靠性理論上的應(yīng)用)(*.*).(1).121nnAPAPAAAP2022-3-25431.2 1.2 隨機變量隨機變量隨機變量的概念離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布2022-3-25441.2.11.2.1隨機變量的概念隨機變量的概念隨機變量隨機變量 設(shè)設(shè)=是試驗的樣本空間，如果量是試驗的樣本空間，如果量X是定義在是定義在上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個 ，有一實，有一實數(shù)數(shù)X=X()

15、與之對應(yīng)，則稱與之對應(yīng)，則稱X為隨機變量。為隨機變量。隨機變量隨機變量常用常用X、Y、Z 或或 、 等表示。等表示。通俗地說，每一個樣本點可以數(shù)量化，每次試驗的通俗地說，每一個樣本點可以數(shù)量化，每次試驗的結(jié)果在未結(jié)束前是個未知變量，而且取值具有隨機性。結(jié)果在未結(jié)束前是個未知變量，而且取值具有隨機性。隨機變量的特點隨機變量的特點: (1) X的全部可能取值是互斥且完備的的全部可能取值是互斥且完備的(2) X的部分可能取值描述隨機事件的部分可能取值描述隨機事件2022-3-2545n例例1.2.11.2.1引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：引入適當?shù)碾S機變量描述下列事件：(1)(1)將將3 3個球隨

16、機放入三個格子中，記空格子數(shù)為個球隨機放入三個格子中，記空格子數(shù)為X X：事件事件A=A=有有1 1個空格個空格=X=1=X=1，B=B=全有球全有球=X=0 =X=0 。(2)(2)進行進行5 5次試驗，記試驗成功次數(shù)為次試驗，記試驗成功次數(shù)為Y Y：事件事件C=C=試驗成功一次試驗成功一次=Y=1=Y=1，D=D=試驗至少成功一次試驗至少成功一次=Y1=Y1(3)(3)擲擲1 1次硬幣，觀察正反面。記正面為次硬幣，觀察正反面。記正面為1 1，反面為，反面為0 02022-3-25461.2.11.2.1隨機變量的概念隨機變量的概念隨機變量的分類隨機變量的分類 連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量常

17、用分為：隨機變量隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)設(shè)設(shè)X是隨機變量，對任意實數(shù)是隨機變量，對任意實數(shù)x，事件，事件Xx的概率的概率PXx稱稱為隨機變量為隨機變量X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。記為記為F(x)，即，即 F(x)P Xx. 易知，對任意實數(shù)易知，對任意實數(shù)a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a). 2022-3-25471.2.11.2.1隨機變量的概念隨機變量的概念分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 單調(diào)不減性：若單調(diào)不減性：若x1x2, 則則F(x1)F(x2);(2) 歸一歸一 性：對任意實數(shù)性：對任意實數(shù)x，0F(x) 1，且，且;1)x(Flim)(F

18、,0)x(Flim)(Fxx (4)對任意實數(shù)對任意實數(shù)a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a). 具有具有(13)性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函性質(zhì)的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。數(shù)。故該三個性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)。(3) 右連續(xù)性：對任意實數(shù)右連續(xù)性：對任意實數(shù)x，).x(F)x(Flim) 0 x(F0 xx00 2022-3-25481, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101當x1時,F(x)=1當0 x1時,kxxXPxF0)(特別,F(1)=P0 x1=k=1n例例1.2.21.2

19、.2向向0,10,1區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X X表示質(zhì)點坐標表示質(zhì)點坐標. .假定質(zhì)點落在假定質(zhì)點落在0,10,1區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求長成正比，求X X的分布函數(shù)的分布函數(shù)解：解： F(x)=PXxF(x)=PXx 1.2.11.2.1隨機變量的概念隨機變量的概念2022-3-25491.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量定義定義 若隨機變量若隨機變量X取值取值x1, x2, , xn, 而且取這些值而且取這些值的概率依次為的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱則稱X為離散型隨機為離散型隨機變量，而稱

20、變量，而稱 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為為X的分布律的分布律(列列)或概率分布。或概率分布。 也可表為也可表為:X Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pp1p2pk2022-3-25501.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量分布律的性質(zhì)分布律的性質(zhì)(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp n例例1.2.3 1.2.3 設(shè)袋中有設(shè)袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白只白3 3只黑。現(xiàn)從只黑。現(xiàn)從中任取中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求抽得的白球數(shù)，求抽得的白球數(shù)X X為為k k的概率的概率。解解 k k可取值可取值0

21、 0，1 1，2 2.35332CCCkXPkk2022-3-25511.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量分布函數(shù)分布函數(shù) 一般地，對離散型隨機變量一般地，對離散型隨機變量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 xxkkkpxXPxF:)(用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀!2022-3-2552解解 )(xFx0112)(xXPxFX012P0.10.60.321217 .0101 .000 xxxxn例例1.2.4 1.2.4 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X具分布律如右表具分布律如右表: :試求出試求出X X的分布函數(shù)。

22、的分布函數(shù)。1.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量2022-3-2553兩點兩點(0-1)分布分布 若隨機變量若隨機變量X的取值為的取值為0,1兩個值，分布律為：兩個值，分布律為： PX0 =q=1-p,PX1=p則稱則稱X服從服從(01)分布分布(兩點分布兩點分布) XP10pp11.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量幾個常用的離散型分布幾個常用的離散型分布2022-3-25542.貝努里貝努里(Bernoulli)概型與二項分布概型與二項分布 設(shè)將試驗獨立重復(fù)進行設(shè)將試驗獨立重復(fù)進行n次，每次試驗中，事件次，每次試驗中，事件A發(fā)生的概率均為發(fā)生的概率均為p，則稱

23、這，則稱這n次試驗為次試驗為n重貝努里試驗重貝努里試驗. 若以若以X表示表示n重貝努里試驗事件重貝努里試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則稱稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的的二項分布二項分布。記作。記作XB（n,p)其分布律為：其分布律為：1.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變量),.,1 , 0( ,)1 (nkppkXPknkknC2022-3-2555解解: :(1)(1)由題意由題意,XB(6,1/3),XB(6,1/3),于是于是,X,X的分布律為的分布律為: :6,.,1 , 0323166kCkXPkkk655)2(XPXPXP729133132316556 Cn例

24、例1.2.51.2.5從某大學(xué)到火車站途中有從某大學(xué)到火車站途中有6 6個交通崗個交通崗, ,假設(shè)在假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立, ,并且遇到紅燈的并且遇到紅燈的概率都是概率都是1/3.1/3.(1)(1)設(shè)設(shè)X X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù)為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù), ,求求X X的分布律的分布律. .(2)(2)求汽車行駛途中至少遇到求汽車行駛途中至少遇到5 5次紅燈的概率次紅燈的概率. .2022-3-25563.泊松泊松(Poisson)分布分布P() 若隨機變量若隨機變量X的分布律為：的分布律為：1.2.2 1.2.2 離散型隨機變量離散型隨機變

25、量PXk , k0, 1, 2, (0)則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的泊松分布泊松分布。記作。記作X XP P（) e!kk泊松泊松定理定理 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XB(n, p), (n0, 1, 2,), 且且n很大，很大，p很小，記很小，記 =np，則，則 ,.2 , 1 , 0,!kekkXPk即可認為即可認為XP（)2022-3-2557泊松泊松定理表明：定理表明：泊松分布是二項分布的極限分布，泊松分布是二項分布的極限分布，當當n很大，很大，p很小時，二項分布就可近似地很小時，二項分布就可近似地看成是參數(shù)看成是參數(shù) =np的的泊松分布泊松分布1.2.2 1.2.2 離散型隨機變

26、量離散型隨機變量2022-3-2558解解 設(shè)設(shè)X X表示表示400400次獨立射擊中命中的次數(shù)，次獨立射擊中命中的次數(shù)，則則X XB(400, 0.02)B(400, 0.02)，故，故PXPX 221 1 PXPX00P XP X111 10.980.98400400(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=)=取取=np=np(400)(0.02)(400)(0.02)8, 8, 故故近似地有近似地有 ：n例例1.2.61.2.6某人射擊的命中率為某人射擊的命中率為0.020.02，他獨立射擊，他獨立射擊400400次次，試求其命中次數(shù)不少于，試求其

27、命中次數(shù)不少于2 2的概率。的概率。PX21 PX0P X11(18)e80.996981.2022-3-255923 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212eeee解解:由題意由題意,232eeen例例1.2.71.2.7設(shè)某國每對夫婦的子女數(shù)設(shè)某國每對夫婦的子女數(shù)X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的泊松分布泊松分布, ,且知一對夫婦有不超過且知一對夫婦有不超過1 1個孩子的概率為個孩子的概率為3e3e- -2 2. .求任選一對夫婦求任選一對夫婦, ,至少有至少有3 3個孩子的概率。個孩子的概率。2022-3-25601.2.31

28、.2.3連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 對于隨機變量對于隨機變量X X，若存在，若存在(-(-，+)+)上的非負函數(shù)上的非負函數(shù)f(x)f(x)，使對任意實數(shù)使對任意實數(shù)x x，都有：，都有：概率密度概率密度xduufxXPxF)()()(則稱則稱X X為連續(xù)型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量， f(x) f(x)為為X X的的概率密度概率密度函數(shù)函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)簡稱概率密度或密度函數(shù). . 2022-3-2561密度函數(shù)的密度函數(shù)的幾何意義幾何意義為為 badu)u(f)bXa(P2022-3-2562 (1) 非負性非負性 f(x) 0，(- x )； (2)歸一性歸一性.1)(dxx

29、f性質(zhì)性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；是密度函數(shù)的充要性質(zhì)； 1.2.31.2.3連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量密度函數(shù)的性質(zhì)密度函數(shù)的性質(zhì) (3) 若若x是是f(x)的連續(xù)點，則的連續(xù)點，則)()(xfdxxdF2022-3-25631.2.31.2.3連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量(4) (4) 對任意實數(shù)對任意實數(shù)b b，若，若X X f(x) f(x)， (- (- xx ) )，則，則: : PX= PX=b b 0 0。(5)(5)badxxfbXaPbXaPbXaP)(2022-3-25641.2.31.2.3連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量幾個常用的連續(xù)型分布幾個常用的連續(xù)型分

30、布1. 均勻分布均勻分布，其它0,1)(bxaabxf若若X的分布密度為：的分布密度為：則稱則稱X在在(a, b)內(nèi)服從均勻分布。記作內(nèi)服從均勻分布。記作 XU(a, b) 對任意實數(shù)對任意實數(shù)c, d (acd0的指數(shù)分布，記為：的指數(shù)分布，記為：Xexp()。其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為)x(fx00, 00,1)(xxexFx1.2.31.2.3連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量2022-3-2567解解, 000)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXpx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXPXXpXXpxxn例

31、例1.2.91.2.9電子元件的壽命電子元件的壽命X(X(年）服從參數(shù)為年）服從參數(shù)為3 3的指數(shù)分的指數(shù)分布布(1)(1)求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知該電子元件已使用了已知該電子元件已使用了1.51.5年，求它還能使用兩年，求它還能使用兩年的概率為多少？年的概率為多少？2022-3-2568正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。要的地位。3. 正態(tài)分布正態(tài)分布-高斯高斯(Gauss)分布分布1.2.3

32、1.2.3連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量若隨機變量隨機變量X的分布密度為：的分布密度為：xexfx,21)(222)(其中其中 為實數(shù)，為實數(shù)， 0 ，則稱，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2的的正態(tài)正態(tài)分布分布,記為：記為：XN( , 2).2022-3-25691.2.41.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布的特性正態(tài)分布的特性 (1) 單峰對稱單峰對稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x= 對稱對稱； f()maxf(x) .21(2) 的大小直接影響概率分布的大小直接影響概率分布 越大，曲線越平坦越大，曲線越平坦； 越小，曲線越陡峭越小，曲線越陡峭。2022-3-2570 參數(shù)參數(shù) 0， 2

33、1的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分標準正態(tài)分布，記作：布，記作：XN(0, 1)。1.2.41.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布2022-3-25711.2.41.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布性質(zhì)性質(zhì)(1)密度函數(shù)密度函數(shù).,21)(22xexx(2)分布函數(shù)分布函數(shù)xdtexXPxxt,)(2212(3) (x)1 (x)；(4) 若若XN( , 2)，則，則).()(xxXPxF一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱 (x)的值。的值。2022-3-25721.2.41.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布性質(zhì)性質(zhì)(1)密度函數(shù)

34、密度函數(shù).,21)(22xexx(2)分布函數(shù)分布函數(shù)xdtexXPxxt,)(2212(3) (x)1 (x)；(4) 若若XN( , 2)，則，則).()(xxXPxF2022-3-2573n例例1.2.101.2.10 (1) Z(1) ZN(0N(0，1):1):(0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32) =0.9925-0.9066 =0.9925-0.9066(2) X(2) XN(N(,2 2): ):P-3P-3X-X- 3P|X|3的值的值. .如在質(zhì)量控制中，常用標準指標

35、值如在質(zhì)量控制中，常用標準指標值3 3 作兩作兩條線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報條線，當生產(chǎn)過程的指標觀察值落在兩線之外時發(fā)出警報. .表明表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常生產(chǎn)出現(xiàn)異常. .2022-3-2574解:設(shè)設(shè)Y為為使用的最初使用的最初9090小時內(nèi)損壞的元件數(shù)小時內(nèi)損壞的元件數(shù), ,2514. 0)67. 0()1510090(90XPp故4195. 0)1 (03pYP則YB(3,p)其中n例例1.2.111.2.11一種電子元件的使用壽命（小時）服從正一種電子元件的使用壽命（小時）服從正態(tài)分布態(tài)分布(100, 225),(100, 225),某儀器上裝有某儀器上裝有3 3個這

36、種元件，三個個這種元件，三個元件損壞與否是相互獨立的元件損壞與否是相互獨立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小時小時內(nèi)無一元件損壞的概率內(nèi)無一元件損壞的概率. . 1.2.41.2.4正態(tài)分布正態(tài)分布2022-3-2575隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差幾個常見分布的期望與方差隨機變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)大數(shù)定律中心極限定理1.3 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征2022-3-2576引例引例 ： 設(shè)某班設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：數(shù)如下表所示： 分數(shù)分數(shù) 40 60 70 80 90 100 總?cè)藬?shù)總?cè)藬?shù) 人數(shù)人數(shù) 1 6 9 15 7

37、 2 40則學(xué)生的平均成績是總分則學(xué)生的平均成績是總分總?cè)藬?shù)。即總?cè)藬?shù)。即)(5 .7640210040790401580409704066040140271596110029078015709606401分1.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義2022-3-25771.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義若XPX=xk=pk, k=1,2,n, .則稱1)(kkkpxXE為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。函數(shù)函數(shù)Y=g(X)的期望的期望E(g(X)為為.)()()(1kkkpxgXgEYE2022-3

38、-25781.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n數(shù)學(xué)期望的定義數(shù)學(xué)期望的定義為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望若若Xf(x), - x ,則稱則稱 .dx)x(xf)X(E若Xf(x), -x0)bbeadxebdxexadxebaxYExxxx2222222222212121)()(2022-3-2580解解:設(shè)乘客于某時設(shè)乘客于某時X分到達車站分到達車站,候車時間為候車時間為Y,則則60557055305530103010010)(XXXXXXXXXgY其他0600601)(xxfX600)(601)(dxxgYE=10分分25秒秒n例例1.3.3長途汽車起點站于每時的長途汽車起點站于

39、每時的10分、分、30分、分、55分分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客的平均候車時間機地到達車站，求乘客的平均候車時間2022-3-25811.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1. E(c)=c,c為常數(shù)為常數(shù);2. E(cX)=cE(X), c為常數(shù)為常數(shù);4. 若若X與與Y獨立，則獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).3. E(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣：推廣：E(aX+b)=aE(X)+b2022-3-2582n例例1.3.4若若XB(n,p),求求E(X)

40、1.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n例例1.3.5設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1 , X2 ,., Xn服從服從N(,2)分布，求分布，求隨機變量隨機變量: 的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望則：不發(fā)生次試驗第發(fā)生次試驗第解：設(shè),Ai0Ai1iXpXEi)(niiXX1nppXEXEninii11)()(niiXnX11niiXEnXE1)(1)(2022-3-25831.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n方差的定義方差的定義 若若E(X),E(X2)存在存在,則稱則稱EX-E(X)2 = E(X)2 E(X)2 為隨機變量為隨機變量X的方差，記為的方差，記為D(X)或或Var(

41、X).稱稱為隨機變量為隨機變量X X的的標準差標準差)()(XDX n方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) D(c)=0(2) D(aX)=a2D(X), a為常數(shù)；(3)若 X，Y 獨立，則 D(X+Y)=D(X)+D(Y);2022-3-25841.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差推廣：若 X，Y 獨立，則 D(X-Y)=D(X)+D(Y) D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)niniiiiinXDaXaDXX1121)()(,.獨立，則若2022-3-2585101011)(xxxxxf求D（X）0)1 ()1 ()(1001dxxxdxxxXE解：61)1 ()1 (

42、)(1020122dxxxdxxxXE61)()()(22XEXEXD1.3.1 隨機變量的期望與方差隨機變量的期望與方差n例例1.3.6設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的概率密度為的概率密度為2022-3-25861.3.2幾個常見分布的期望與方差幾個常見分布的期望與方差n0-1分布分布 ppPX101EX=p,E(X2)=p,DX=pqn二項分布二項分布B(n, p)nkppCkXPknkkn,.1 . 0)1 (nkknkppknknkXE1)1 ()!( !)(knknkppknkn)1()!()!1(!12022-3-25871.3.2幾個常見分布的期望與方差幾個常見分布的期望與方差n二項分布

43、二項分布B(n, p)1(111)1 ()!()!1()!1()(knknkppknknnpXEnpppCnpkllnlnlln1101)1 (1令npqDXnppnnXE22) 1()(同理：立服從兩點分布且相互獨ininiiXnpqpqXDXD,)()(112022-3-25881.3.2幾個常見分布的期望與方差幾個常見分布的期望與方差n泊松分布泊松分布XP()., 2, 1, 0,!kekkXPXk011)!1(!)(kkkkkeekkXE)()(22XDXE2022-3-25891.3.2幾個常見分布的期望與方差幾個常見分布的期望與方差n均勻分布均勻分布U(a, b), 0,1)(其他

44、bxaabxfXbabadxabxXE;2)(.12)()(2abXD2022-3-25901.3.2幾個常見分布的期望與方差幾個常見分布的期望與方差n指數(shù)分布指數(shù)分布Xexp()000)(xxexfx1)(0000dxexexdedxexXExxxx21)(XD2022-3-25911.3.2幾個常見分布的期望與方差幾個常見分布的期望與方差n正態(tài)分布正態(tài)分布N(, 2)xexfx,21)(222)(dtetxtdxexXEtx22)(22222)(令.)(2XD2022-3-25921.3.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n協(xié)方差定義協(xié)方差定義 若隨機變量若隨機變量X和和Y的期望的期望E

45、(X) 、E(Y) 存在存在, 則稱：則稱： COV(X, Y)=EX E(X)Y E(Y)為為X與與Y的的協(xié)方差協(xié)方差, 易見：易見： COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y)當當COV(X,Y)=0COV(X,Y)=0時，稱時，稱X X與與Y Y不相關(guān)。X X與與Y Y不相關(guān)是X X與與Y Y獨立獨立的的必要條件必要條件。2022-3-25931.3.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n協(xié)方差性質(zhì)協(xié)方差性質(zhì)(1) COV(X, Y)=COV(Y, X); (2) COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0 (3) COV(aX, bY)=abCOV(X, Y), 其中a,

46、b為 常數(shù) (4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z); (5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y).2022-3-25941.3.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n相關(guān)系數(shù)定義相關(guān)系數(shù)定義若若X，Y的方差和協(xié)方差均存在的方差和協(xié)方差均存在, 且且DX0,DY0，則，則DYDX)Y,Xcov(XY 稱為X與Y的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù). 注：注：若記若記DX)X(EXX* 稱為稱為X的的標準化標準化，易知，易知EX*=0，DX*=1.且且).(),cov(*YXEYXXY2022-3-25951.3.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n相關(guān)系數(shù)性質(zhì)相

47、關(guān)系數(shù)性質(zhì) (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常數(shù)a, b 使PY= aX+b=1； (3) X與Y不相關(guān) XY=0;n矩矩1. K階原點矩階原點矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, 而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點矩；2. K階中心矩階中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, 而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對中心矩；2022-3-25961.3.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n相關(guān)系數(shù)性質(zhì)相關(guān)系數(shù)性質(zhì) (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在常數(shù)a, b 使PY= aX+b=1； (3) X與Y不相關(guān) XY=0;n矩矩1. K階原點矩階原點矩 Ak

48、=E(Xk), k=1, 2, 而E(|X|k)稱為X的K階絕對原點矩；2. K階中心矩階中心矩 Bk=EX-E(X)k, k=1, 2, 而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對中心矩；2022-3-2597 設(shè)設(shè)X1， , Xn為為n個隨機變量個隨機變量 ,記記cij=cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 則稱由則稱由cij組成的矩陣為隨機變量組成的矩陣為隨機變量 X1， , Xn的協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣C。即。即nnnnnnnnijccccccccccC.)(2122221112111.3.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)n協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣2022-3-2598

49、若隨機變量若隨機變量X的期望和方差存在，則對任意的期望和方差存在，則對任意0，有，有這就是著名的這就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式。 它有以下等價的形式：它有以下等價的形式：;)X(D| )X(EX|P2 .)X(D1| )X(EX|P2 n切比雪夫不等式切比雪夫不等式1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律2022-3-2599222222)()()()()()()(,)()(XDxPxPdxxfdxxfxdxxfxXDXExfXxx則：，且有密度函數(shù)：證明：隨機變量1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律2022-3-25100解解:由切比由切比雪夫不等式雪夫不等式;01. 0| 1|

50、2aaXP令令1 . 001. 02a1 . 02 a32. 0 a1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律n例例1.3.6已知某種股票每股價格已知某種股票每股價格X的平均值為的平均值為1元，標準元，標準差為差為0.1元，求元，求a,使股價超過使股價超過1+a元或低于元或低于1-a元的概率元的概率小于小于10%。2022-3-25101n依概率收斂依概率收斂1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律設(shè)設(shè)Xn為隨機變量序列，為隨機變量序列，X為隨機變量，若任給為隨機變量，若任給 0, 使得：使得：1|XX|Plimnn 則稱則稱Xn依概率收斂于依概率收斂于X. 可記為可記為XXPn2022-3-25102aXPn如如意思

51、是意思是:當當aaanXaXn而而意思是意思是:0, 0n|aXnn時時,Xn落在落在),(aa內(nèi)的概率越來越大內(nèi)的概率越來越大.,當當00,nnn0nn 1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律2022-3-25103n依概率收斂依概率收斂1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律設(shè)設(shè)Xn為隨機變量序列，為隨機變量序列，X為隨機變量，若任給為隨機變量，若任給 0, 使得：使得：1|XX|Plimnn 則稱則稱Xn依概率收斂于依概率收斂于X. 可記為可記為XXPn2022-3-25104設(shè)設(shè)Xk,k=1,2,.為獨立的隨機變量序列，且有相為獨立的隨機變量序列，且有相同的數(shù)學(xué)期望同的數(shù)學(xué)期望 ，及方差，及方差 20，則，

52、則PnkknXnY11即即若任給若任給 0, 使得使得1|limnnYP1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律n切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律2022-3-25105證明證明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式.)(1| )(|2nnnYDYEYP這里這里nkknXEnYE1)(1)(nXDnYDnkkn212)(1)(.1|22nYPn故故1|limnnYP2022-3-25106設(shè)進行設(shè)進行n次獨立重復(fù)試驗，每次試驗中事件次獨立重復(fù)試驗，每次試驗中事件A發(fā)生發(fā)生的概率為的概率為p，記，記fn為為n次試驗中事件次試驗中事件A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率，則則npfpn證明證明:設(shè)設(shè)01iX第第i次試驗事件次

53、試驗事件A發(fā)生發(fā)生第第i次試驗事件次試驗事件A不發(fā)生不發(fā)生則則)1 ()(,)(ppXDpXEii由切由切比雪夫大數(shù)定理比雪夫大數(shù)定理pnXfPniin 11.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律n伯努里大數(shù)定律伯努里大數(shù)定律2022-3-25107 若若Xk,k=1.2,.為獨立為獨立同分布同分布隨機變量序列隨機變量序列, EXk= , k=1, 2, 則則PnkknXnY11推論推論:若若Xi,i=1.2,.為獨立為獨立同分布同分布隨機變量序列隨機變量序列, E(X1k)= , 則則)(111kPnikiXEXn1.3.4 大數(shù)定律大數(shù)定律n辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律2022-3-25108 設(shè)設(shè)Xn為

54、隨機變量序列，為隨機變量序列，X為隨機變量，其為隨機變量，其對應(yīng)的分布函數(shù)分別為對應(yīng)的分布函數(shù)分別為Fn(x), F(x). 若在若在F(x)的的連續(xù)點，有連續(xù)點，有),x(F)x(Flimnn 則稱則稱Xn依分布收斂于依分布收斂于X. 可記為可記為.XXwn1.3.5 中心極限定理中心極限定理n依分布收斂依分布收斂2022-3-25109 設(shè)設(shè)Xn為獨立為獨立同分布同分布隨機變量序列，若隨機變量序列，若EXk= ，DXk= 2 0，k=1, 2, , 則則Xn滿足：滿足：)(1nnxxXpnii1.3.5 中心極限定理中心極限定理n獨立同分布中心極限定理獨立同分布中心極限定理(Levy-Li

55、ndeberg)根據(jù)上述定理，當根據(jù)上述定理，當n充分大時充分大時)(lim1xxnnXpniin實際上，當實際上，當n充分大時，充分大時，Xi對總和的影響既均勻又微小對總和的影響既均勻又微小01)()(2nnXDnnXDii2022-3-25110解解:設(shè)設(shè) Xk為第為第k 次擲出的點數(shù)次擲出的點數(shù),k=1,2,100,則則X1,X100獨立同分布獨立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心極限定理由中心極限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1n例例1.3.7 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100次，則點數(shù)之和不少于次，則點數(shù)之

56、和不少于500的概率是多少？的概率是多少？1.3.5 中心極限定理中心極限定理2022-3-25111 設(shè)設(shè)Xn為獨立為獨立同分布同分布隨機變量序列，若隨機變量序列，若EXk= ，DXk= 2 0，k=1, 2, , 則則Xn滿足：滿足：)(1nnxxXpnii1.3.5 中心極限定理中心極限定理n獨立同分布中心極限定理獨立同分布中心極限定理(Levy-Lindeberg)根據(jù)上述定理，當根據(jù)上述定理，當n充分大時充分大時)(lim1xxnnXpniin實際上，當實際上，當n充分大時，充分大時，Xi對總和的影響既均勻又微小對總和的影響既均勻又微小01)()(2nnXDnnXDii2022-3-

57、25112設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 n(n=1, 2, .)服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p(0p1)的二項分布，則的二項分布，則),() 1, 0(npqnpNNnpqnpnwn相當于證明證明:設(shè)設(shè)01iX第第i次試驗事件次試驗事件A發(fā)生發(fā)生第第i次試驗事件次試驗事件A不發(fā)生不發(fā)生則則niiniiXppXDpXE1),1 ()(,)(由中心極限定理由中心極限定理,結(jié)論得證結(jié)論得證1.3.5 中心極限定理中心極限定理n德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理2022-3-251131.3.5 中心極限定理中心極限定理n例例1.3.8 在一家保險公司里有在一家保險公司里有10000個人參加

58、壽命個人參加壽命保險，每人每年付保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得，死亡時其家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元，問：元，問：(1)保險公司虧本的概率有多大？保險公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？元，賠償金至多可設(shè)為多少？2022-3-25114解：解： 設(shè)設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中：其中：n= 10000，p=0.6%，np=60,npq=5

59、9.64設(shè)設(shè)Y表示保險公司一年的利潤，表示保險公司一年的利潤， Y=10000*12-1000X于是于是由中心極限定理由中心極限定理 (1)PY0=P10000*12-1000X60000=P10000*12-aX60000=PX 60000/a 0.9;9 . 0)994. 0006. 010000006. 01000060000(a（2）設(shè)賠償金為）設(shè)賠償金為a元，則令元，則令3017 a由中心極限定理由中心極限定理,上式等價于上式等價于1.3.5 中心極限定理中心極限定理2022-3-25116隨機樣本抽樣分布1.4 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念數(shù)理統(tǒng)計的基本概念2022-3-25117 1. 1

60、. 總體總體-研究對象的全體。研究對象的全體。 通常指研究對象的某項數(shù)量指標全體。通常指研究對象的某項數(shù)量指標全體。 組成總體的元素稱為組成總體的元素稱為個體個體。 從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機變量或隨從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機變量或隨機變量的分布。機變量的分布。1.4.1 隨機樣本隨機樣本n總體與樣本總體與樣本2. 樣本：來自總體的部分個體樣本：來自總體的部分個體X X1 1， ，X Xn n 如果滿足：如果滿足： (1)同分布性：同分布性： Xi，i=1,n與總體X同分布.2022-3-251181.4.1 隨機樣本隨機樣本 (2)獨立性：獨立性： X1， ，Xn 相互獨立； 則