1、應用多元統計分析應用多元統計分析第八章習題解答第八章習題解答2 第八章第八章 因子分析因子分析.1,135. 045. 035. 0163. 045. 063. 01)(,18321的正交因子模型試求為即相關陣的協差陣設標準化隨機變量mRXXX:.000000:,:232221312111312111比較等號兩邊可得出則相關陣滿足子模型設隨機向量符合正交因解aaaaaaR3第八章第八章 因子分析因子分析35. 045. 063. 0111213131112111232312222121211aaaaaaaaa, 9 . 0, 7 . 0, 5 . 025. 07535. 0,35. 05757

2、,5745. 063. 0112131231313131213121aaaaaaaaaa75. 01,51. 01,19. 081. 011231232212221121aaa4第八章第八章 因子分析因子分析3132121115 . 07 . 09 . 01FXFXFXm的正交因子模型為故75. 000051. 000019. 0D特殊因子特殊因子(1, 2,p)的協差陣的協差陣D為：為：5第八章第八章 因子分析因子分析).1 (,1) 1 (.)1772. 0,6379. 0,7494. 0(3672. 0,)8432. 0 ,4911. 0,2186. 0(6795. 0,)5075. 0

3、 ,5932. 0 ,6250. 0(9633. 11828332211QmlllR并計算誤差平方和求因子模型的主成分解時取公因子個數的特征值和特征向量為中知已4943. 00003091. 00002331. 0,7111. 08312. 08757. 0)(:1:11DlAm為的因子模型的主成分解解6第八章第八章 因子分析因子分析02411. 001727. 00979. 0015911. 016227. 07279. 01135. 0145. 063. 01)(1DAARE記7第八章第八章 因子分析因子分析1951. 0)2411. 01727. 00979. 0(2) 1 (22313

4、122ijijQ故).2(,2)2(Qm并計算誤差平方和求因子模型的主成分解時取公因子個數,6950. 07111. 04048. 08312. 01802. 08757. 0),(:2:2211llAm為的因子模型的主成分解解8第八章第八章 因子分析因子分析3213221212116950. 07111. 04048. 08312. 01802. 08757. 0201131. 00001452. 00002007. 0FFXFFXFFXmD的正交因子模型為則)(135. 0145. 063. 01)(2DAADAARE9第八章第八章 因子分析因子分析13097. 014975. 08008

5、. 01DAA00403. 000475. 01708. 002E06611. 0)0403. 00475. 01708. 0(2)2(22313122ijijQ故10第八章第八章 因子分析因子分析 (3) 試求誤差平方和試求誤差平方和Q(m)0.1的主成分解的主成分解.因因Q(2)=0.073310.1，故，故m=2的主成分解滿足要求的主成分解滿足要求.,)()(1212212112pmjjpiipmjjpipjijmQ或者利用習題或者利用習題8-4的結果的結果:2023. 03943. 05966. 04943. 03091. 02331. 03672. 06795. 0)()()()()

6、 1 (222222232222212322Q07331. 006149. 01348. 001131. 01452. 02007. 03672. 0)()()()2(222222322222123Q11第八章第八章 因子分析因子分析8-3 驗證下列矩陣關系式驗證下列矩陣關系式(A為為pm陣陣).)()()3(;)()()2(;)()() 1 (1111111111111111DAADAIDAAADAADAIADDDAAADAIIADAADAImmpIAADBm解：解：利用分塊矩陣求逆公式求以下分塊矩陣的逆：利用分塊矩陣求逆公式求以下分塊矩陣的逆：,2111122AADBADAIBm記利用附錄

7、中分塊求逆的二個公式利用附錄中分塊求逆的二個公式(4.1)和和(4.2)有：有：12第八章第八章 因子分析因子分析ABAIBAABBBDABABDDAABDDBBBBIAADBmm12111211121112111122111221122111122112221121111由逆矩陣的對應塊相等，即得：由逆矩陣的對應塊相等，即得：13第八章第八章 因子分析因子分析2211221211211112212111111122111211BBABAIBDABBABDAABDDBm1111111111111)()()3()()()2()()(ADAIAAADAIDAADAIAADADAADAIADDAAD

8、mmmm把把B221和和B112式代入以上各式，可得：式代入以上各式，可得：由第三式和第二式即得由第三式和第二式即得) 1 ()()()(111111ADAADAIAAADAADAIImmm14第八章第八章 因子分析因子分析 8-4 證明公因子個數為證明公因子個數為m的主成分解，其誤差平方的主成分解，其誤差平方和和Q(m)滿足以下不等式滿足以下不等式其中其中ES-(AA+D)=(ij),A,D是因子模型的主成分估計是因子模型的主成分估計.,)(12112pmjjpipjijmQ 解：解：設樣本協差陣設樣本協差陣S有以下譜分解式：有以下譜分解式：iipmiiiimiiiipiil ll ll l

9、S1110p21其中 為為S的特征值，的特征值，li為相應的為相應的標準特征向量。標準特征向量。15第八章第八章 因子分析因子分析設設A,D是因子模型的主成分估計是因子模型的主成分估計,即即,11mmllABBAABABASllBppmm)|(,11有若記若記)diag( BBD則則.,)(DEBBDBBDAASE即16第八章第八章 因子分析因子分析 piipmjjmQDDEDDEEEDEDEBBB(BBBBB(12212)(00)(tr)()tr()tr)tr故,)()(1212212112pmjjpiipmjjpipjijmQ所以所以因因pmppmmppmmllllBB00),(11111

10、17第八章第八章 因子分析因子分析 8-5 試比較主成分分析和因子分析的相同之處試比較主成分分析和因子分析的相同之處與不同點與不同點. 因子分析與主成分分析的不同點有因子分析與主成分分析的不同點有: (1) 主成分分析不能作為一個模型來描述主成分分析不能作為一個模型來描述,它只它只是通常的變量變換是通常的變量變換,而因子分析需要構造因子模型而因子分析需要構造因子模型; (2) 主成分分析中主成分的個數和變量個數主成分分析中主成分的個數和變量個數p相相同同,它是將一組具有相關關系的變量變換為一組互它是將一組具有相關關系的變量變換為一組互不相關的變量不相關的變量(注意應用主成分分析解決實際問題注意

11、應用主成分分析解決實際問題時時,一般只選取前一般只選取前m(mp)個主成分個主成分),而因子分析的而因子分析的目的是要用盡可能少的公共因子目的是要用盡可能少的公共因子,以便構造一個結以便構造一個結構簡單的因子模型構簡單的因子模型;18第八章第八章 因子分析因子分析 (3) 主成分分析是將主成分表示為原變量的線主成分分析是將主成分表示為原變量的線性組合性組合,而因子分析是將原始變量表示為公因子而因子分析是將原始變量表示為公因子和特殊因子的線性組合和特殊因子的線性組合,用假設的公因子來用假設的公因子來“解解釋釋”相關陣的內部依賴關系相關陣的內部依賴關系. 這兩種分析方法又有一定的聯系這兩種分析方法又有一定的聯系.當估計方法當估計方法采用主成分法采用主成分法,因子載荷陣因子載荷陣A與