1、一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算 103 冪級數(shù)提示: 由定義在區(qū)間I上的函數(shù)列un(x)所構成的表達式 u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 一、函數(shù)項級數(shù)的概念稱為定義在區(qū)間 I 上的(函數(shù)項)級數(shù) 記為1)(nnxu v函數(shù)項級數(shù)1)(nnxuu1(x)u2(x)u3(x) un(x) xIv收斂點與發(fā)散點 提示: 對于每一個確定的值x0I 函數(shù)項級數(shù)成為常數(shù)項級數(shù) u1(x0)u2(x0)u3(x0) un(x0) 這個常數(shù)項級數(shù)或者收斂或者發(fā)散 使函數(shù)項級數(shù)收斂的點x0稱為函數(shù)項級數(shù)的收斂點; 使函數(shù)項級數(shù)發(fā)散的點x0稱為函數(shù)項級數(shù)的發(fā)散點 收斂點的

2、全體稱為收斂域 發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域 v函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù) v函數(shù)項級數(shù)的部分和 和函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域 在收斂域上 函數(shù)項級數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x) 它稱為函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù) 并寫成s(x)un(x) 函數(shù)項級數(shù)un(x)的前n項的部分和記作sn(x) 即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 在收斂域上有sn(x)s(x)(n) 注:un(x)是1)(nnxu的簡便記法 以下不再重述 v函數(shù)項級數(shù)的余項 函數(shù)項級數(shù)un(x)的余項記為rn(x) 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差: rn(x)s(x)sn(x) 在收斂域上有rn(x)0(

3、n) v函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù) v函數(shù)項級數(shù)的部分和 和函數(shù)的定義域就是級數(shù)的收斂域 在收斂域上 函數(shù)項級數(shù)un(x)的和是x的函數(shù)s(x) 它稱為函數(shù)項級數(shù)un(x)的和函數(shù) 并寫成s(x)un(x) 函數(shù)項級數(shù)un(x)的前n項的部分和記作sn(x) 即 sn(x)u1(x)u2(x)u3(x) un(x) 在收斂域上有sn(x)s(x)(n) 二、冪級數(shù)及其收斂性 在函數(shù)項級數(shù)中 形如 a0a1xa2x2 anxn 的級數(shù)稱為冪級數(shù) 其中常數(shù)ai(i1,2, )叫做冪級數(shù)的系數(shù) v冪級數(shù)1xx2x3 xn !1 ! 2112 nxnxx 冪級數(shù)舉例: 說明: 冪級數(shù)的一般形式是 a0a1(x

4、x0)a2(xx0)2 an(xx0)n 這種形式經變換txx0可化為上述定義形式 冪級數(shù) 1xx2x3 xn 是公比為x的幾何級數(shù) 因此它的收斂域為(1 1) 11132 nxxxxx 它在|x|1時收斂 在|x|1時發(fā)散 在收斂域內有 二、冪級數(shù)及其收斂性 在函數(shù)項級數(shù)中 形如 a0a1xa2x2 anxn 的級數(shù)稱為冪級數(shù) 其中常數(shù)ai(i1,2, )叫做冪級數(shù)的系數(shù) v冪級數(shù)冪級數(shù)舉例: 如果冪級數(shù)anxn當xx0(x00)時收斂 則適合不等式|x|x0|的一切x使冪級數(shù)anxn發(fā)散 注:anxn是冪級數(shù) 的簡記形式0nnnxa|x|x0|x|x0|v定理1(阿貝爾定理) 定理證明 如

5、果冪級數(shù)anxn當xx0(x00)時收斂 則適合不等式|x|x0|的一切x使冪級數(shù)anxn發(fā)散 v定理1(阿貝爾定理) 如果冪級數(shù)anxn不是僅在點x0一點收斂 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在 使得 當|x|R時 冪級數(shù)發(fā)散; 當xR與xR時 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 推論 如果冪級數(shù)anxn不是僅在點x0一點收斂 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在 使得 當|x|R時 冪級數(shù)發(fā)散; 當xR與xR時 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 v收斂半徑與收斂區(qū)間 v推論 正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)anxn的收斂半徑 開區(qū)間(R R)叫做冪級數(shù)anxn的收斂區(qū)間 注:

6、若冪級數(shù)只在x0收斂 則規(guī)定收斂半徑R0 若冪級數(shù)在(, )內收斂 則規(guī)定收斂半徑R 如果冪級數(shù)anxn不是僅在點x0一點收斂 也不是在整個數(shù)軸上都收斂 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在 使得 當|x|R時 冪級數(shù)發(fā)散; 當xR與xR時 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 v收斂半徑與收斂區(qū)間 v推論 正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)anxn的收斂半徑 開區(qū)間(R R)叫做冪級數(shù)anxn的收斂區(qū)間 冪級數(shù)anxn的收斂域是以下區(qū)間之一: (R, R)、R, R)、(R, R、R, R 0PPRRv定理2(收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R為: 當0 時1R 當0 時 R 當

7、時 R0 解 因為1 |lim 1nnnaa1 |lim 1nnnaa 所以收斂半徑1 |lim 1nnnaa 所以收斂半徑11R 提示:11lim 111lim |lim 1nnnnaannnnn11lim 111lim |lim 1nnnnaannnnn11lim 111lim |lim 1nnnnaannnnn 例 1 求冪級數(shù)11) 1(nnnnx的收斂半徑與收斂域 例 1 求冪級數(shù)11) 1(nnnnx的收斂半徑與收斂域 當 x1 時 冪級數(shù)成為1)1(nn 是發(fā)散的 因此 收斂域為(1, 1 1)1(nn 是發(fā)散的 當 x1 時 冪級數(shù)成為111) 1(nnn 是收斂的; 111)

8、 1(nnn 是收斂的; 解 因為1 |lim 1nnnaa1 |lim 1nnnaa 所以收斂半徑1 |lim 1nnnaa 所以收斂半徑11R v定理2(收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R為: 當0 時1R 當0 時 R 當時 R0 解 因為 0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn0)!1(!lim !1)!1(1lim |lim 1nnnnaannnnn 所以收斂半徑為R 從而收斂域為(, ) 例 2 求冪級數(shù)0!1nnxn的收斂域

9、 v定理2(收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R為: 當0 時1R 當0 時 R 當時 R0 解 因為 !)!1(lim |lim 1nnaannnn!)!1(lim |lim 1nnaannnn!)!1(lim |lim 1nnaannnn 所以收斂半徑為R0 即級數(shù)僅在x0處收斂 例 3 求冪級數(shù)0!nnxn的收斂半徑 v定理2(收斂半徑的求法) 如果|lim1nnnaa 則冪級數(shù)0nnnxa的收斂半徑 R為: 當0 時1R 當0 時 R 當時 R0 提示: 此級數(shù)缺少奇次冪的項 前述求收斂半徑的方法不能直接應用提示:2222) 1(221) 1(

10、) 12)(22() !()!2()!1()!1( 2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn2222) 1(221) 1() 12)(22() !()!2()!1()!1( 2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn 解 這種缺項冪級數(shù)一般用比值審斂法來求收斂半徑 冪級數(shù)的一般項為nnxnnxu22) !()!2()( 因為 因為 21| 4 |)()(|limxxuxunnn21| 4 |)()(|limxxuxunnn 當4|x|21即|x|1即|x| 時級數(shù)發(fā)散 21 例 4 求冪級數(shù)022!)()!2(nnxnn的收斂半徑 這種缺項冪級數(shù)一般用比值審斂法來求收斂半徑 冪級數(shù)的一般項為nnxnnxu22) !()!2()( 因為 因為 21| 4 |)()(|limxxuxunnn21| 4 |)()(|limxxuxunnn 當4|x|21即|x|1即|x| 時級數(shù)發(fā)散 21所以收斂半徑為21R 解 例 4 求冪級數(shù)022!)()!2(nnxnn的收斂半徑 解 令 tx1 上述級數(shù)變?yōu)?2nnnnt 因為 21