1、湖北經濟學院數學教研室2005.5第七節第七節 斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式環流量與旋度環流量與旋度一、一、 斯托克斯公式斯托克斯公式二、二、 簡單應用簡單應用三、三、 環流量與旋度環流量與旋度五、五、 總結總結 四、四、 向量微分算子向量微分算子湖北經濟學院數學教研室2005.5一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)公式公式斯托克斯公式斯托克斯公式湖北經濟學院數學教研室2005.5n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則xyzo),(:yxfz xyD Cn證明證明如圖如圖湖北經濟學院數學教研室2005.5思路思路曲面積分曲面積分二重積分二重積分

2、曲線積分曲線積分12dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( 湖北經濟學院數學教研室2005.5dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1湖北經濟學院數學教研室2005.5 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPd

3、zdxzP 空間有向曲線空間有向曲線湖北經濟學院數學教研室2005.5,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可證同理可證,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR 故有結論成立故有結論成立.湖北經濟學院數學教研室2005.5 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式湖北經濟學院數學教研室2005.5StokesStokes公式的實質公式的實質: : 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的

4、曲線積分之間的關系線積分之間的關系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (當是當是xoy面的平面閉區域時面的平面閉區域時) )湖北經濟學院數學教研室2005.5二、簡單的應用二、簡單的應用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz湖北經濟學院數學教研室2005.5 dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都為正，弦都為正，的法向量的三個方向余的法向量的三個方向余由于由于 再由對稱性知：再由對稱性知：如圖如圖xyDdzyxdyzdx 湖北經濟學院數學教研室2005.5解解則則1

5、, 1 , 131 nzxyo n 湖北經濟學院數學教研室2005.5即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx湖北經濟學院數學教研室2005.5三、物理意義三、物理意義-環流量與旋度環流量與旋度.),(),(),(),(按按所所取取方方向向的的環環流流量量沿沿曲曲線線稱稱為為向向量量場場上上的的曲曲線線積積分分中中某某一一封封閉閉的的有有向向曲曲線線則則沿沿場場設設向向量量場場CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzy

6、xACC 1. 1. 環流量的定義環流量的定義: :湖北經濟學院數學教研室2005.5sdRQPzyxkjisdAC 環流量環流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定義旋度的定義: :. )(ArotRQPzyxkji為向量場的旋度為向量場的旋度稱向量稱向量 湖北經濟學院數學教研室2005.5.)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiArot 旋度旋度湖北經濟學院數學教研室2005.5斯托克斯公式的又一種形式斯托克斯公式的又一種形式其中其中,coscoscoskjin 的的單單位位法法向向量量為為kjit coscoscos 的的單單位

7、位切切向向量量為為dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( dsRQP)coscoscos( 湖北經濟學院數學教研室2005.5斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot dsAdSArottn)(或或其中其中 cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotn coscoscosRQPnAAt 湖北經濟學院數學教研室2005.5Stokes公式的物理解釋公式的物理解釋: dsAsdArott環流量環流量湖北經濟學院數學教研室2005.5Mv Lo rv zyxkji321 解解 由力學知道點由力學知道點 的線速度為的線速

8、度為M .22,2,2321 觀察旋度觀察旋度vrot由此可看出旋度由此可看出旋度與旋轉角速度的與旋轉角速度的關系關系.湖北經濟學院數學教研室2005.5向量微分算子向量微分算子 的定義為的定義為 ,kzjyix 算子，算子，算子或哈密頓（算子或哈密頓（它又稱為它又稱為)Hamilton 運用向量微分算子，我們有運用向量微分算子，我們有kzujyuixuuzyxuu ),()1(則則設設四、向量微分算子四、向量微分算子湖北經濟學院數學教研室2005.5）算算子子 Laplace( grad2222222uzuyuxuuuu zRyQxPkRjQiPkzjyixAkzyxRjzyxQizyxPA )()( ,),(),(),()2(則則設設湖北經濟學院數學教研室2005.5)(rot ARQPzyxkjiA 高斯公式和斯托克斯公式可分別寫成高斯公式和斯托克斯公式可分別寫成,)(dSAdVAn .)(dsAdSAn 湖北經濟學院數