1、精選優質文檔-傾情為你奉上 不等式和基本不等式一知識梳理1.實數大小的比較方法(1)作差法：a>ba-b>0，a<ba-b<0，a=ba-b=02.不等式的性質(1)性質1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.(2)性質2:如果a>b,b>c,那么a>c.(2)性質3:如果a>b,那么a+c>b+c.推論:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.(4)性質4:如果a>b,c>0,那么ac>bc;，如果a>b,c<0,那么ac<bc.推論1:如果a>

2、;b>0,c>d>0,那么ac>bd.推論2:如果a>b>0,那么a2>b2.推論3:如果a>b>0,那么an>bn(n為正整數).推論4:如果a>b>0,那么 (n為正整數).3.含有絕對值不等式(1)定理:對任意實數a和b,有|a+b|a|+|b|,其中等號成立的條件為ab0.說明:定理中的b以-b代替,則有|a-b|a|+|b|.，其中等號成立的條件為ab0.對任意實數a和b,有|a|-|b|a±b|a|+|b|.(2)絕對值不等式的解法解含有絕對值的不等式,關鍵在于利用絕對值的意義,設法去掉絕對值符號,把

3、它轉化為一個或幾個普通不等式或不等式組,常用的方法有定義法、平方法、公式法等.4.平均值不等式定理1:對任意實數a,b,有a2+b22ab(當且僅當a=b時取“=”號).定理2;定理3:對任意三個正數a,b,c,有a3+b3+c33abc(當且僅當a=b=c時取“=”號).二典例分析題型一 比較兩個數的大小點評:比較兩個實數的大小,可以用作差法或作商法,若含有未知字母,注意分類討論.練習1: 已知a,b,cR+,且b<c,比較ab與ac+bc的大小.題型二 絕對值三角不等式定理的應用對于絕對值三角不等式定理：|a|b|a±b|a|b|，要從以下兩個方面深刻理解：(1)兩端的等號

4、成立的條件在解題時經常用到，特別是用此定理求函數的最大(小)值時(2)該定理可以推廣為|abc|a|b|c|，也可強化為|a|b|a±b|a|b|，它們經常用于含絕對值的不等式的推證例2 （1）f(x)|3x|x2|的最小值為_（2）若不等式|x-a|+|x-2|1對任意實數x均成立,則實數a的取值范圍是_.練習2 已知f(x)=|x-1|+|2x+3|.若f(x)m對一切xR都成立,求實數m的取值范圍;題型三 絕對值不等式的解法(1)形如|xa|±|xb|c不等式的解法常用零點分段討論法，其步驟為：求零點；劃分區間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結果的并集，

5、特別注意在分段時不要漏掉區間的端點值(2)上述不等式也可用|xa1|±|xa2|的幾何意義去求解集例3解下列不等式：(1)|x1|<2； (2)|x21|>3； (3)|x22x4|>2x； (4)4|x6|<32x.（5）2|x|+|x-1|<2例4已知函數f(x)|2x1|x3|.(1)解不等式f(x)4；(2)若存在x使得f(x)a0成立，求實數a的取值范圍題型四 絕對值不等式的證明例5 若|a-b|>c,|b-c|<a,求證:c<a.點評:絕對值不等式|a|-|b|a±b|a|+|b|的幾何意義是:三角形任意兩邊之差小

6、于第三邊,三角形任意兩邊之和大于第三邊,在運用時注意等號成立的條件.題型五 利用不等式求最值練習5:為銳角,求y=sincos2的最大值.三 高考回顧例8 (2010·新課標全國卷，理)(本小題滿分10分)設函數f(x)|2x4|1.(1)畫出函數yf(x)的圖像；(2)若不等式f(x)ax的解集非空，求a的取值范圍例9 (2010·福建卷，理)已知函數f(x)|xa|.若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實數a的值；在的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍四 家庭作業一、選擇題1（2011年重慶理高考題7）已知a0，b0，a+b=2，則

7、y=的最小值是A B4 C D52.（2011年全國高考大綱理3）下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是A B C D3（2011年上海高考題理15）若，且，則下列不等式中，恒成立的是 A B CD D4.設a>0,b>0,下列不等式中不成立的是5.設a,b,c是互不相等的正數,則下列等式中不恒成立的是6.函數y=|x+1|-|x-1|的最大值是( )A.1 B.2 C.-2 D.不存在7.設a,bR,a2+2b2=6,則a+b的最小值為8.不等式|x-1|+|x+2|5的解集為( )9.設a>1,方程|x+logax|=|x|+|logax|的解是( )A.0x1 B

8、.x1 C.xa D.0<xa二、填空題11.若5-x>7|x+1|與不等式ax2+bx-2>0同解,而|x-a|+|x-b|k的解集為空集,則k的取值范圍為_.12.設正數a,b,c,d滿足a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,則ad與bc的大小關系是_.三、解答題14.(2009·寧夏海南)如圖,O為數軸的原點,A,B,M為數軸上三點,C為線段OM上的動點,設x表示C與原點的距離,y表示C到A距離4倍與C與B的距離的6倍的和.(1)將y表示成x的函數;(2)要使y的值不超過70,x應該在什么范圍內取值、答案：練習1解:ab-(ac+bc)=a(b-c)

9、-bc,b<c,b-c<0,又a>0,a(b-c)<0,b>0,c>0,bc>0,-bc<0,a(b-c)-bc<0,ab<ac+bc.例2（1）解析：|3x|x2|3x(x2)|1，f(x)min1.，答案：1（2）解析:由題得|x-a|+|x-2|(x-a)-(x-2)|=|a-2|,|a-2|1,解得a(-,1例3 【思路分析】這四個小題分別代表四個基本類型【解析】(1)原不等式等價于2<x1<2，解得x|1<x<3(2)原不等式等價于x21>3或x21<3，由x21>3，得x>2

10、或x<2.由x21<3，得x2<2無解原不等式的解集為x|x>2或x<2(3)原不等式等價于x22x4<2x或x22x4>2x.解得無解，解得x2.原不等式的解集為x|xR且x2(4)原不等式等價于(32x)<x6<(32x)即解之得<x<.原不等式的解集為例4練習3例5 證明:由|a-b|>c,|b-c|<a,，所以c-a<|a-b|-|b-c|(a-b)+(b-c)|=|a-c|=|c-a|由c-a<|c-a|知c-a<0,所以c<a.例6 （1）（2）練習5：例7 答案:B練習6 例8

11、【解析】(1)由于f(x)則函數yf(x)的圖象如圖所示(2)由函數yf(x)與函數yax的圖象可知，當且僅當a或a<2時，函數yf(x)與函數yax的圖象有交點故不等式f(x)ax的解集非空時，a的取值范圍為(，2)，)例9【解析】解法一由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.當a2時，f(x)|x2|.設g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|.所以當x3時，g(x)5；當3x2時，g(x)5；當x2時，g(x)5.綜上可得，g(x)的最小值為5.從而，若f(x)f(x5)m即g(x)m對一切實數x恒成立，則m的

12、取值范圍為(，5p 解法二同解法一p 當a2時，f(x)|x2|.設g(x)f(x)f(x5)p 由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當且僅當3x2時等號成立)得，g(x)的最小值為5.p 從而，若f(x)f(x5)m即g(x)m對一切實數x恒成立，則m的取值范圍是(，5家庭作業 答 1，【答案】C 2，【答案】A 3，答案:D， 4.答案:D5，.答案:C,6，解析:|x+1|-|x-1|x+1-x+1|=2,故選B.7，,8，答案:D9，解析:由題可知x與logax同號,又x>0,logax0,a>1,x1. 答案:B10，,11.解析:不等式5-x>7|x+1|的解集為x|-2<x<-14，則由根與系數關系可