1、易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)模型（2006年全國一等獎）摘要：本文建立了易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)模型，使易拉罐制作所用的材料最省，來增加生產(chǎn)商的經(jīng)濟(jì)效益。在飲料罐容積一定的基礎(chǔ)上，按照材料最省原則，根據(jù)所給的任務(wù)2、任務(wù)3、任務(wù)4，分別建立了模型、模型、模型，最終在討論和分析后，對模型進(jìn)行了評價(jià)和改進(jìn)。對于任務(wù)1，利用千分卡尺測量了我們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的易拉罐各個部分的數(shù)據(jù)，并把所測得的數(shù)據(jù)用圖形和表格加以說明。對于任務(wù)2，在易拉罐為正圓柱體的情況下建立模型，通過確定目標(biāo)函數(shù)，給出約束條件，利用初等解法得出 為圓柱體易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。并用此其結(jié)果檢驗(yàn)用千分尺所測得，其絕對誤差僅為0.29，可以說幾乎一致

2、。當(dāng)易拉罐為正圓臺與正圓柱組合的情況下建立了非線性規(guī)劃模型，利用LINGO軟件算出為該模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)。這一結(jié)果與我們測量所得數(shù)據(jù)基本吻合，其中圓臺高誤差較大，這引起了我們對此模型與實(shí)際易拉罐形狀、尺寸的進(jìn)一步觀察與思考。最終我們感悟出要設(shè)計(jì)一個既省材又耐用且美觀的易拉罐必需考慮經(jīng)濟(jì)、耐壓、美觀和實(shí)用性四個方面。從這四個方面出發(fā)我們建立了關(guān)于材料最省的優(yōu)化模型，并利用LINGO軟件算出其結(jié)果為：在模型的結(jié)尾部分，我們通過對建立模型的方法、計(jì)算工具等方面進(jìn)行了模型的評價(jià)，并提出進(jìn)一步改進(jìn)的方法。最后通過本模型以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫了一篇短文。關(guān)鍵詞：易拉罐 最優(yōu)設(shè)計(jì) 非線性規(guī)劃

3、LINGO軟件問題重述在生活中我們會發(fā)現(xiàn)銷量很大的飲料 (例如飲料量為355毫升的可口可樂、啤酒等) 的飲料罐(即易拉罐)的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。看來，這并非偶然，這應(yīng)該是某種意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。當(dāng)然，對于單個的易拉罐來說，這種最優(yōu)設(shè)計(jì)可以節(jié)省的錢可能是很有限的，但是如果是生產(chǎn)幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節(jié)約的錢就很可觀了。現(xiàn)在就請你們小組來研究易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題。具體說，請你們完成以下的任務(wù)：1 取一個凈含量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測量你們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明；如果數(shù)據(jù)不是你們

4、自己測量得到的，那么你們必須注明出處。2 設(shè)易拉罐是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。3 設(shè)易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是一個正圓臺，下面部分是一個正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。4 利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。5 用你們做本題以及以前學(xué)習(xí)和實(shí)踐數(shù)學(xué)建模的親身體驗(yàn)，寫一篇短文(不超過1000字，你們的論文中必須包括這篇短文)，闡述什么是數(shù)學(xué)建模、它的關(guān)鍵步驟，以及難點(diǎn)。符號說明:易拉罐的總

5、高度； ：罐壁的厚度；：頂蓋的厚度；：底蓋的厚度；:易拉罐中間柱體的半徑；：頂蓋的半徑；：底蓋的半徑；：易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離；：易拉罐底端到圓柱部分底端的垂直距離；：易拉罐底蓋的拱高；:制作易拉罐所用材料的總體積；:罐裝飲料的容積（由于半徑和高度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于易拉罐材料的厚度，即可將易拉罐的體積看成是容積）；圖一模型假設(shè) （1）易拉罐為無損壞的凈含量355ml的可口可樂飲料罐；（2）不考慮溫度對易拉罐形狀和尺寸設(shè)計(jì)的影響；（3）不考慮罐氣體壓強(qiáng)對易拉罐形狀和尺寸設(shè)計(jì)的影響；（4）不考慮接縫折邊的長度L；（5）長度的量綱為毫米。模型分析、建立與求解一、測量認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)取一個無損

6、壞凈含量355ml的可口可樂飲料罐，利用千分卡尺測量我們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的易拉罐各個部分的數(shù)據(jù)。并把所測得的數(shù)據(jù)用表一加以說明。表一如下：表一：自己所測得我們認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的易拉罐各個部分的數(shù)據(jù)檢測部位可口可樂罐均值（單位：毫米）易拉罐的總高度()122.90易拉罐頂蓋的厚度()0.31易拉罐底蓋的厚度()0.30易拉罐罐壁的厚度()0.15易拉罐中間柱體的半徑（）31.75易拉罐頂蓋的半徑()29.07易拉罐底蓋的半徑()26.75易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離()13.00易拉罐底端到圓柱部分底端的垂直距離()7.30易拉罐底蓋的拱高()10.10二、易拉罐為正圓柱體時(shí)的最優(yōu)模型模型

7、的分析、建立與求解。根據(jù)任務(wù)2給出的信息，將飲料罐假設(shè)為正圓柱體，如圖二所示。圖二事實(shí)上由于制造工藝等要求，它不可能正好是數(shù)學(xué)上的正圓柱體，但這樣簡化問題確實(shí)是近似的、合理的。要求飲料罐容積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。在這種簡化下顯然有=，由假設(shè)得到 。由于易拉罐上底和下底的強(qiáng)度必須要大一點(diǎn)（經(jīng)千分卡尺的實(shí)際測量結(jié)果為：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍；材料力學(xué)應(yīng)力狀態(tài)理論知識告訴我們二向應(yīng)力中，上、下底所受的應(yīng)力是罐壁所受應(yīng)力的2倍），因而在制造中，上、下底的厚度為罐的其它部分厚度的2倍，即=2。因而制罐用材的總體積為：注意：易拉罐側(cè)面材料的體積應(yīng)為

8、 ，因?yàn)?測量所得=0.15)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于(測量所得=63.50)，所以可以忽略, 于是我們建立了以下A為目標(biāo)函數(shù)，是約束條件的數(shù)學(xué)模型： 其中是已知的（由模型假設(shè)可知）。從解出，代入A，使原問題化為求使A最小，即，求使最小。 應(yīng)用不等關(guān)系式：，0，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。于是有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，再由，得即總罐高應(yīng)為半徑的4倍，這是易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。這與用千分尺所測得幾乎完全一致。這一結(jié)果同時(shí)也驗(yàn)證了我們所測量的可口可樂易拉罐高度與半徑尺寸設(shè)計(jì)的合理性。三、易拉罐為正圓臺與正圓柱體組合的最優(yōu)模型與模型類似，模型是模型的深入。根據(jù)任務(wù)2給出的信息，將易拉罐的外形看成兩部分（如圖三）：一部分是一

9、個正圓臺，另一部分是一個正圓柱體。圖三要求飲料罐容積一定時(shí)，求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比。在這種形狀下還是=2，根據(jù)圓臺的體積公式得到罐裝飲料正圓臺部分的體積=，從而得到易拉罐的體積為 =。 易拉罐上、下底的厚度為罐的其它部分厚度的2倍。制罐用材的總體積為： A= 建立以下的數(shù)學(xué)模型：= 利用LINGO數(shù)學(xué)軟件（見附件一）算得：這就是圖三所示易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)。我們可以很清晰的看到除了易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離()與實(shí)際所測得的數(shù)據(jù)相差較大外,其余幾項(xiàng)仍然與我們所測量的數(shù)據(jù)相吻合。如果不忽略易拉罐側(cè)面的厚度，并將易拉罐整體看成有兩個規(guī)格形狀一樣、大小不一（

10、一個稍大的在外面、一個稍小的在里面）緊密的疊套在一起的物體，制作易拉罐所用材料的總體積就相當(dāng)于外面稍大物體的總體積減去里面稍小物體的總體積，即 = 但是，所以在計(jì)算制作易拉罐所用材料的總體積時(shí)忽略了，采用了表面積乘以厚度等于總體積的方法來計(jì)算制作易拉罐所用材料的總體積，即=。由于在模型中采用了簡單的計(jì)算體積方法（，體積等于面積乘以厚），并且在計(jì)算過程中總會出現(xiàn)誤差，不是那么精確，所以導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果和所測得的數(shù)據(jù)有一點(diǎn)點(diǎn)的出入。但為什么計(jì)算所得的易拉罐頂蓋到圓臺底端的垂直距離和所測得到的數(shù)據(jù)會相差這么大？我們對此問題進(jìn)行了思考，再借助對可口可樂飲料罐的觀察和研究，從而發(fā)現(xiàn)了可口可樂飲料罐底蓋是向上

11、拱起的，而我們計(jì)算時(shí)是把易拉罐的下面部分看成正圓柱體的，沒有考慮底蓋是向上拱起的，由此容積減少了，而減少的那部分體積正好體現(xiàn)在圓臺高度上了，所以才導(dǎo)致了計(jì)算所得的易拉罐蓋頂?shù)綀A臺底端的垂直距離(即:)與所測得的數(shù)據(jù)相差過大的這一現(xiàn)象。我們將在任務(wù)四中加以認(rèn)證。四、最優(yōu)模型 對于問題4，我們根據(jù)模型，從經(jīng)濟(jì)、耐壓力、美觀和實(shí)用性這四個方面出發(fā)建立了關(guān)于材料最省的優(yōu)化模型。1.從經(jīng)濟(jì)角度考慮，把原料最省作為目標(biāo)函數(shù)。 2.從易拉罐的耐壓性考慮，又要求上、下底面比側(cè)面厚，在這種形狀下還是=2，但是根據(jù)第二個模型的推論，把底蓋設(shè)計(jì)成瓦楞的形狀。瓦楞，它是一種拱形結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)可以使作用在上面的壓力向兩

12、側(cè)分解：（），其中如圖四中所示，拱形所受的壓力大小也可以從材料的薄厚上體現(xiàn)出來： （1）瓦楞優(yōu)點(diǎn)是：載重負(fù)荷大，節(jié)省材料，自重小。因此同種材料，它的強(qiáng)度要比沒有拱形時(shí)大。3、從美學(xué)角度考慮，當(dāng)高與底面直徑之比符合黃金分割法時(shí)，視覺效果最佳,這時(shí) 4、從實(shí)用性方面考慮，便于疊加放置，即頂蓋的半徑比底蓋的半徑大。由于接縫折邊技術(shù)的限制，接縫折邊厚度為3毫米左右，即。通過上述分析，把形狀設(shè)計(jì)為圖四（如下）的形狀。、 圖四根據(jù)（1）式結(jié)合圖四，利用初等幾何知識得到由此建立目標(biāo)函數(shù)： 利用LINGO數(shù)學(xué)軟件（見附件二）得到計(jì)算結(jié)果：這就是我們對所測量的易拉罐的洞察和想象力后做出自己的關(guān)于易拉罐形狀和尺寸

13、。模型評價(jià)與改進(jìn)一、 模型的評價(jià)1 模型的優(yōu)點(diǎn)（1） 通過利用測量工具（千分卡尺）和LINGO編程的方法，對模型求解具有精度高且具有科學(xué)性。（2） 在模型中我們利用了不等式的解法，計(jì)算簡單、方便、靈活。（3） 在模型中我們從經(jīng)濟(jì)、耐壓、美觀和實(shí)用性四個方面考慮，使模型更貼近實(shí)際。（4） 建立的三個模型由簡單到復(fù)雜，由粗略到精細(xì)，層層推進(jìn)，步步優(yōu)化。2 模型的不足（1）模型中還有許多因素沒有考慮，例如：加工工藝技術(shù)的限制，接縫折邊長度，材料的不同，飲料罐的空間余量等。（2）在模型與模型的計(jì)算過程中，我們限定了易拉罐的容積（毫升）和罐壁厚（）。（3）由于時(shí)間關(guān)系和計(jì)算的復(fù)雜性，在模型中只考慮了罐底

14、的形狀為球冠，沒有考慮其他的形狀。例如：橢圓。“球形封頭與圓筒不等厚連接問題的探討”一文中指出 “從制造角度來說,標(biāo)準(zhǔn)橢圓形封頭比球形封頭易于制造且制造等尺寸等厚度的橢圓形封頭比球形封頭耗料少”二、 模型的改進(jìn)（1）在模型的計(jì)算結(jié)果中可以看出起其結(jié)果還是比較符合我們所測量的結(jié)果，但是仔細(xì)的一看易拉罐的高度（）與我們測量得到的數(shù)據(jù)122.90還有一定的差距，所以我們考慮到飲料罐可能沒有裝滿飲料，還留有一定的空間余量，如果把這一因素考慮進(jìn)去建立新的模型，得到的會更接近于實(shí)際所測的數(shù)據(jù)122.90。（2）在模型的最優(yōu)設(shè)計(jì)中涉及到一些物理、材料力學(xué)及美學(xué)等方面的要求，這必須要有有關(guān)方面的專業(yè)知識，實(shí)際

15、工作經(jīng)驗(yàn)來確定，單靠數(shù)學(xué)知識是不夠的。所以我們必須和實(shí)際工作者緊密結(jié)合。淺談數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)語言(符號、式子與圖象)描述實(shí)際現(xiàn)象的過程。對于現(xiàn)實(shí)中的原型，為了某個特定目的，作出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。把現(xiàn)實(shí)模型抽象、簡化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)狀態(tài)，或者能預(yù)測到對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。建立一個數(shù)學(xué)模型與求解一個數(shù)學(xué)問題有著很大的差別。求解數(shù)學(xué)問題往往有唯一的答案，而數(shù)學(xué)建模往往沒有唯一的答案。對與一個實(shí)際問題而言，數(shù)學(xué)建模沒有確定的模式，但建模方法和過程卻有著共同的規(guī)律。建立數(shù)學(xué)模型的

16、過程，要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分折和解決問題。建模要經(jīng)過哪個步驟沒有一定的模式,通常與問題的性質(zhì)、建模的目的有關(guān)。數(shù)學(xué)建模的步驟可分為：一、模型準(zhǔn)備（問題分析）：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，收集與研究問題和問題有關(guān)的信息與資料，用數(shù)學(xué)語言來描述問題。二、模型假設(shè)（分析與簡化）：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。三、模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立所研究問題的數(shù)學(xué)模型。(盡量用

17、簡單的數(shù)學(xué)工具)。四、模型求解：選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ毛@取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(估計(jì))。五、模型評價(jià)與改進(jìn)（模型檢驗(yàn)）：評價(jià)模型最重要的標(biāo)準(zhǔn)是模型及其求解是否能反映實(shí)際問題、滿足解決實(shí)際問題的需要，將模型求得的結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。六、模型應(yīng)用：將經(jīng)過多次反復(fù)改進(jìn)的模型及其求解應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中。在建立易拉罐最優(yōu)設(shè)計(jì)模型時(shí)，我們遇到了以下困難（即建模時(shí)的難點(diǎn)）： 1、由于測量條件的限制，測出來的結(jié)果可能誤差比較大。2、非

18、線性規(guī)劃模型的計(jì)算比較困難，必須借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行計(jì)算，如LINGO。3、再考慮多方面時(shí)由于某些物理材料力學(xué)方面的要求，必須有關(guān)方面的實(shí)際工作者或?qū)＜襾泶_定，只靠數(shù)學(xué)知識是不夠的，必須和實(shí)際工作者的經(jīng)驗(yàn)緊密結(jié)合。參考文獻(xiàn)1鴻文，材料力學(xué)（上冊），出版地：，人民教育，1979年2月第1版。2宇平,材料力學(xué)，出版地：,中國建筑工業(yè)，1978年12月第一版；3 徐良、密, 關(guān)于拱形結(jié)構(gòu)之所以堅(jiān)因的探究, 2006年9月16日。4 王小麗，球形封頭與圓筒不等厚連接問題的探討，設(shè)計(jì)與研究，33-34頁，2003年第三期。附件：附件一、model:pi=3.1415;b=0.15;v=355000; min

19、=2*pi*b*(r12+r2+0.5*(r1+r)*sqr(r-r1)2+h12)+r*(h-h1); pi*(r12+r2+r*r1)*h1+3*pi*r2*(h-h1)-3*v=0; h>h1; r>r1;endLocal optimal solution found. Objective value: 5206.095 Extended solver steps: 4 Total solver iterations: 205 Variable Value Reduced CostPI 3.141500 0.000000B 0.1500000 0.000000V 355000

20、.0 0.000000 R1 29.83883 0.000000 R 30.57185 0.000000 H1 0.3674145 0.000000 H 120.9148 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 5206.095 -1.000000 2 0.000000 -0.3270983E-02 3 120.5473 0.000000 4 0.7330161 0.0000005 0.000000 -0.3270983E-02 6 120.5473 0.000000 7 0.7330161 0.000000附件二：model:b=0.15;pi=3.1415;v=355000; min=b*pi*2*r*(h-h1-h2+r12)+b*pi*(r+r1)*sqr(r-r1)2+h12)+b*pi*(r2+r)*sqr(r-r2)2+h22)+b*pi*22*(r22-h32);pi*(r2+r12+r*r1)*h1+3*pi*r2*(h-h1-h2)+pi*(r22+r2+r*r2)*h2-pi/2*h3*(3*r22+h32)-3*v=0;2*r2*