1、費馬點 費馬（Pierre de Fermat,1601-1665） 法國業余數學家，擁有業余數學之王的稱號,生于博蒙德羅曼。其父曾任法國圖盧茲地方法院的法律顧問。本人身為律師，曾任圖盧茲議會的顧問30多年。他的一系列重要科學研究成果，都是利用業余時間完成的。 他是解析幾何的發明者之一在數學方面作出了卓越的貢獻，早年主要研究概率論，對于數論和解析幾何都有深入研究。他對微分思想的運用比牛頓和萊布尼茲還要早，在他所著求最大值和最小值的方法一書中，已對微分理論進行了比較系統的探討。他把直線平面坐標應用于幾何學也早于笛卡兒，在其所著平面及空間位置理論的導言中，最早提出了一次方程代表直線，二次方程代表截

2、線，對一次與二次方程的一般形式，也進行了研究。費馬還研究了對方程整數解的問題。得出了求導數所有約數的系統方法。 所謂的“費馬點”就是法國著名數學家費馬在給數學朋友的一封信中提出關于三角形的一個有趣問題：“在三角形所在平面上，求一點，使該點到三角形三個頂點距離之和最小”讓人家想,并自稱已經證明了。這是費馬通信的一貫作風。當時歐洲所有數學家對他都十分頭疼的。人們稱這個點為“費馬點”。還有象著名的費馬大定理也是這樣，給歐拉的信中提出的，自稱已經“有了非常巧妙的證明”。可到死也沒告訴人家這個所謂證明。結果困擾世界數學界一百多年。直到去年才解決。著名的費馬大定理是費馬提出的至今尚未解決的問題。1637年

3、費馬提出：“不可能把一個整數的立方表示成兩個立方的和，把一個四次方冪表示成兩個四次方冪的和，一般地，不可能把任一個次數大于2的方冪表示成兩個同方冪的和。” 即：無整數解。1665年這一定理提出后，引起了許多著名數學家的關注，至今尚在研究如何證明它的成立，但始終毫無結果。 費馬在光學方面，確立了幾何光學的重要原理，命名為費馬原理。這一原理是幾何光學的最重要基本理論之一，對于笛卡兒的“光在密媒質中比在疏媒質中傳播要快”的觀點給予了有力的反駁，把幾何光學的發展推向了新的階段。 幾何光學已有悠久的發展歷史,由于費馬原理的確立，幾何光學發展到了較為完善的程度。 1621年斯涅爾總結出了光的折射定律。費馬

4、則是用數學方法證明了折射定律的主要學者之一。 費馬原理是根據經濟原則提出的，它指出：光沿著所需時間為極值的路徑傳播。可以理解為，光在空間沿著光程為極值的路傳播，即沿光程為最小、最大或常量路徑傳播。 費馬定理不但是正確的，同時它與光的反射定律和折射定律具有同等的意義。一、費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點 費爾馬的結論：對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點1、 費馬點一定不在三角形外（證明略）2、 當有一個內角大于或等于120°時對三角形內任一點P延

5、長BA至C'使得AC=AC'，做C'AP'=CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（說了這么多，其實就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉）則APC AP'C'BAC 120°PAP' = 180°-BAP-C'AP' = 180°-BAP-CAP = 180°-BAC 60°等腰三角形PAP'中，AP PP'PA + PB + PC PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC點A即費馬點

6、3、當三個內角都小于120°時下面簡單說明如何找點P使它到三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？ 解析：如圖1，把APC繞A點逆時針旋轉60°得到APC，連接PP則APP為等邊三角形，AP= PP，PC=PC，所以PA+PB+PC= PP+ PB+ PC點C可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉60°而得的定點，BC為定長 ，所以當B、P、P、C 四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小這時BPA=180°-APP=180°-60°=120°，APC=A PC=180°-APP=180°-60°=1

7、20°，BPC=360°-BPA-APC=360°-120°-120°=120° 因此，當的每一個內角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°，可在AB、BC邊上分別作120°的弓形弧，兩弧在三角形內的交點就是P點；當有一內角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點費爾馬問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換費馬點作法（1）平面內一點P到ABC三頂點的之和為PA+PB+PC，當點P為費馬點時，距離之和最小。特殊三角形中：(2).

8、三內角皆小于120°的三角形，分別以 AB,BC,CA，為邊，向三角形外側做正三角形ABF,ACE,BCD,然后連接AD,BE,CF,則三線交于一點P,則點P就是所求的費馬點.(3).若三角形有一內角大于或等于120度,則此鈍角的頂點就是所求的費馬點.(4)當ABC為等邊三角形時,此時內心與費馬點重合費馬點應用例舉例1 （2008年廣東中考題）已知正方形ABCD內一動點E到A、B、C三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長 例2 如圖，在平面直角坐標系中，ABC三個頂點的坐標分別為， ， 設P為y軸上一點，點M先沿y軸到達P點，再沿PA到達A點，若M點在y軸上運動的速度是它在直線P

9、A上運動速度的2倍，試確定P點的位置，使M點按照上述要求到達A點所用的時間最短例3 （2009年湖州中考題）若點P 為ABC所在平面上一點，且APB=BPC=CPA=120°, 則點P叫做ABC的費馬點（1） 若P為銳角ABC的費馬點，且ABC=60°，PA=3，PC=4, 則PB的值為 ；（2）如圖8，在銳角ABC的外側作等邊ACF，連結BF求證：BF過ABC的費馬點P，且BF=PA+PB+PC 例4 ：在ABC中，分別以 AB,BC,CA，為邊向三角形外側做正三角形ABD、ACF、BCE，ABC= 60°，證明：SABC+ SACF= SABD+ SBCE注 通過旋轉變換，可以改變線段的位置，優化圖形的結構在使用這一方法解題時需注意圖形旋轉變換的基