1、多元函數(shù)求極限的一般方法：多元函數(shù)求極限的一般方法： 2）轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限）轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限;4）極坐標(biāo)變換）極坐標(biāo)變換;3）夾逼原理）夾逼原理;無窮小乘以有界變量仍為無窮小無窮小乘以有界變量仍為無窮小重要極限公式重要極限公式無窮小量等價替換等等無窮小量等價替換等等1）定義、連續(xù)性）定義、連續(xù)性;5）極限不存在的判別方法）極限不存在的判別方法.20000000011lim,lim,lim,lim sinxxxxyyyyxxxxyxyxyxy下列極限存在的是（ ）（A）（B）（C）（D）D0,0 ()xyykx沿提示提示（B）（A） （C）20,0(,)xyyx yxx沿極限不存在極限不

2、存在22200sinlimxyxyxy求2222220000sinlimlim,xxyyxyxyxyxy解：22222xyxyyxyxy0 222212xyyxy12y0所以原式02222442200001 cos1 1(1)lim(2)lim(3)limxxxyyyxyxyxyxyxyxy 求下列極限求下列極限解（解（1）22244()2xyxy22442220 xyxyxy2244lim0 xyxyxy2222220001 cos1 coslimlimxytxtyxytxyt（2）。00001 11 11limlim21 1xxyyxyxyxyxyxy (3)2222200lim()xyx

3、 yx yxy 證明極限證明極限 不存在不存在2242224000limlim1()xxyy xx yxx yxyx22422224220000244limlimlim0()441xxxyyxx yxxx yxyxxx解：解：yx沿沿 有有:2yx沿沿 有有:所以極限不存在所以極限不存在. 3322( , )(0,0)( , )(0,0)0( , )(0,0)xyx yf x yxyx y討論函數(shù)在處的連續(xù)性?cos ,sinxryr解解令令3333322200000(cossin)lim( , )limlim0 xxryyxyrf x yxyr00lim( , )(0,0)xyf x yf故

4、函數(shù)故函數(shù)( , )f x y在（在（0,0）連續(xù)）連續(xù).函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)存在函數(shù)偏導(dǎo)存在方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在coscos,ffflxy(cos ,cosl為方向 的方向余弦)( , )zf x y可微時：00( , )(,)zf x yxy判別在處是否可微的方法：0000(,)(,)zf xx yyf x y VV1)00002200(,)(,)limxyxyzfxyxfxyyxy 2)？0coscoscosfffflxyz(cos ,cos,cosl為方向 的方向余弦)( , , )uf x y z可微時：注：注：沿梯度方向方向?qū)?shù)最大，其最

5、大值為梯度的模；沿梯度方向方向?qū)?shù)最大，其最大值為梯度的模； 沿梯度反方向方向?qū)?shù)最小，其最小值為梯度的模的負(fù)值；沿梯度反方向方向?qū)?shù)最小，其最小值為梯度的模的負(fù)值； 沿與梯度垂直方向方向?qū)?shù)為零。沿與梯度垂直方向方向?qū)?shù)為零。1) 定義定義2) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)抽象函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)問題抽象函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)問題3) 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法（記住一元函數(shù)求導(dǎo)的公式和法則）（記住一元函數(shù)求導(dǎo)的公式和法則）4) 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)arctan22( , )ln()yxf x yexy設(shè)設(shè) 求求(1,0)xf ( ,0)2ln

6、 |f xx112ln0( )(1)(1,0)limlim11xxxxf xffxx112ln02limlim21xxxxx提示提示或或20( ,0)2ln( ,0)xxf xxfxx當(dāng)時，(1,0)2xf24( , )xyf x ye已知已知 則（則（ ）(0,0)xf (0,0)yf （B）不存在，不存在， 存在存在（A）(0,0),(0,0)xyff都存在都存在 (0,0)xf (0,0)yf （C）存在存在, 不存在；不存在；（D）(0,0),(0,0)xyff都不存在都不存在 B提示：利用偏導(dǎo)數(shù)定義求提示：利用偏導(dǎo)數(shù)定義求(B)21sin,0( , )0,0 x yxyxyf x y

7、xy(0,1)xf，則，則設(shè)設(shè)（A）0； （B）1；（C）2；（D）不存在。）不存在。提示：利用偏導(dǎo)數(shù)定義求提示：利用偏導(dǎo)數(shù)定義求222222221()sin0( , )00(0,0)(1)(2)(3)xyxyxyf x yxy討論函數(shù)在處是否連續(xù)?偏導(dǎo)數(shù)是否存在?是否可微?(4)偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)?00lim( , )0 xyf x y（無窮小量乘以有界變量仍是無窮小量）（無窮小量乘以有界變量仍是無窮小量）(1)所以在（所以在（0,0）處連續(xù)）處連續(xù)(0,0)f(2)200( ,0)(0,0)1(0,0)limlim sin0 xxxf xffxxx同理同理(0,0)0yf故在故在(0,0)處處

8、 ，兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在。，兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在。解解(0,0)(0,0)xyzfdxfdy (,)(0,0)00fxyfdxdy22221()() sin()()xyxy 00(0,0)(0,0)1limlimsin0 xyzfdxfdy 222222221()sin0( , )00 xyxyxyf x yxy（3）故故( , )f x y在（在（0,0）處可微。）處可微。222222221()sin0( , )00 xyxyxyf x yxy( , )(0,0)x y 222222112 sincoszxxxxyxyxy222222112 sincoszyyyxyxyxy22001lim2 sin

9、0 xyxxy22220001sgn1limcoslimcos22 |xxy xxxxxyxy 不存在不存在 ( , )xfx y 故故 在（在（0,0）處不連續(xù)，）處不連續(xù)，( , )yfx y同樣同樣 在（在（0,0）處也不連續(xù)）處也不連續(xù) （4）),(yxf函數(shù)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)的一切方向的方向?qū)?shù)都存在，則內(nèi)的一切方向的方向?qū)?shù)都存在，則( , )f x y(A) 在在 D 內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在；內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)存在；( , )f x y(B) 在在 D 內(nèi)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)；內(nèi)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)；( , )f x y(C) 在在 D 內(nèi)可微；內(nèi)可微；(D) 各方向?qū)?shù)相等。各方向?qū)?shù)相等。2322

10、41( ,),( ,),f x xxf x xxx22( ,)fx x若若求求22212( ,)2( ,)3f x xxfx xx23( ,)f x xx解解 由由兩邊對兩邊對x求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得 222123( ,)( ,)2xf x xfx xx222( ,)(1)2xfx xx(,sin )zf xy yx設(shè)設(shè)，其中，其中 f 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求22xz22yz，。 12coszff yxx12sinzffxy 21112212222coscos cossinzff yxff yx yxf yxx2211122222coscossinff yxf yxf yx

11、2111221222( 1)sin ( 1)sin sinzffxffxxy 21112222sinsinffxfx解解1fx2(cos )f yxx2122()(cos )zzff yxxxxx設(shè)設(shè)yxu2fyxxyfu),2,(有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，求有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，求 。 12ufyfx21111221221112221(2)2 (2 )2ufy f xff xfx yxyfxy fff 解解20( , )dxytf x yet222222xffyfyxx yxy 設(shè)設(shè)，求，求.22223()3()222, 2,xyxyffxy ex yexy 222()22()2, xyxyfex y

12、ex y 222222xffyfyxx yxy 解解22()(), xyxyffeyexxy22223()()22()3()2242xyxyxyxyxyxy eex y ex yeyx2()2xye 222222ggxyxy求求( )f u( , )( )( )yxg x yfyfxy設(shè)設(shè)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且221( )( )( )( )gyyxyyxfyfffxxxy yxxy211( )( )( )( )( )( )gyxxxxyxxffyffffyxxyyyyxxyy2223412( )( )( )gyyyyxfffxxxxxy y22222231( )( )

13、( )( )gxxyxxxxffffyyyxxyyyy2231( )( )yxxffxxyy2222222( )ggyyxyfxyxx解：解：23( , , )f x y zxy z),(yxzz 22230 xyzxyz(1,1,1)xf 已知已知，其中，其中是由是由所確定的隱函數(shù)，求所確定的隱函數(shù)，求23( , , )f x y zxy z2322( , , )3xxfx y zy zxy z z22230 xyzxyzx方程方程兩邊對兩邊對求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 22330 xxxzzyzxyz3223xyzxzzxy(1,1,1)(1,1,1)32|123xyzxzzxy (1,1,1)2x

14、f 解解),(zyxfu )(xyy )(xzz 0 yexy0 xzezdxdu設(shè)設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，和和分別由方程分別由方程和和所確定，求所確定，求duff dyf dzdxxy dxz dx2()011xyxyxydydydyyeyeyxdxdxdxxexy0zzdzdzdzzzezxdxdxdxexxzx21dufyfzfdxxxyyxzxz解解0 xyey0zexz222(,)0( , )1,1F xyz xyzFzf x yl設(shè)方程，其中 對各變量具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求由此方程所確定的函數(shù)的梯度及在方向上的方向?qū)?shù)。xzFzxF yzFzyF 121222FxFFzF 1

15、21222FyFFzF 解解1212121222222222FxFFyFzlFzFFzF 022(,)22le121212122222FxFFyFgradzijFzFFzF 2222( , )0fff 設(shè)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，試證明函數(shù)1222 ,zfxfyx12( 2 )2zfyfxy 證證 2111122122222 22 2 22 zfx fxfyy fxfyx212122(22)(2 )(2)zfxfyfxfyxxxx2211112222484fx fxyfy f2111122122222 ( 2 )2 2 ( 2 )2 zfy fyfxx fyfxy 2211112222484fy

16、fxyfx f 22xz22zy22221122(44)(44)0fxyfxy同理同理222222(,2)0zzzf xyxyxy也有。1) 平面曲線：平面曲線：2) 空間曲線：空間曲線：( );( , )0( )xx tf x yyy t參數(shù)方程一般方程。( )( , , )0( );( , , )0( )xx tF x y zyy tG x y zzz t參數(shù)方程一般方程 ( ),( )x ty t,xyff1,xyff（法向量（法向量) ( ),( ),( )x ty tz txyzxyzijkTFFFGGGrrru r或或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),

17、(),(或或( )( , , )0( );( , , )0( )xx tF x y zyy tG x y zzz t參數(shù)方程一般方程利用隱函數(shù)求導(dǎo)得到利用隱函數(shù)求導(dǎo)得到1,( ),( )y x z x ( ),1,( )x yz y ( ),( ),1x zy z或或或或=曲面法向量求法：曲面法向量求法：1) 曲面方程：曲面方程：( , )zf x y2) 曲面方程：曲面方程：( , , )0F x y z ,xyzF F F, 1xyff( , , )zF x y z曲面的一個法向量為（ ）(1) (,1),(2) (1,1,1),(3) (,),(4) (,1).xyzxyzxyzxyF

18、F FFFFF F FFF（1）2203215(0, 3, 3)zyxy由曲線繞 軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面在點(diǎn)處的指向外側(cè)的單位法向量為(2223()215xzy230,1313,0,00,03,0,01,xyf x yff設(shè)函數(shù) （）在（）附近有定義，且（）（）則（ ）(A) (0,0)3dzdxdy( , )zf x y(0,0,(0,0)f(3,1,1)(B) 曲面曲面在點(diǎn)在點(diǎn)的法向量為的法向量為( , )0zf x yy(0,0,(0,0)f(1,0,3)(C) 曲線曲線在點(diǎn)在點(diǎn)的切向量為的切向量為(D) 曲線曲線( , )0zf x yy(0,0,(0,0)f(3,0,1)在點(diǎn)在點(diǎn)的

19、切向量為的切向量為0( ,0)xxyzf x( , )0zf x yy化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程提示提示(1,0,(0,0)xf Cxyza(0)a 000(,)xyz0000,0,0 xyz試證曲面試證曲面在任一點(diǎn)在任一點(diǎn)處（其中處（其中的截距之和為常數(shù)的截距之和為常數(shù).）的切平面在三個坐標(biāo)面上）的切平面在三個坐標(biāo)面上000000111()()()0 xxyyzzxyz0001111xyzaxayaz000000()axayazaxyza000(,)xyz曲面上任一點(diǎn)曲面上任一點(diǎn) 處的切平面方程為處的切平面方程為解解故在三個坐標(biāo)軸上的截距之和為：故在三個坐標(biāo)軸上的截距之和為： 02220121

20、(,)1666xyzMxyz求曲線在點(diǎn)處的切線方程。解解010 xxxyzyz方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)22212220 xxxyzxyyzz方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)1xxxxyzyyzzx ,xxzyzyxyxzzy0(1,)(1,0 1)Mxz yxTzy zy切向量u r121666101xyz所求切線方程為xyzxyzijkTFFFGGGrrru r( , , )0( , , )0F x y zG x y z曲線曲線 的切向量可取為：的切向量可取為：2,sinxxyezex(0,1,0)在在處的切線及法平面方程處的切線及法平面方程求曲線求曲線2sinxxxxyezex曲線方程曲線方程2(1, 1,2)(

21、 , )(1, 1)2,(1, 1)2,xyMzf x yffMox n設(shè)為曲面上的一點(diǎn),且求曲面在點(diǎn)處的切平面指向該曲面下側(cè)的法向量 與軸正向的夾角的余弦。(, 2 )(2, 2, 4)xyMffzn提示提示1cos( , )6n i3) 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的最值;4) 應(yīng)用應(yīng)用.1) 多元函數(shù)極值存在的必要條件多元函數(shù)極值存在的必要條件;2) 二元函數(shù)極值存在的充分條件二元函數(shù)極值存在的充分條件;若二元函數(shù)若二元函數(shù) z = f ( x, y ) 在在M0 (x0 , y0)處取得極值，則處取得極值，則00( ,)(, )f x yf xy及在在M0(x0 ,

22、y0)處是否取得極值？處是否取得極值？反之又如何？反之又如何？解答：解答：二元函數(shù)二元函數(shù) z = f ( x, y ) 在在M0 (x0 , y0)處取得極值，那么一元處取得極值，那么一元00( )( ,)( )(, )xf x yyf xy及在在M0(x0 , y0)處必取得極值。處必取得極值。函數(shù)函數(shù)但反之不成立。反例：但反之不成立。反例：例例如如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時，時，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取極大值取極大值;當(dāng)當(dāng)0 y時，時，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取極值不取極值.( ,

23、)zf x ydzxdxydy(0,0)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的全微分為的全微分為，則點(diǎn)，則點(diǎn)( , )f x y(A)不是不是 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn);( , )f x y(B)不是不是 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn);( , )f x y (B)是是 的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn);( , )f x y(D)是是 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn).提示：由提示：由dzxdxydy,ffxyxy(0,0)0,(0,0)0 xyff且2222221,1,0ffffxyx yy x 22200( , )lim1()xyf x yxyxy( , )f x y(0,0)已知函數(shù)已知函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且(0,0)( , )f x y則點(diǎn)則點(diǎn)是否是是否是的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) 解解22200( , )lim1()xyf x yxyxy由22200( , )1(lim0)()xyf x yxyxy 222222( , )()()f x yxyxyxy222( , )(),f x yxyxyxy充分小(0,0)0)f 因?yàn)槁匀サ氖且驗(yàn)槁匀サ氖?的高階無窮小，當(dāng)?shù)母唠A無窮小，當(dāng) 充分小時充分小時它的值對它的值對