1、4.1若統計若統計100天天, 例例1 某車間對工人的生產情況進行考察某車間對工人的生產情況進行考察. 車工車工小張每天生產的廢品數小張每天生產的廢品數X是一個隨機變量是一個隨機變量. 如如何定義何定義X的平均值呢？的平均值呢？32天沒有出廢品天沒有出廢品;30天每天出一件廢品天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品天每天出三件廢品;27. 1100213100172100301100320可以得到這可以得到這100天中天中 每天的平均廢品數為每天的平均廢品數為設設X是離散型隨機變量，它的分布律是是離散型隨機變量，它的分布律是: 1kkkpx如果級數如果級數

2、絕對收斂絕對收斂,則稱則稱1)(kkkpxXE一一.離散型隨機變量的數學期望離散型隨機變量的數學期望,.2 , 1,)(kpxXPkk為為X的的數學期望數學期望.例例2 某人的一串鑰匙上有某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次后若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數的數學期望除去，求打開門時試開次數的數學期望.解解: 設試開次數為設試開次數為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,nE(X) nknk112)1 (1nnn21n于是于

3、是例例3. 某射手連續向一目標射擊，直到命中某射手連續向一目標射擊，直到命中 為止，設他每發命中的概率是為止，設他每發命中的概率是p，求，求平平 均射擊次數。均射擊次數。,.,2 , 1, 1,)(1kqppqkXPk1111112()()111(1)kkkkkkkkE Xkpqpkqqpqpqpqpqp 1111112()()111(1)kkkkkkkkE Xkpqpkqqpqpqpqpqp 1111112()()111(1)kkkkkkkkE Xkpqpkqqpqpqpqpqp 解解:例例4. 設隨機變量設隨機變量XP()，其分布律為，其分布律為,.,2 , 1 , 0,!)(kkekXP

4、k求數學期望求數學期望E(X). 解解:1010()!(1)!kkkkkkE Xkeeee ekkk1010()!(1)!kkkkkkE Xkeeee ekkk例例5. 設設X的概率分布為：的概率分布為： ,.,2 , 1 , 0,!)(kkABkXPk若已知若已知E(X)=a,求常數求常數A,B. 000-()1!kkkBkkBP XkBBAAAkkA e =e000-()1!kkkBkkBP XkBBAAAkkA e =e000-()1!kkkBkkBP XkBBAAAkkA e =e解解:1010()!(1)!,kkkkkBBBkaABBaE XkABkkBABABeeBeBkBa Ae

5、 1010()!(1)!,kkkkkBBBkaABBaE XkABkkBABABeeBeBkBa Ae 1010()!(1)!,kkkkkBBBkaABBaE XkABkkBABABeeBeBkBa Ae 例例6. 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為,.,2 , 1,21)2) 1(1kkXPkkk求數學期望求數學期望E(X). 解解:111|kkkkx pk 所以所以X的數學期望不存在。的數學期望不存在。的數學期望。分布，求商店一臺收費的指數服從參數為設壽命元一臺付款元一臺付款元一臺付款元一臺付款以年計），規定：記使用壽命為的方式，銷售采用先使用后付款器的：某商店對某種家用電例YXX

6、XXXX0.13000, 32500, 322000, 211500, 1(7設設X是連續型隨機變量，其密度函數為是連續型隨機變量，其密度函數為 f (x),如果如果dxxfx)(絕對收斂絕對收斂,則定義則定義X的的數學期望數學期望為為dxxfxXE)()(二二.連續型隨機變量的數學期望連續型隨機變量的數學期望例例8. 設設X的概率密度如下，求的概率密度如下，求E(X).110( )1010 xxf xxx 其它 解解:011001232310()( )(1)(1)1111()()2323111102323E Xxf x dxxx dxxx dxxxxx 011001232310()( )(1

7、)(1)1111()()2323111102323E Xxf x dxxx dxxx dxxxxx 011001232310()( )(1)(1)1111()()2323111102323E Xxf x dxxx dxxx dxxxxx 例例9. 設設X N(,2), 求求E(X).解解:011001232310()( )(1)(1)1111()()2323111102323E Xxf x dxxx dxxx dxxxxx dxexx222)(21yx令dyeyy22)(21dyedyeyyy222222 0例例10. 設設XN(0,1)，求，求E(|X|).解解:dxxfxXE)()(dxe

8、xx222102222dxxex02222xe2設設Y是隨機變量是隨機變量X的連續函數，的連續函數，Y=g(X)，則，則連續型離散型XdxxfxgXpxgXgEYEkkk,)()(,)()()(1當當X為離散型時，為離散型時，P(X= xk)=pk ;當當X為連續型時，為連續型時，X的密度函數為的密度函數為f (x).三三.隨機變量函數的數學期望隨機變量函數的數學期望例例11. 設設X的分布律如下，試求的分布律如下，試求Y=2X2的數的數學學 期望。期望。 X102P0.40.30.3例例12. 已知風速已知風速XU(0,a),又設飛機機翼所又設飛機機翼所受的正壓力受的正壓力Y是是X的函數的函

9、數Y=kX2(k0),求求E(Y). 203201( )( ) ( )133aaE Yg x f x dxkxdxak xkaa 解解:203201( )( ) ( )133aaE Yg x f x dxkxdxak xkaa 203201( )( ) ( )133aaE Yg x f x dxkxdxak xkaa 設設(X,Y)是二維隨機變量，是二維隨機變量，Z=g(X,Y)，則，則 連續型離散型),( ,),(),(),( ,),()(YXdydxyxfyxgYXpyxgZEijijji四四.二維二維隨機變量函數的數學期望隨機變量函數的數學期望YX010 21/4 1/21/4 0例例1

10、3. 設設(X,Y)聯合概率分布為：聯合概率分布為：求求E(X2Y-1).)1(),(01,123),(),(1423XYEYExxyxyxyxfYX求，其他的概率密度為：設例例例15. 若若XN(0,1),YN(0,1)，X與與Y獨立。獨立。.22YXE求解解:2221( , ),(,)2xyf x yexy dydxeyxYXEyx222222221 2002221drdrerr0202222rrrdedrer22020222drererr五五.數學期望的性質數學期望的性質1. E(aX+b)=aE(X)+b; 2. E(X+Y) = E(X)+E(Y);niiniiXEXE11)(3.

11、設設X、Y相互獨立，則相互獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);niiiniiiXEaXaE11)(E(aX)=aE(X) E(b)=b 例16.設X,Y相互獨立,其概率密度為其它05)()5(yeyfyY其它0 1 , 0(2)(xxxfX)(XYE求例17.設X的概率密度為000)(2xxcxexfx求E(2X+1)例例18. 求隨機變量求隨機變量XB(n,p)的數學期望。的數學期望。 解解:令令X1,X2,Xn獨立，均服從獨立，均服從B(1,p),則則12nXXXX( ,)B n p11()()()niiE XEXnE Xnp例例19. 將將n個球放入個球放入M個盒子中，設每個球落個盒

12、子中，設每個球落 入各個盒子是等可能的，求有球的盒入各個盒子是等可能的，求有球的盒 子數子數X的數學期望。的數學期望。 解解:1(1, 2,)0iiXiMi第 個盒子中有球第 個盒子中無球 12MXXXX11(0)(1) ,(1)1(1)(1, 2,)nniiP XP XiMMM 11(0)(1) ,(1)1(1)(1, 2,)nniiP XP XiMMM 11(0)(1) ,(1)1(1)(1, 2,)nniiP XP XiMMM 1()1(1)(1, 2,),niE XiMM , 11()()(1 (1) )MniiE XE XMM例例20.設一電路中電流設一電路中電流I與電阻與電阻R是相

13、互獨立是相互獨立 的兩個隨機變量，其概率密度分別為的兩個隨機變量，其概率密度分別為求電壓求電壓U=IR的平均值。的平均值。23,01( )0,Ixxfx其他,02( )20,Rxxfx其他解：解：E(U)=E(IR)=E(I)E(R)=212300312xx dxdx 4.2 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現用甲、，現用甲、乙兩臺儀器各測量乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果次，將測量結果X用坐用坐標上的點表示如圖：標上的點表示如圖： 若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器的優劣，你認為哪臺儀器好一些呢？劣，你認為哪臺儀器好一些呢？a 乙儀器測

14、量結果乙儀器測量結果 a甲儀器測量結果甲儀器測量結果較好較好測量結果的測量結果的均值都是均值都是 a因為乙儀器的測量結果集中在均值附近因為乙儀器的測量結果集中在均值附近又如又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發炮發炮彈，其落點距目標的位置如圖：彈，其落點距目標的位置如圖：你認為哪門炮射擊效果好一些呢你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 .中心中心中心中心D(X)=E(X2)-E(X)2連續型離散型XdxxfXExXpXExXEXEXDkkk,)()(,

15、)()()(2122一一.方差的定義方差的定義例例1. 已知隨機變量已知隨機變量X的分布列為的分布列為求求X的方差和標準差。的方差和標準差。X2 3 4Pk0.3 0.4 0.32222()20.33 0.440.33()20.330.440.39.6E XE X 2222()20.33 0.440.33()20.330.440.39.6E XE X 222()()( ()9.630.6D XE XE X()()0.60.7746XD X解解:例例2.2. 設隨機變量設隨機變量X X的概率密度為的概率密度為101011)(xxxxxf求求D D（X X）0)1 ()1 ()(1001dxxxd

16、xxxXE解：61)1 ()1 ()(1020122dxxxdxxxXE61)(XD例例3. 已知隨機變量已知隨機變量X的分布函數如下的分布函數如下,求求D(X)。011( )arcsin1211xF xxxx 1+ -1 解解:2111()( )10 xf XF xx 其它 11112211221122212020222200()( )01()( )122sinsincos11sin221sin(1cos2 )22 111(sin2 ) 22220 xE Xxf x dxdxxxE Xx f x dxdxxxdx xdxdd 11112211221122212020222200()( )01

17、()( )122sinsincos11sin221sin(1cos2 )22 111(sin2 ) 22220 xE Xxf x dxdxxxE Xx f x dxdxxxdx xdxdd 221()()( ()2D XE XE X11112211221122212020222200()( )01()( )122sinsincos11sin221sin(1cos2 )22 111(sin2 ) 22220 xE Xxf x dxdxxxE Xx f x dxdxxxdx xdxdd 11112211221122212020222200()( )01()( )122sinsincos11sin2

18、21sin(1cos2 )22 111(sin2 ) 22220 xE Xxf x dxdxxxE Xx f x dxdxxxdx xdxdd 11112211221122212020222200()( )01()( )122sinsincos11sin221sin(1cos2 )22 111(sin2 ) 22220 xE Xxf x dxdxxxE Xx f x dxdxxxdx xdxdd 11112211221122212020222200()( )01()( )122sinsincos11sin221sin(1cos2 )22 111(sin2 ) 22220 xE Xxf x dx

19、dxxxE Xx f x dxdxxxdx xdxdd 二二.方差的性質方差的性質1. D(aX+b)=a2D(X) ; D(aX)=a2D(X) D(b)=0 D(-X)= D(X) 例例4. 已知已知E(X)=2，E(X2)=6,求求D(1-3X)。解解:22()() ()642D XE XE X(1 3)9()9218DXD Xl方差的性質方差的性質2. 若若X、Y相互獨立相互獨立,D(X+Y) = D(X)+D(Y);)()()(,22YDbXDabYaXDYX相互獨立若niiniiinXDaXaDXXXi12121)(,.,相互獨立若)()()(,YDXDYXDYX相互獨立若一般地，

20、一般地，D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y)例例5. 設設( (X, ,Y) )的聯合概率密度為的聯合概率密度為 2-2e0,0( , )0 xyxyxyf x y其它 (1) 試求試求X、Y的邊緣密度，并問的邊緣密度，并問X與與Y 是否相互獨立？是否相互獨立？(2) 求求E(2X+3Y), D(2X+3Y).例6.設X的概率密度為101)1 (2)(2xxxxf)2(),3(sinXDXE求設隨機變量設隨機變量X有數學期望有數學期望和方差和方差2，則對，則對于任給于任給0,有有22|XP三三.定理定理切比雪夫不等式切比雪夫不等式221|XP即推論：推論：D(X)=0

21、 P(X=E(X)=12222222()()( )( )1()()( )xxxP Xf x dxf x dxD XxE Xf x dx 證證:2222222()()( )( )1()()( )xxxP Xf x dxf x dxD XxE Xf x dx 2222222()()( )( )1()()( )xxxP Xf x dxf x dxD XxE Xf x dx 2222222()()( )( )1()()( )xxxP Xf x dxf x dxD XxE Xf x dx 例例7. 設設X為隨機變量為隨機變量,已知已知E(X)=, D(X)=2 ,試用試用切比雪夫不等式估計切比雪夫不等式

22、估計 P(|X-|3).解解:222()1(3 )0.111(3 )99D XP X222()1(3 )0.111(3 )99D XP XnkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(. 1 , 0,)1 ()(1kppkXPkk, 1 , 0,!)(kkekXPk)1 (ppp)1 (pnpnp21pqp,.2 , 1,)1 ()(1kppkXPk其它0)(1bxaxfabxexfx,21)(222)(其它00)(xexfx212)(22abba211X的標準化隨機變量的標準化隨機變量*()()XE XXD XE(X*)=0, D(X*)=1E(Xk)X的的k階階原點矩原點矩E(X-

23、E(X)kX的的k階階中心矩中心矩E(X)X的的1階階原點矩原點矩D(X) X的的2階階中心矩中心矩4.3數學期望數學期望 方方 差差 單個變量的數字特征單個變量的數字特征 多個變量間聯系的數字特征多個變量間聯系的數字特征 協協 方方 差差 相關系數相關系數 設設(X,Y)為二維隨機變量，若為二維隨機變量，若E X-E(X)Y-E(Y) 存在，則稱其為存在，則稱其為X和和Y的的協方差協方差，記為，記為cov(X,Y)。 一一.協協方差方差 cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y) cov(X,Y)= cov(Y,X) cov(aX,bY) = ab cov(X,Y

24、) a,b是常數是常數二二.協協方差的性質方差的性質(4) D(XY)= D(X) + D(Y)2cov(X,Y)例例1 1 設隨機變量設隨機變量X X B B（12,0.5),Y 12,0.5),Y N(0,1),N(0,1),COV(X,Y)=-1,COV(X,Y)=-1,求求V=4X+3YV=4X+3Y與與W=-2X+4YW=-2X+4Y的方差與協方差的方差與協方差解解:例例2. 設設D(X+Y)=10,D(X)=5,D(Y)=3，求，求 cov(2X,3Y).()()( )2cov(, )532cov(, )10D XYD XD YX YX Y ()()( )2cov(, )532co

25、v(, )10D XYD XD YX YX Y cov(, )1X Y cov(2,3 )6cov(, )6XYX Y解解:例例3. 設設(X,Y)的聯合分布列如下的聯合分布列如下,求求cov(2X,3Y). YX-10101/81/41/811/41/81/8()0 1/ 21 1/ 21/ 2E X ( )1 3/80 3/8 1 2/81/8E Y ()1 1/ 41 1/81/8E XY 1113cov(2,3 )6 cov(, )6 8288XYX Y 為隨機變量為隨機變量X和和Y的的相關系數相關系數設設D(X)0, D(Y)0,稱稱)()()()()()(),cov(YDYEYXD

26、XEXEYDXDYXXY三三.相關系數相關系數)()()()(YDYEYXDXEXEXY)(YXE)()()(YEXEYXE),cov(YXYX不相關與YXXY, 0負相關與YXXY, 0正相關與YXXY, 0例例4 設設(X,Y)服從區域服從區域D:0 x1,0y0時，時， Y有隨著有隨著X增加而增加而增大的趨勢；當增大的趨勢；當XY 0時，時， Y有隨著有隨著X增加增加而減小的趨勢而減小的趨勢.例例6 設設X服從服從(-1/2, 1/2)內的均勻分布內的均勻分布,而而Y=cos X,（請課下自行驗證）（請課下自行驗證）因而因而 =0， 即即X和和Y不相關不相關 .但但Y與與X有嚴格的函數關

27、系，有嚴格的函數關系，即即X和和Y不獨立不獨立 .不難求得，不難求得，Cov(X,Y)=0，隨機變量隨機變量不相關不相關只說明兩個隨機變量之只說明兩個隨機變量之間沒有線性關系，但還可能有某種別的間沒有線性關系，但還可能有某種別的函數關系；函數關系；隨機變量隨機變量相互獨立相互獨立說明兩個隨機變量之說明兩個隨機變量之間沒有任何關系，既無線性關系，也無間沒有任何關系，既無線性關系，也無非線性關系。非線性關系。所以所以相互獨立相互獨立必然必然不相關不相關，反之不一定，反之不一定成立。成立。相互獨立相互獨立和和不相關不相關解解:例例7. 設設(X,Y)的聯合分布列如下的聯合分布列如下,試討論試討論X與與Y 的相關性和獨立性。的相關性和獨立性。 YX-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8323()1010888E X 323( )1010888E Y 1111()000008888E XY cov(, )()() ( )0X YE XYE X E Y例例8. (X,Y) N(1 ,2,12,22,) ，XY