1、第三章第三章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)1一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析2二階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算5線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法引引 言言自動(dòng)控制系統(tǒng)好？差自動(dòng)控制系統(tǒng)好？差? ?系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析典型的輸入信號典型的輸入信號時(shí)域性能指標(biāo)時(shí)域性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)指標(biāo)穩(wěn)定性穩(wěn)定性時(shí)域分析時(shí)域分析復(fù)域分析復(fù)域分析頻域分析頻域分析單位脈沖單位脈沖階躍階躍斜坡斜坡正余弦正余弦( )( )( )C ssR s

2、( )( ) ( )C ss R s 1( )( ) ( )c tLs R s時(shí)域分析方法時(shí)域分析方法 求解過程：求解過程： 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、準(zhǔn)確直觀、準(zhǔn)確n 定義：定義： 輸入某一信號，輸入某一信號，在在時(shí)域中時(shí)域中研究分析系統(tǒng)研究分析系統(tǒng)的輸出。的輸出。 根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的根據(jù)輸出量的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)：繁瑣繁瑣 工程應(yīng)用中常用的輸入信號工程應(yīng)用中常用的輸入信號階躍函數(shù)階躍函數(shù)斜坡斜坡(速度速度)函數(shù)函數(shù)加速度加速度(拋物線拋物線)函數(shù)函數(shù)正（余）弦函數(shù)正（余）弦函數(shù)脈腫函數(shù)脈腫函數(shù)1、典型輸入信號、典

3、型輸入信號一、系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)一、系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)階躍函數(shù)階躍函數(shù)0( )00Rtr ttR 常數(shù)單位階躍函數(shù)：R1，記做1(t)。stL1)( 1 斜坡函數(shù)（勻速函數(shù)）斜坡函數(shù)（勻速函數(shù)）0( )00Rttr tt單位斜坡函數(shù)：單位斜坡函數(shù)：R1 R 常數(shù)( )r tt21stL 勻加速函數(shù)（加速度函數(shù)）勻加速函數(shù)（加速度函數(shù)）20( )00Rttr ttR 常數(shù)32121stL單位勻加速函數(shù)：單位勻加速函數(shù)：R1/2 正弦函數(shù)正弦函數(shù)( )sin()r tAtA 振幅 角頻率初相單位正弦函數(shù)：單位正弦函數(shù)：A1 22sinstLt01tsin22cossstL 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)00(

4、)0ttt00,( )10htththth 理想脈沖函數(shù)：理想脈沖函數(shù)：實(shí)際脈沖數(shù)：實(shí)際脈沖數(shù)：1)(tL 如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸如果控制系統(tǒng)的實(shí)際輸入大部分是隨時(shí)間逐漸 增加的信號，則選用增加的信號，則選用斜坡函數(shù)。斜坡函數(shù)。 如果是工作在艦船上的一類控制系統(tǒng)經(jīng)常受到如果是工作在艦船上的一類控制系統(tǒng)經(jīng)常受到海浪的干擾，由于海浪的特性接近正弦，則選海浪的干擾，由于海浪的特性接近正弦，則選取取正弦函數(shù)正弦函數(shù)。 如果作用到系統(tǒng)輸入端的信號具有突變性質(zhì)的，如果作用到系統(tǒng)輸入端的信號具有突變性質(zhì)的，則選用則選用階躍函數(shù)。階躍函數(shù)。典型輸入信號的選取典型輸入信號的選取2、動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)

5、態(tài)過程、動(dòng)態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程 系統(tǒng)的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)時(shí)間響應(yīng)由由動(dòng)態(tài)過程動(dòng)態(tài)過程和和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。兩部分組成。 動(dòng)態(tài)過程：動(dòng)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。又稱過渡過出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。又稱過渡過程、瞬態(tài)過程。程、瞬態(tài)過程。 穩(wěn)態(tài)過程：穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時(shí)間指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式,又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度。 性能指標(biāo)性

6、能指標(biāo)分為分為動(dòng)態(tài)性能動(dòng)態(tài)性能和和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能。穩(wěn)定的隨動(dòng)系統(tǒng)（不計(jì)擾動(dòng)）的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)定的隨動(dòng)系統(tǒng)（不計(jì)擾動(dòng)）的單位階躍響應(yīng)函數(shù)有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種。函數(shù)有衰減振蕩和單調(diào)變化兩種。2.1 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間過程隨時(shí)間 t 的變化狀況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)的變化狀況的指標(biāo)，稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。性能指標(biāo)。 延遲時(shí)間延遲時(shí)間td： 響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需時(shí)間響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值一半所需時(shí)間誤差帶誤差帶 h(t)td0h()t穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(t)0.5h()衰減振蕩衰減振蕩 上升時(shí)間上升

7、時(shí)間tr：誤差帶誤差帶tr h(t)0h()t穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(t)0.1h()0.9h() 響應(yīng)從終值響應(yīng)從終值10%10%上升到終值上升到終值90%90%所需時(shí)間；對有振蕩系統(tǒng)亦所需時(shí)間；對有振蕩系統(tǒng)亦可定義為響應(yīng)從零到第一次上升到終值所需時(shí)間。上升時(shí)可定義為響應(yīng)從零到第一次上升到終值所需時(shí)間。上升時(shí)間是響應(yīng)速度的度量。間是響應(yīng)速度的度量。誤差帶誤差帶 h(t) tp0h()t穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(t)0.1h() 峰值時(shí)間峰值時(shí)間t tp p： 響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需時(shí)間。 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts： 響應(yīng)到達(dá)并保持在終值響應(yīng)到達(dá)并保持在終值 5%

8、(5%(2%)2%) 內(nèi)所需內(nèi)所需 時(shí)間。時(shí)間。 誤差帶誤差帶 h(t)0h() tst穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(t) 超調(diào)量超調(diào)量 %：%100)()()(% hhthp 誤差帶誤差帶 h(t) tp0h()t穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差(t)超調(diào)量超調(diào)量響應(yīng)的最大偏離量響應(yīng)的最大偏離量h(h(t tp p) )與與終值終值h()h()之差的百分比，之差的百分比，上述五項(xiàng)性能指標(biāo)基本上可以反映系統(tǒng)的動(dòng)上述五項(xiàng)性能指標(biāo)基本上可以反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程的特征。常用態(tài)過程的特征。常用上升時(shí)間上升時(shí)間tr或或峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；用超調(diào)量超調(diào)量 評價(jià)系評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度；統(tǒng)的阻尼程度

9、；調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts則同時(shí)反映出系則同時(shí)反映出系統(tǒng)的阻尼程度和響應(yīng)速度的綜合指標(biāo)。統(tǒng)的阻尼程度和響應(yīng)速度的綜合指標(biāo)。 單調(diào)變化單調(diào)變化單調(diào)變化響應(yīng)曲線如圖所示：這種系統(tǒng)就無需采用峰值時(shí)間和超調(diào)量這兩個(gè)指標(biāo)。此時(shí)最常用的是調(diào)節(jié)時(shí)間這一指標(biāo)來表示瞬態(tài)過程的快速性。有時(shí)也采用上升時(shí)間這一指標(biāo)。y)(y2)(yttstd)(05. 0y)(02. 0y或或tr穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計(jì)算。度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于若時(shí)間趨

10、于無窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 ess。2.2 穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能ess=被控量的期望值被控量的期望值-被控量的實(shí)際值被控量的實(shí)際值從輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。從輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差從輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。從輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。ess=r()-b()如果反饋通道傳遞函數(shù)為如果反饋通道傳遞函數(shù)為1，則系統(tǒng)的，則系統(tǒng)的輸入就是被控量的期望值輸入就是被控量的期望值R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) - -B(s)系統(tǒng)應(yīng)該是穩(wěn)定的；系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤 差的要求；

11、系統(tǒng)在瞬態(tài)過程中應(yīng)有好的快速性。 簡稱為：穩(wěn)、準(zhǔn)、快穩(wěn)、準(zhǔn)、快對一個(gè)控制系統(tǒng)的要求對一個(gè)控制系統(tǒng)的要求二、二、 一階系統(tǒng)的時(shí)域分析一階系統(tǒng)的時(shí)域分析1、一階系統(tǒng)、一階系統(tǒng)T時(shí)間常數(shù)，代表系統(tǒng)慣性。時(shí)間常數(shù)，代表系統(tǒng)慣性。)()()(tutudttduCRrcc ( )11( )11crUsUsR C sTsR(s)C(s)E(s)(- -)1/Ts傳遞函數(shù)傳遞函數(shù):結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖 ：微分方程：微分方程： 一般地，把微分方程為一般地，把微分方程為 傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 的系統(tǒng)叫做一階系統(tǒng)。的系統(tǒng)叫做一階系統(tǒng)。 )()()(trtcdttdcT ( )1( )( )1C ssR sTs 單位階躍響應(yīng)

12、單位階躍響應(yīng)( )1( )r tt輸入 ，求系統(tǒng)的響應(yīng)過程c(t) 11( )( ) ( )1C ss R sTss 110tTc tLC set AT斜率1/T 單位階躍響應(yīng)曲線單位階躍響應(yīng)曲線 t=0時(shí) c(0)=0;特殊值：特殊值： t= 時(shí) c()=1; t=T時(shí)，c(T)=1e-1=0.632【說明說明】 當(dāng)時(shí)間由t=0過了一個(gè)時(shí)間常數(shù)T后，系統(tǒng)輸出已達(dá)到響應(yīng)過程總變化量的63.2。【應(yīng)用應(yīng)用】 用實(shí)驗(yàn)方法測定一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。 h(t)0.6320.8650.950.982初始斜率為初始斜率為1/T h(t)=1-e-t/T0 tT2T3T4T1 單位階躍響應(yīng)曲線斜率斜率(2)

13、如果系統(tǒng)一直保持速度如果系統(tǒng)一直保持速度1T不變，則在不變，則在t=0T時(shí)間里響應(yīng)過程可以完成總變化量，時(shí)間里響應(yīng)過程可以完成總變化量，C(T)=1； 【說明說明】：(1) 當(dāng)當(dāng) t=0，斜率，斜率1/T； 1tTeTdc tdt(3) 斜率隨著時(shí)間增加而單調(diào)下降；斜率隨著時(shí)間增加而單調(diào)下降； 單位階躍響應(yīng)完成全部變化量所需的時(shí)間單位階躍響應(yīng)完成全部變化量所需的時(shí)間為無限長，即有為無限長，即有c(t)|t=l 10.368t TTdc tdt 0t dc tdt調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts t3T時(shí), C()-C(t)/ C()4T時(shí)，C()-C(t)/ C()98%； 如果要求誤差不超過2，則 ts

14、=4T時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T（反映系統(tǒng)的慣性）（反映系統(tǒng)的慣性）T越小，慣性小，響應(yīng)過程進(jìn)行的越快；越小，慣性小，響應(yīng)過程進(jìn)行的越快；T越大，慣性大，響應(yīng)過程進(jìn)行的越慢；越大，慣性大，響應(yīng)過程進(jìn)行的越慢；求取一階系統(tǒng)的傳函求取一階系統(tǒng)的傳函求求 Ta) 階躍響應(yīng)的階躍響應(yīng)的0.632 對應(yīng)的對應(yīng)的Tb) t=0處的斜率處的斜率=1/T 【方法方法】： s1 R(s) C(s) K - + c(t) 1(t) t 0 K=1 K=4 1 2 3 4 例:一階系統(tǒng)如圖所示，K=1，計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí) ts 。如果要實(shí)現(xiàn)ts1秒，確定前置放大器增益K 。解：ts1秒K=411444sKtTsK11333sKtT

15、sK 2、單位脈沖響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)11( )( ) ( )11TC ss R sTssT 一階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為： 11101tTTc tLetTsT( )( ) ,( ) 1r ttR s輸入 單位脈沖響應(yīng)曲線單位脈沖響應(yīng)曲線 01tc tT 201Tt dc tdt T10.386Ttc t 0tc t 0tdc tdt 2T10.386Tt dc tdt1/TT0.3681/T斜率1/T2 一單調(diào)下降的指數(shù)曲線；一單調(diào)下降的指數(shù)曲線； ts4T，此時(shí)，誤差不超過，此時(shí)，誤差不超過2 T越小，慣性小，響應(yīng)過程的持續(xù)時(shí)間短，越小，慣性小，響應(yīng)過程的持續(xù)時(shí)間短， 快速性好；快速性好； 實(shí)際脈沖

16、信號，近似以具有一定寬度和有限實(shí)際脈沖信號，近似以具有一定寬度和有限幅值的實(shí)際脈沖代替理想脈沖，要求：幅值的實(shí)際脈沖代替理想脈沖，要求：h輸出也是輸出也是導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系關(guān)系輸入輸入積分積分關(guān)系關(guān)系輸出也是輸出也是積分積分關(guān)系關(guān)系例:已知某單位反饋系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為求: (1)閉環(huán)傳遞函數(shù) (2)單位脈沖響應(yīng) (3)開環(huán)傳遞函數(shù)ateth1)(例：已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右。其中：12 . 010)(ssGHKK ,0加上 環(huán)節(jié)，使 減小為原來的0.1倍，且總放大倍數(shù)不變。求:stHKK ,0三、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析三、二階系統(tǒng)的時(shí)域分析1、二階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)( )(1)KG ss Ts2( )( )1(

17、 )G sKsG sTssK T時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) K開環(huán)增益開環(huán)增益開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)。定義：由二階微分方程描述的系統(tǒng)。轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式：轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)形式：22221( )2KnTKnnTTsssssnKT無阻尼自振角頻率；無阻尼自振角頻率；12 TK相對阻尼系數(shù)（或阻尼比）。相對阻尼系數(shù)（或阻尼比）。特征方程式：特征方程式：2220nnss兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)：兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)：21 21nns ，s平面 1js1s20 =1s1s20 1s1s2 =0s2s1 0 變化率變化率0； t= 變化率變化率0；最后響應(yīng)趨于常數(shù)；最后響應(yīng)趨于常數(shù)

18、13、與過阻尼情況形狀差不多，無超調(diào)量。、與過阻尼情況形狀差不多，無超調(diào)量。l 過阻尼過阻尼1特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根分布位置：負(fù)實(shí)軸上211nns 221nns s平面 1js1s20122221( )( ) ( )(1)(1)nnnnnTTC ss R ssss 212()()ns sTsT單位階躍響應(yīng)：單位階躍響應(yīng)：01A 1221021(1)A2221021(1)A ， 式中：01212AAAssTsT121012( ) ( )TtT tc tLC sAAeA e1221021(1)A2221021(1)A 211nnT221nnT12TT12AA系統(tǒng)響應(yīng)由三部分組成。系統(tǒng)響應(yīng)由三

19、部分組成。【討論討論】1. c(t)由三項(xiàng)組成，其中有兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)；2. 當(dāng) ，122( )1T tC tA e 因此，衰減指項(xiàng) 將比 衰減的快得多，也就是響應(yīng)主要由 決定，忽略由S1決定的衰減指數(shù)項(xiàng) 將二階系統(tǒng)可以近似為一階系統(tǒng)11T tAe22T tA e11T tAe22T tA e211nns 221nns s1將比s2距離虛軸遠(yuǎn)的多12TT12AA2051015202500.10.20.30.40.50.60.70.80.9112sys=tf(1,1 2 1);%kesai=1y1,t1=step(sys);sys=tf(1,1 4 1);%kesai=2y2,t2=step(sy

20、s);figureplot(t1,y1,t2,y2)二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)：l 負(fù)阻尼負(fù)阻尼10 特征方程的兩個(gè)根為具有正實(shí)部的共軛復(fù)根：特征方程的兩個(gè)根為具有正實(shí)部的共軛復(fù)根：21,21nnsj 21sin01ntdec ttt 2211,0dnarctg式中：式中：2、單位階躍響應(yīng)具有發(fā)散正弦振蕩的形式。、單位階躍響應(yīng)具有發(fā)散正弦振蕩的形式。【討論討論】位置：位置：S平面右半部平面右半部1、系統(tǒng)響應(yīng)與欠阻尼相同，但由于阻尼比、系統(tǒng)響應(yīng)與欠阻尼相同，但由于阻尼比 為負(fù)，為負(fù)， 因此指數(shù)因子因此指數(shù)因子 具有正的冪指數(shù)。具有正的冪指數(shù)。nte =1，響應(yīng)呈單調(diào)上升的特性，響應(yīng)呈單調(diào)上升的特性， 越小

21、，上升時(shí)越小，上升時(shí)間越快。間越快。2、0 1，響應(yīng)是衰減的正弦振蕩過程，響應(yīng)是衰減的正弦振蕩過程， 越小，越小， 振蕩特性加強(qiáng)；當(dāng)振蕩特性加強(qiáng)；當(dāng) 0時(shí)，響應(yīng)呈現(xiàn)等幅振蕩；時(shí)，響應(yīng)呈現(xiàn)等幅振蕩； 當(dāng)當(dāng) 0時(shí)，響應(yīng)呈現(xiàn)發(fā)散振蕩。時(shí)，響應(yīng)呈現(xiàn)發(fā)散振蕩。 合適的工作狀態(tài)：合適的工作狀態(tài)：一般希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻一般希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)，因?yàn)樵谶@種狀態(tài)下將獲得一個(gè)振蕩特性適度、尼狀態(tài)，因?yàn)樵谶@種狀態(tài)下將獲得一個(gè)振蕩特性適度、調(diào)整時(shí)間較短的響應(yīng)過程。調(diào)整時(shí)間較短的響應(yīng)過程。 3、在欠阻尼響應(yīng)中，當(dāng)、在欠阻尼響應(yīng)中，當(dāng) 0.40.8 時(shí)，響應(yīng)過程時(shí)，響應(yīng)過程不僅具有較不僅具有較 1時(shí)更短的

22、調(diào)整時(shí)間，而且振蕩特性時(shí)更短的調(diào)整時(shí)間，而且振蕩特性也并不嚴(yán)重。也并不嚴(yán)重。 2、二階系統(tǒng)欠阻尼響應(yīng)過程分析、二階系統(tǒng)欠阻尼響應(yīng)過程分析評價(jià)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)評價(jià)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo) 上升時(shí)間上升時(shí)間tr單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)c(t)第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值第一次達(dá)到其穩(wěn)態(tài)值c()1所需時(shí)間所需時(shí)間 峰值時(shí)間峰值時(shí)間tp單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)c(t)達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間達(dá)到第一個(gè)峰值所需的時(shí)間p 超調(diào)量超調(diào)量 100%ppc tcc 調(diào)整時(shí)間調(diào)整時(shí)間ts單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)c(t)進(jìn)行到使下式成立所需的時(shí)間進(jìn)行到使下式成立所需的時(shí)間 rc tcctt 一般取0.020.05。【討論討論】1

23、、評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度：用、評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度：用tr(或或tp)，其值小，其值小， 響應(yīng)速度快。響應(yīng)速度快。2、評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程：用、評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程：用 ，其值小，阻，其值小，阻 尼特性強(qiáng)。尼特性強(qiáng)。p3、 ts則是同時(shí)反映響應(yīng)速度與阻尼程度的綜合則是同時(shí)反映響應(yīng)速度與阻尼程度的綜合 性指標(biāo)。性指標(biāo)。3、性能指標(biāo)計(jì)算、性能指標(biāo)計(jì)算 上升時(shí)間上升時(shí)間tr根據(jù)定義當(dāng)根據(jù)定義當(dāng)ttr時(shí)，時(shí)， c(tr)121sin01n rtd ret21100n rte d rtrdt21arctg其中 一定時(shí)，一定時(shí)，n越大，越大，tr 越小；越小；n一定時(shí)，一定時(shí)， 越大，越大，tr 越大。越大。 峰值時(shí)間

24、峰值時(shí)間tp( )0pt tdc tdt 21sincos01n pn ppttnd pdd pt tdh tetetdx 21d ptgt根據(jù)三角函數(shù)定義，dptk0, ,2 ,d pt根據(jù)峰值定義，取dpt21pddnt阻尼振蕩周期的一半：2d 一定時(shí)一定時(shí)，n 越大越大，tp 越小；越小；n一定時(shí)，一定時(shí)， 越大，越大，tp 越大。越大。僅與阻尼比僅與阻尼比 有關(guān)。有關(guān)。 越大，越大， 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好。 = 0.40.8 = 25.4%1.5%dpt%100%21 e%100)sin(12 pdttepn%100)()()(% cctcp 超調(diào)量超調(diào)量)s

25、in(11)(2tetcdtn1112sntenst21lnln 調(diào)節(jié)時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間ts當(dāng)當(dāng)0 0.8時(shí)時(shí)23.5,0.05lnln 14.4,0.02nsnnt當(dāng)當(dāng) 一定時(shí)，一定時(shí)，n越大，越大，ts 越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。2( )1sin()0.51n dtdd dec tt nndt7 . 012 . 06 . 012 一定時(shí)，一定時(shí)，n越大，越大，td 越小；越小；n一定時(shí)，一定時(shí)， 越大，越大，td 越大。越大。2() 1sin()1ntdectt (t0)21nd211tg 延遲時(shí)間延遲時(shí)間td d1、二階欠阻尼系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由n和 決定。2、增加 降低振蕩，減小超

26、調(diào)量 ，系統(tǒng)快速性降低,tr和tp增加；3、一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、 ts越小；4、與有關(guān)，而tr、tp、ts與和n有關(guān)，通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般選擇在0.4-0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間。小結(jié)小結(jié):) 1(sTsKmR(s)(- -)C(s)KsTsKsGsGsm )1()(1)()(22222/)(nnnmmmssTKTssTKs %3 .16%100%21 e秒秒73. 012 ndpt秒秒486. 0 drt 3.51.4snt秒化為標(biāo)準(zhǔn)形式化為標(biāo)準(zhǔn)形式即有即有 2 n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25 解：解： 系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函

27、數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為解得解得 n=5, =0.5例例: 已知圖中已知圖中Tm=0.2，K=5，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。，求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標(biāo)。例：例：設(shè)單位負(fù)反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，設(shè)單位負(fù)反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。 由圖知所求系統(tǒng)為一欠阻尼系統(tǒng)由圖知所求系統(tǒng)為一欠阻尼系統(tǒng)%100e3 . 0%30%21/ 36. 0 stndp1 . 012 0t(s)11.30.1h(t)126 .33934. 04 .3114 .31 sn 解：解：22221130( )224.21130( )1( )( )nnnssss

28、sG sG s H s2( )1130( )1( )(2)(24.2)nnsG sss ss s閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：例：分析由兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)構(gòu)成的二階系統(tǒng)中例：分析由兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)構(gòu)成的二階系統(tǒng)中K K的作用的作用11sTK112sT)(sR)(sC21212122121221/1/1)()()(TTKsTTTTsTTKKsTTsTTKsRsC211TTKn212112TTKTT4、二階系統(tǒng)性能的改善、二階系統(tǒng)性能的改善引入誤差信號的比例微分控制引入誤差信號的比例微分控制(1)( )=(1)s KG ss sT2n222nnn(1)(1)( )=(1)2()2s

29、s KsTsK skss增加了系統(tǒng)的阻尼比增加了系統(tǒng)的阻尼比!引入輸出量的速度負(fù)反饋控制引入輸出量的速度負(fù)反饋控制 1)2/(12)(2nnnnsssGntnntnsss21,2)(222nnK2例例:控制系統(tǒng)如圖所示，設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，設(shè)K=10，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)h(t)，并計(jì)算系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和峰值時(shí)間。并計(jì)算系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和峰值時(shí)間。103.16/nrad s解：解：210( )10 sssnn1210.1582 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：n0.5d211( )1esin()1esin(3.1281 )0.9871ttc t

30、tt 超調(diào)量：超調(diào)量：21%e100%60.5%pM峰值時(shí)間：峰值時(shí)間：p2dn=11ts引入微分反饋，要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量為引入微分反饋，要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量為16.4%，確定參數(shù)確定參數(shù) ，并求出峰值時(shí)間。，并求出峰值時(shí)間。210( )(101)10 sss103.16/nrad sn10121016.32 21%e100%16.4%pM0.50.216求得：峰值時(shí)間：峰值時(shí)間：p2dn=1.1481ts四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析四、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判穩(wěn)定是控制系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析、判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件

31、是定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出確保系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。定義：在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀定義：在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，如果擾動(dòng)消除后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確態(tài)，如果擾動(dòng)消除后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1、系統(tǒng)穩(wěn)定性概念、系統(tǒng)穩(wěn)定性概念 設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，作用一個(gè)理想單位脈沖(t)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)，這時(shí)系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應(yīng)c(t)。這相當(dāng)于系統(tǒng)在。

32、這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動(dòng)信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點(diǎn)的問題。若擾動(dòng)信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點(diǎn)的問題。若t時(shí)，時(shí)，c(t)0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)線性定常系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：設(shè)線性定常系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 2、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件、穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)條件rkkkkqiimjjsspszsKs12211)2()()()(nrq2式中：1)(sR2211( )( ) ( )-2qrikkikikkkab scC ss R ss pss 121( )sin(1)ikkqp tiirtkkkkkc ta eet系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根即閉環(huán)極點(diǎn)必須為系統(tǒng)所有閉環(huán)特征根即閉環(huán)極點(diǎn)必須為負(fù)值

33、負(fù)值，或者實(shí)部為或者實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)負(fù)的共軛復(fù)數(shù)。也可以說，系統(tǒng)。也可以說，系統(tǒng)所有的特征根必須位于所有的特征根必須位于S S 平面的左半平面平面的左半平面。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：l閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因?yàn)樵撓到y(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn) 都在s左半平面。 2121ss，l閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因?yàn)?為正實(shí)數(shù)極點(diǎn)，位于 右半平面，與此相對應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)分量按 的規(guī)律隨時(shí)間無限增大。 3sste3l閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，它有一對虛軸上的閉環(huán)極點(diǎn) ，其零輸入響應(yīng)為頻率 的等幅振蕩，因此在工程上認(rèn)為該系統(tǒng)不穩(wěn)定。 js2 , 11例子：例子：) 2)(

34、1() 1( 2)(ssss) 4)(3)(1() 2(10)(sssss11)(2ss注意：注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。關(guān)。l 對于一階系統(tǒng)， 只要 都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。, 01001aasasa10,aal 對于二階系統(tǒng)，2022112, 1012224, 0aaaaasasasa只有 都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）210,aaal對于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的穩(wěn)定

35、性判據(jù)。l 特征方程的系數(shù)同號是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。若特征方程的系數(shù)不同號或有缺項(xiàng)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此對于特征方程系數(shù)同號的系統(tǒng)，還要通過特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為 則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：00111asasasannnn勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，第二行為2，4，6，項(xiàng)系數(shù)。勞思陣如右：24113521233123412301nnnnnnnnnnnsaaasaaasbbbscccdddsgs勞思判據(jù)（勞思判據(jù)（RouthRouth) )：不必求解閉環(huán)特征方程的根，利不必求解閉環(huán)特征方程的根，利用閉環(huán)特征方程的系數(shù)判別穩(wěn)定性。用閉環(huán)特征方程的

36、系數(shù)判別穩(wěn)定性。q 特征方程的全部系數(shù)為正值； q 由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。3、穩(wěn)定性判據(jù)、穩(wěn)定性判據(jù)1132132132153142gfdddcccbbbaaaaaannnnnn014321sssssssnnnnn132113121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab154115142nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab176117163nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab出現(xiàn)空位補(bǔ)零出現(xiàn)空位補(bǔ)零1132132132153142gfdddcccbbbaaaaaannnnnn014321sssssssnnnnn11231121311bababbbbaacnn

37、nn11351131512bababbbbaacnnnn11471141713bababbbbaacnnnn141413131312121211ccbbcdccbbcdccbbcd依次類推。可求得依次類推。可求得,.)2 , 1,.(,igfeiii一直進(jìn)行到第一直進(jìn)行到第n行，第行，第n+1行僅第一列有值，且等于特征方程行僅第一列有值，且等于特征方程最后一項(xiàng)系數(shù)最后一項(xiàng)系數(shù)0a43223450ssss例4322 3 1 41211 4 2 5110135240150605sssbscs 勞斯表第一列元素全部大于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定； 勞斯表第一列元素中出現(xiàn)小于零或者等于零，則系統(tǒng)不穩(wěn)定； 勞斯表第

38、一列元素中符號改變次數(shù)等于閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右邊個(gè)數(shù)； 判定依據(jù)判定依據(jù) 例1 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性1、特征方程式：3212( )1( )1650(1)(5)kkD sG ssssKsss 2、列勞斯表： 1 5 0 6 K 0 306KK03、分析：30300600KKKK穩(wěn)定范圍： 0K30, K=30臨界穩(wěn)定: 特征方程不缺項(xiàng)，各系數(shù)均大于零，只要適當(dāng)選擇K值，系統(tǒng)穩(wěn)定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)。（有條件的穩(wěn)定系統(tǒng)）例 單位反饋，開環(huán)傳遞函數(shù)2( )(0.51)KG sss分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。1、閉環(huán)傳函：32( )0.5KsssK特征方程式：32( )0.50D sssK2、列勞斯表： 0.5 0 1 K -0

39、.5K 0 K3、分析 不穩(wěn)定（因?yàn)镵0）; 兩個(gè)極點(diǎn)在s平面虛軸右邊; D(s)缺項(xiàng)，不論K為何值，系統(tǒng)均不穩(wěn)定，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。【討論討論】五、線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算五、線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)，是系統(tǒng)控制精度的度量。 這里討論的只是系統(tǒng)的原理性誤差，不包括非線性等因素所造成的附加誤差。 計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差以系統(tǒng)穩(wěn)定為前提條件。1、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差)(sR( )C s)(sE( )( )( )E sR sC s誤差定義:參考輸入信號 與被控量輸出信號 間的差為控制系統(tǒng)的誤差信號。記做 即：R(s)C(s)E(s)G(s)H(s) - -B(s)系統(tǒng)

40、的誤差有下列兩種定義方式：從輸入端定義：1( )( )( ) ( )E sR ss C s從輸出端定義：2( )( )( )( )R sE sC ss( )( ) ( )R sH s C s( )( )( )R sC sH s)()()(12sHsEsE( )( )( ) ( )1( )( )( )1( )( )eE sR sH s C ssR sR sG s H s在本課以后的敘述中，均采用從輸入端定義系統(tǒng)的誤差，則系統(tǒng)的誤差信號為：11( ) ( )( ) ( )ee tLE sLs R s 定義為誤差傳遞函數(shù)：( )es穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差定義：定義：誤差信號 在時(shí)間 趨于無窮大時(shí)的數(shù)值定義

41、為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，記為 。即：)(tetsse00( )lim ( )lim( )lim1( )( )sstsssR see tsE sG s H s例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信號為單位斜坡函數(shù)時(shí)，求系統(tǒng)在輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；調(diào)整K值能使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1嗎？) 12)(1() 15 . 0(ssssK)(sR)(sC-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義，所以先判穩(wěn)： 系統(tǒng)特征方程為0)5 . 01 (3223KsKss由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：60 K) 15 . 0() 12)(1() 12)(1()()()(11)()()(21sKsssssssHsGsGsRsEsE21)(ssR21) 15 . 0() 12)(1() 12)(1()(ssKsssssssEKssKsssssssssEessss11)