1、1 2009, Henan Polytechnic University1 2009, Henan Polytechnic University二、 線性變換的簡單性質一、一、 可對角化的概念可對角化的概念 二、二、 可對角化的條件可對角化的條件三、三、 對角化的一般方法對角化的一般方法2 2009, Henan Polytechnic University2 2009, Henan Polytechnic University定義定義1：設：設 是是 維線性空間維線性空間V的一個線性變換，的一個線性變換， n如果存在如果存在V的一個基，使的一個基，使 在這組基下的矩陣為對在這組基下的矩陣為對

2、 角矩陣，則稱角矩陣，則稱線性變換可對角化線性變換可對角化. 矩陣，則矩陣，則稱矩陣稱矩陣A可對角化可對角化.定義定義2： 矩陣矩陣A是數域是數域 上的一個上的一個 級方陣級方陣. 如果如果Pn存在一個存在一個 上的上的 級可逆矩陣級可逆矩陣 ，使，使 為對角為對角P1XAX Xn一、可對角化的概念一、可對角化的概念 3 2009, Henan Polytechnic University3 2009, Henan Polytechnic University則則 可對角化可對角化 有有 個線性無關的特征向量個線性無關的特征向量. n 定理定理1 設設 為為 維線性空間維線性空間V的一個線性變

3、換，的一個線性變換， n二、可對角化的條件二、可對角化的條件 4 2009, Henan Polytechnic University4 2009, Henan Polytechnic University是對角矩陣（即是對角矩陣（即D不可對角化）不可對角化）. .項式項式. .并證明：并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能在任何一組基下的矩陣都不可能 例例 在在 中中, , 求微分變換求微分變換D的特征多的特征多 (1)nP xn 211,2!(1)!nxxxn 解：在解：在 中取一組基：中取一組基： nP x則則D在這組基下的矩陣為在這組基下的矩陣為0100001000010000A 5

4、2009, Henan Polytechnic University5 2009, Henan Polytechnic University1 000100001000nEA 于是于是D D的特征多項式為的特征多項式為 D的特征值為的特征值為0 0（n重）重）. .的系數矩陣的秩為的系數矩陣的秩為n1 1，從而方程組的基礎解系，從而方程組的基礎解系故故D不可對角化不可對角化 . .又由于對應特征值又由于對應特征值0的齊次線性方程組的齊次線性方程組0AX只含有一個向量，它小于的維數只含有一個向量，它小于的維數n（1）. nP x6 2009, Henan Polytechnic Universi

5、ty6 2009, Henan Polytechnic University設是數域設是數域P上上n維線性空間維線性空間V的一個線性變換，的一個線性變換， 是是 的一個特征值，的一個特征值，0 是是 的關于的關于 特征子空間特征子空間. 0V 0 證明證明0V 的維數不大于的維數不大于0 的重數。的重數。命題命題7 2009, Henan Polytechnic University7 2009, Henan Polytechnic University 定理定理2 設設 為為n維線性空間維線性空間V的一個線性變換的一個線性變換, , 如果如果 分別是分別是 的屬于互不相同的特征值的屬于互不相

6、同的特征值12,k 的特征向量，則的特征向量，則 線性無關線性無關.12,k 12,k 8 2009, Henan Polytechnic University8 2009, Henan Polytechnic University推論推論2 在復數域在復數域C上的線性空間中，上的線性空間中， 推論推論1 設為設為n 維線性空間維線性空間V的一個線性變換的一個線性變換， 則則 可對角化可對角化. 如果線性變換如果線性變換 的特征多項式沒有重根，則的特征多項式沒有重根，則 可可 如果如果 的特征多項式在數域的特征多項式在數域 P 中有中有n個不同特征值，個不同特征值， 對角化對角化.9 2009

7、, Henan Polytechnic University9 2009, Henan Polytechnic University特征值特征值 的線性無關的特征向量，的線性無關的特征向量，i 1,2, ,ik 則向量則向量 線性無關線性無關.11111,krkkr 定理定理9 設為線性空間設為線性空間V的一個線性變換，的一個線性變換， 是是 的不同特征值，而的不同特征值，而 是屬于是屬于12,k 12,iiiir 10 2009, Henan Polytechnic University10 2009, Henan Polytechnic University定理定理1010 設為設為n維線

8、性空間維線性空間V的一個線性變換，的一個線性變換， 12,r 為為 全部不同的特征值，則可對角化全部不同的特征值，則可對角化 1dim,iiriVnV 為的特征子空間為的特征子空間. 11 2009, Henan Polytechnic University11 2009, Henan Polytechnic University三、對角化的一般方法三、對角化的一般方法 1 求出矩陣求出矩陣A的全部特征值的全部特征值 12,.k 2 對每一個特征值對每一個特征值 ，求出齊次線性方程組，求出齊次線性方程組 i 0,1.2.iEA Xik 設設 為維線性空間為維線性空間V的一個線性變換，的一個線性

9、變換， 12,n 為為V的一組基，在這組基下的矩陣為的一組基，在這組基下的矩陣為A. 步驟步驟:的一個基礎解系（此即的屬于的一個基礎解系（此即的屬于 的全部線性無關的全部線性無關i 的特征向量在基下的坐標）的特征向量在基下的坐標）. 12,n 12 2009, Henan Polytechnic University12 2009, Henan Polytechnic University3若全部基礎解系所含向量個數之和等于若全部基礎解系所含向量個數之和等于n ，則，則 （或矩陣（或矩陣A）可對角化可對角化. 以這些基礎解系為列，作一個以這些基礎解系為列，作一個n階方陣階方陣T，則，則T可逆，

10、可逆， 是對角矩陣是對角矩陣. 而且而且1TAT 有有n個線性無關的特征向量從而個線性無關的特征向量從而 12,n T就是基到基的過渡矩陣就是基到基的過渡矩陣.12,n 12,n 13 2009, Henan Polytechnic University13 2009, Henan Polytechnic University 下的矩陣為下的矩陣為 123, 0 0 10 1 01 0 0A 基變換的過渡矩陣基變換的過渡矩陣.問問 是否可對角化是否可對角化. 在可對角化的情況下，寫出在可對角化的情況下，寫出 例例1. 設復數域上線性空間設復數域上線性空間V的線性變換的線性變換 在某組基在某組基

11、 14 2009, Henan Polytechnic University14 2009, Henan Polytechnic University解：解：A的特征多項式為的特征多項式為 20101 01110EA 得得A的特征值是的特征值是1、1、1.解齊次線性方程組解齊次線性方程組 得得 10,EA X13xx 故其基礎解系為：故其基礎解系為： (1,0,1),(0,1,0)所以，所以，11322,是的屬于特征值是的屬于特征值1的兩個線性無關的特征向量的兩個線性無關的特征向量. 15 2009, Henan Polytechnic University15 2009, Henan Pol

12、ytechnic University再解齊次線性方程組再解齊次線性方程組 得得 10,EA X 1320 xxx 故其基礎解系為：故其基礎解系為： (1,0, 1) 所以，所以，313是是 的屬于特征值的屬于特征值1的線性無關的特征向量的線性無關的特征向量. 線性無關，故線性無關，故 可對角化，且可對角化，且123, 1 0 00 10;0 01 在基在基 下的矩陣為對角矩陣下的矩陣為對角矩陣 123, 16 2009, Henan Polytechnic University16 2009, Henan Polytechnic University 1231231 0 1,0 10.1 0

13、1 1 0 10 10,1 01T 即基即基 到的過渡矩陣為到的過渡矩陣為123, 123, 11 0 00 10.0 01TAT 17 2009, Henan Polytechnic University17 2009, Henan Polytechnic University例例2. 問問A是否可對角化？若可，求可逆矩陣是否可對角化？若可，求可逆矩陣T，使，使321222361A 為以角矩陣為以角矩陣. 這里這里1TAT 321222361EA 23121624得得A的特征值是的特征值是2、2、- -4 .解解: A的特征多項式為的特征多項式為 18 2009, Henan Polytechnic University18 2009, Henan Polytechnic University對于特征值對于特征值2，求出齊次線性方程組，求出齊次線性方程組 123121024203630 xxx 對于特征值對于特征值4，求出齊次方程組，求出