1、2014-2015學年四川省綿陽市三臺縣重點中學高三（下）3月月考數學試卷（理科）一、選擇題1（3分）直線：xsin30°+ycos150°+2=0的斜率是（）ABCD2（3分）設i是虛數單位，若復數a（aR）是純虛數，則a的值為（）A3B1C1D33（3分）函數f（x）=的定義域是（）A1，4B1，4C（1，4D（1，44（3分）已知an=，Tn是數列an的前n項積，當Tn取到最大值時，n的值為（）A9B8C8或9D9或105（3分）在ABC中，A=60°，若a，b，c成等比數列，則=（）ABCD6（3分）在1，2，3，4，5這五個數字所組成的允許有重復數字的三

2、位數中，其各個數字之和為9的三位數共有（）A16個B18個C19個D21個7（3分）設a2b0，則（ab）2+的最小值是（）A12B9C6D38（3分）設x1，x2是函數f（x）=+2bx的兩個極值點，且x1（0，1），x2（1，2），則的取值范圍是（）A（2，1）B（，）（1，+）C（，1）D（，2）（1，+）9（3分）若直線y=kx+2與雙曲線x2y2=6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）A，BCD10（3分）設f（x）是定義在R上的函數，f（0）=2，對任意xR，f（x）+f（x）1，則不等式exf（x）ex+1的解集為（）A（0，+）B（，0）C（，1）（1，+）D（，1）（0

3、，1）二、填空題11（3分）若的展開式的常數項為60，則a=12（3分）在直角梯形ABCD中，ADC=90°，BC=CD=1，AD=2，P是線段CD上一動點，則的取值范圍是13（3分）設a，b是非零實數，且滿足，則=14（3分）在ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是ABC的內心，若，則x+y=15（3分）給出下列命題：設Sn表示數列an的前n項和，若Sn=2n1+p，則an是等比數列的充分且必要條件是p=；函數f（x）=的值域為；已知x（0，），則sin2x+的最小值為4；若方程e2lnx=在上有解，則a的取值范圍是其中正確命題的序號是三、解答題：16已知數列an各項均為正數，S

4、n為其前n項的和對于任意的nN*，都有4Sn=（an+1）2（1）求數列an的通項公式（2）若2ntSn 對于任意的nN* 恒成立，求實數t的最大值17（12分）已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C的對邊，=（1）求角A的大小；（2）求函數y=sinB+sin（C）的值域18某品牌汽車4S店對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數4020a10b已知分3期付款的頻率為0.2，4S店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款，其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元，用Y表示經銷一輛

5、汽車的利潤（1）求上表中a，b的值；（2）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌的3位顧客中，至多有一位采用分3期付款”的概率P（A）；（3）求Y的分布列及數學期望EY19在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，AD=DE=2BF=2，ED平面ABCD，FBED（1）若，求證：FG平面ABCD；（2）求二面角BEFC的大小20已知橢圓C：的兩個焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=2，點P在橢圓上，且PF1F2的周長為6（）求橢圓C的方程；（）若點P的坐標為（2，1），不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，點P到直線l的距離為d，且M，O，P三點共線求的最

6、大值21已知函數f（x）=，g（x）=（）|xm|，其中mR且m0（）判斷函數f（x）的單調性；（）當m2時，求函數F（x）=f（x）+g（x）在區間2，2上的最值；（）設函數h（x）=，當m2時，若對于任意的x12，+），總存在唯一的x2（，2），使得h（x1）=h（x2）成立，試求m的取值范圍2014-2015學年四川省綿陽市三臺縣重點中學高三（下）3月月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1（3分）（2015春綿陽校級月考）直線：xsin30°+ycos150°+2=0的斜率是（）ABCD【分析】把原方程化為斜截式，直接得到斜率【解答】解：xsin30

7、76;+ycos150°+2=0，xy+2=0，y=x+k=，故選：A【點評】本題考查直線的斜率的求法，考查計算能力，屬于基礎題2（3分）（2013安徽）設i是虛數單位，若復數a（aR）是純虛數，則a的值為（）A3B1C1D3【分析】利用復數的運算法則把a（aR）可以化為（a3）i，再利用純虛數的定義即可得到a【解答】解：=（a3）i是純虛數，a3=0，解得a=3故選D【點評】熟練掌握復數的運算法則和純虛數的定義是解題的關鍵3（3分）（2011秋金華期末）函數f（x）=的定義域是（）A1，4B1，4C（1，4D（1，4【分析】函數f（x）=的定義域是x|，由此能求出結果【解答】解：函

8、數f（x）=的定義域是：x|，解得1x4故選：C【點評】本題考查函數的定義域的求法，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答4（3分）（2015春綿陽校級月考）已知an=，Tn是數列an的前n項積，當Tn取到最大值時，n的值為（）A9B8C8或9D9或10【分析】通過令an=1得n=9，進而可得結論【解答】解：易知數列an是遞減數列，令an=1，得：n=9，當n9時an1，當n9時an1，T8=T9為數列an的前n項積的最大值，n=8或9，故選：C【點評】本題考查數列的簡單性質，注意解題方法的積累，屬于中檔題5（3分）（2015梧州三模）在ABC中，A=60°，若a，b，c成等比數列，則=

9、（）ABCD【分析】由等比中項的性質列出式子，結合條件和正弦定理求出a的表達式，代入式子化簡即可求出的值【解答】解：a，b，c成等比數列，b2=ac，又A=60°，則由正弦定理得：=，即a=，代入得，則，所以=sinA=sin60°=，故選：B【點評】本題考查了正弦定理，以及等比中項的性質的應用，屬于基礎題6（3分）（2011海鹽縣校級模擬）在1，2，3，4，5這五個數字所組成的允許有重復數字的三位數中，其各個數字之和為9的三位數共有（）A16個B18個C19個D21個【分析】首先分析題目求在1，2，3，4，5這五個數字所組成的允許有重復數字的三位數中，其各個數字之和為9的

10、數的個數，故可以分類討論情況1：若取三個完全不同的數字情景2：若取有兩個相同的數字情況3：若取三個相同的數字分別求出各種情況的個數相加即可得到答案【解答】解：求在1，2，3，4，5這五個數字所組成的三位數中，其各個數字之和為9故可分為3種情況情況1：若取三個完全不同的數字，為1，3，5或2，3，4其中每種可排3×2×1=6（個）數情景2：若取有兩個相同的數字，為1，4，4或2，2，5每種可排3個數情況3：若取三個相同的數字，為3，3，3，可排一個數，所以共可排6×2+3×2+1=19（個）數故選C【點評】此題主要考查排列組合及簡單的計數問題在實際中的應用

11、，題中應用到分類討論的思想，需要同學們注意題目屬于基礎題型7（3分）（2015春綿陽校級月考）設a2b0，則（ab）2+的最小值是（）A12B9C6D3【分析】由題意和基本不等式易得b（a2b），代入再由基本不等式可得（ab）2+（ab）2+2=12，驗證等號成立即可【解答】解：a2b0，b0，a2b0b（a2b）=，（ab）2+（ab）2+=（ab）2+2=12當且僅當b=a2b且（ab）2=即a=且b=時取等號故選：A【點評】本題考查基本不等式求最值，湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關鍵，屬中檔題8（3分）（2015春綿陽校級月考）設x1，x2是函數f（x）=+2bx的兩個極值點，且x

12、1（0，1），x2（1，2），則的取值范圍是（）A（2，1）B（，）（1，+）C（，1）D（，2）（1，+）【分析】求導函數，利用f（x）的兩個極值點分別是x1，x2，x1（0，1），x2（1，2），建立不等式，利用平面區域，即可求的取值范圍【解答】解：由題意，f（x）=x2+ax+2bf（x）的兩個極值點分別是x1，x2，x1（0，1），x2（1，2），對應的平面區域如圖所示，三個頂點坐標為A（1，0），B（2，0），C（3，1），則在（1，0）處，=2，在（3，1）處，=1，的取值范圍是（，2）（1，+）故選：D【點評】本題考查導數知識的運用：求極值，考查平面區域的運用，考查學生的計算能力

13、，屬于中檔題9（3分）（2011天心區校級模擬）若直線y=kx+2與雙曲線x2y2=6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（）A，BCD【分析】根據雙曲線的方程求得漸近線方程，把直線與雙曲線方程聯立消去y，利用判別式大于0和k1聯立求得k的范圍【解答】解：漸近線方程為y=±x，由消去y，整理得（k21）x2+4kx+10=0設（k21）x2+4kx+10=0的兩根為x1，x2，直線y=kx+2與雙曲線x2y2=6的右支交于不同的兩點，k0，故選D【點評】本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系考查了函數思想的應用，圓錐曲線與不等式知識的綜合10（3分）（2015秋辛集市校級期末）設f（x

14、）是定義在R上的函數，f（0）=2，對任意xR，f（x）+f（x）1，則不等式exf（x）ex+1的解集為（）A（0，+）B（，0）C（，1）（1，+）D（，1）（0，1）【分析】本題構造新函數g（x）=exf（x）ex，利用條件f（x）+f（x）1，得到g（x）0，得到函數g（x）單調遞增，再利用f（0）=2，得到函數g（x）過定點（0，1），解不等式exf（x）ex+1，即研究g（x）1，結合函數的圖象，得到x的取值范圍，即本題結論【解答】解：令g（x）=exf（x）ex，則g（x）=exf（x）+exf（x）ex，對任意xR，f（x）+f（x）1，g（x）=exf（x）+f（x）10，函

15、數y=g（x）在R上單調遞增f（0）=2，g（0）=1當x0時，g（x）1；當x0時，g（x）1exf（x）ex+1，exf（x）ex1，即g（x）1，x0故選A【點評】本題考查了函數的導數與單調性，還考查了構造法思想，本題有一定的難度，計算量適中，屬于中檔題二、填空題11（3分）（2015春綿陽校級月考）若的展開式的常數項為60，則a=4【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x的系數等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數項的值，再由展開式的常數項為60，求出常數a的值【解答】解：展開式的通項公式為Tr+1=x6rx2r=x63r，令63r=0，可得 r=2，展開式的常數項為=60，解

16、得a=4故答案為：4【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題12（3分）（2015春綿陽校級月考）在直角梯形ABCD中，ADC=90°，BC=CD=1，AD=2，P是線段CD上一動點，則的取值范圍是5，【分析】根據題意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，1），C（0，1），D（0，0），設P（0，b）（0b1），求出，根據向量模的計算公式，即可求得，利用完全平方式非負，即可求得其最值【解答】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，1

17、），C（0，1），D（0，0）設P（0，b）（0b1）則=（2，b），=（1，1b），=（5，34b）則=5，=，故答案為：【點評】此題是個基礎題考查向量在幾何中的應用，以及向量模的求法，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力13（3分）（2011恩施州模擬）設a，b是非零實數，且滿足，則=【分析】先把已知條件轉化為利用正切函數的周期性求出，即可求得結論【解答】解：因為且tan=tan=tan（k）=故答案為：【點評】本題主要考查三角函數中的恒等變換應用解決本題的關鍵是把已知條件轉化為以及得tan=，從而求出14（3分）（2015春綿陽校級月考）在ABC中，AB=AC=5，BC=6，O是A

18、BC的內心，若，則x+y=【分析】通過建系如圖并設O（0，t），利用O是ABC的內心即點O到直線AC的距離與|OD|相等可知O（0，），利用化簡即得結論【解答】解：取BC的中點D，連結AD并建系如圖，設O（0，t），依題意A（0，4），B（3，0），C（3，0），直線AC的方程為：4x+3y12=0，=（3，4），=（3，4），點O到直線AC的距離d=（4t），O是ABC的內心，|OD|=d，即t=（4t），解得：t=，O（0，），=（0，），又=x（3，4）+y（3，4）=（3y3x，4x4y），x+y=故答案為：【點評】本題考查平面向量的基本定理及其幾何意義，注意解題方法的積累，屬于中檔題

19、15（3分）（2015春綿陽校級月考）給出下列命題：設Sn表示數列an的前n項和，若Sn=2n1+p，則an是等比數列的充分且必要條件是p=；函數f（x）=的值域為；已知x（0，），則sin2x+的最小值為4；若方程e2lnx=在上有解，則a的取值范圍是其中正確命題的序號是【分析】根據等比數列的前n項和公式和充要條件的定義，可判斷；求出函數f（x）=的值域，可判斷；求出x（0，）時，sin2x+的最小值，可判斷；根據方程e2lnx=在上有解，求出a的取值范圍，可判斷【解答】解：設Sn表示數列an的前n項和，若Sn=2n1+p，當p=時，數列an是一個公比為2，首項為的等比數列，若an是等比數列

20、，則由Sn=2n1+p可得公比q1，則由Sn=2n1+p=可得：p=；故an是等比數列的充分且必要條件是p=，即正確；函數f（x）=的值域為，故錯誤；已知x（0，），則當sinx=1時，sin2x+取最小值5，故錯誤；若方程e2lnx=在上有解，即方程x2=在上有解，即a=在上有解，令y=則y=，令y=0，則x=故當x時，y0，函數為增函數，當x時，y0，函數為減函數，故當x=時，y=取最大值，故當x=1時，y=取最小值，則a的取值范圍是，故正確；故正確的命題的序號是：，故答案為：【點評】本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，此類題型往往綜合較多的其它知識點，綜合性強，難度中檔三、解答題：1

21、6（2005溫州一模）已知數列an各項均為正數，Sn為其前n項的和對于任意的nN*，都有4Sn=（an+1）2（1）求數列an的通項公式（2）若2ntSn 對于任意的nN* 恒成立，求實數t的最大值【分析】（1）令n=1求出首項，然后根據4an=4Sn4Sn1進行化簡得anan1=2，從而得到數列an是等差數列，直接求出通項公式即可；（2）若2ntSn對于任意的nN*恒成立，則，然后研究數列的單調性，可求出t的范圍，從而求出所求【解答】解：（1）4S1=4a1=（a1+1）2，a1=1當n2時，4an=4Sn4Sn1=（an+1）2（an1+1）2，2（an+an1）=an2an12，又an各

22、項均為正數，anan1=2數列an是等差數列，an=2n1（ 2）Sn=n2，若2ntSn對于任意的nN*恒成立，則令，當n3時，又，t的最大值是【點評】本題主要考查了數列的遞推關系，以及恒成立問題和轉化的數學思想，屬于中檔題17（12分）（2014安慶三模）已知a，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C的對邊，=（1）求角A的大小；（2）求函數y=sinB+sin（C）的值域【分析】（I）由條件利用正弦定理求得cosA=，從而求得 A=（II） 由A=，可得 B+C= 化簡函數y等于 2sin（B+），再根據B+的范圍求得函數的定義域【解答】解：（I）ABC中，由正弦定理，得：，（2分）即

23、2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，故2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，（4分）cosA=，A= （6分）（II）A=，B+C= （8分）故函數y=sinB+sin（B）=sinB+cosB=2sin（B+） （11分）0B，B+，sin（B+）（，1，（13分）故函數的值域為 （1，2 （14分）【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題18（2015春綿陽校級月考）某品牌汽車4S店對最近100位采用分期付款的購車者進行統計，統計結果如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期頻數4020a10b已知分3期付款的

24、頻率為0.2，4S店經銷一輛該品牌的汽車，顧客分1期付款，其利潤為1萬元；分2期或3期付款，其利潤為1.5萬元；分4期或5期付款，其利潤為2萬元，用Y表示經銷一輛汽車的利潤（1）求上表中a，b的值；（2）若以頻率作為概率，求事件A：“購買該品牌的3位顧客中，至多有一位采用分3期付款”的概率P（A）；（3）求Y的分布列及數學期望EY【分析】（1）=0.2，解得a=20，又40+20+a+10+b=100，解得b（2）記分期付款的期數為x，則x的所有可能取值為1，2，3，4，5P（x=1）=0.4，P（x=2）=0.2，P（x=3）=0.2，P（x=4）=0.1，P（x=5）=0.1，可得所求的概

25、率P（A）（3）Y的可能取值為：1，1.5，2萬元可得P（Y=1）=P（x=1），P（Y=1.5）=P（x=2）+P（x=3），P（Y=2）=P（x=4）+P（x=5），即可得出【解答】解：（1）=0.2，解得a=20，又40+20+a+10+b=100，解得b=10（2）記分期付款的期數為x，則x的所有可能取值為1，2，3，4，5P（x=1）=0.4，P（x=2）=0.2，P（x=3）=0.2，P（x=4）=0.1，P（x=5）=0.1，故所求的概率P（A）=0.83+=0.896（3）Y的可能取值為：1，1.5，2萬元則P（Y=1）=P（x=1）=0.4，P（Y=1.5）=P（x=2）+P

26、（x=3）=0.4，P（Y=2）=P（x=4）+P（x=5）=0.2Y的分布列為：Y11.52P0.40.40.2E（Y）=1×0.4+1.5×0.4+2×0.2=1.4（萬元）【點評】本題考查了頻率的計算、隨機變量的分布列與數學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19（2015春綿陽校級月考）在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，AD=DE=2BF=2，ED平面ABCD，FBED（1）若，求證：FG平面ABCD；（2）求二面角BEFC的大小【分析】（1）過G作GHAD于點H，連接HB，證明GFHB，即可證明FG平面ABCD；（2）建立如圖

27、所示的坐標系，求出平面EFG與平面BDEF的法向量，即可求二面角BEFC的大小【解答】（1）證明：，G為AE中點，過G作GHAD于點H，連接HB，則GH=1，GHDE，FB=1，FBDE，FGHB是平行四邊形，GFHB，GF平面ABCD，HB平面ABCD，FG平面ABCD；（2）解：建立如圖所示的坐標系，則A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），F（2，2，1），=（0，2，2），=（2，0，1），設=（x，y，z）是平面EFG的法向量，則，取=（1，2，2），=（2，2，0），=（2，2，1），=（0，0，1），=0，=0，ACEF，ACBF，EFBF=F，=

28、（2，2，0）是平面BDEF的一個法向量，cos，=，二面角BEFC的大小為銳角，二面角BEFC的大小為45°【點評】本題考查線面平行的判定，考查二面角大小的計算，考查向量方法的運用，屬于中檔題20（2015順義區二模）已知橢圓C：的兩個焦點分別為F1，F2，且|F1F2|=2，點P在橢圓上，且PF1F2的周長為6（）求橢圓C的方程；（）若點P的坐標為（2，1），不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設線段AB的中點為M，點P到直線l的距離為d，且M，O，P三點共線求的最大值【分析】（I）利用橢圓的定義和焦距的定義可得2c=2，2a+2c=6解得a，c，再利用b2=a2c2解出即可；（II）設直線l的方程為y=kx+m（m0）與橢圓的方程聯立，得到判別式0及根與系數的關系，由中點坐標公式得到中點M的坐標，利用M，O，P三點共線，得到kOM=kOP，解得k，再利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函數的單調性即可得出最值【解答】解：（I）由題意得2c=2，2a+2c=6解得a=2，c=1，又b2=a2c2=3，所以橢圓C的方程為（II）設A（x1，y1），B（x2，y2）當直線l與x軸垂直時，由橢圓的對稱性可知，點M在x軸上，且與O點不重合，顯然M，O，P三點不共線，不符合題設條件故可設直線l的方程為y=kx+