1、3/22/2022Queuing theory第九章第九章 排隊論排隊論運籌學運籌學Operations Research9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念9.2 排隊系統(tǒng)常用分布排隊系統(tǒng)常用分布 9.3 單服務臺模型單服務臺模型M/M/19.4 多服務臺模型多服務臺模型M/M/s9.5 其它服務時間分布模型其它服務時間分布模型9.6 排隊系統(tǒng)的優(yōu)化排隊系統(tǒng)的優(yōu)化 3/22/20229.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 3 3/22/20229.1.1 排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的描述排隊系統(tǒng)的例子排隊系統(tǒng)的例子9.1 排隊論的

2、基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory 顧客顧客要求的服務要求的服務服務機構服務機構1借書的學生借書的學生2打電話打電話3提貨者提貨者4待降落的飛行器待降落的飛行器5儲戶儲戶6河水進入水庫河水進入水庫7購票旅客購票旅客8十字路口的汽車十字路口的汽車借書借書通話通話提貨提貨降落降落存款、取款存款、取款放水、調(diào)整水位放水、調(diào)整水位購票購票通過路口通過路口圖書管理員圖書管理員交換臺交換臺倉庫管理員倉庫管理員指揮塔臺指揮塔臺儲蓄窗口、儲蓄窗口、ATMD取款機取款機水庫管理員水庫管理員售票窗口售票窗口紅綠燈或交警紅綠燈或交警Ch9 排隊論排隊論 Queu

3、ing theory Page 4 3/22/2022顧客到達排隊接受服務顧客離去圖圖9-1 排隊系統(tǒng)排隊系統(tǒng)排隊的過程可表示為：排隊的過程可表示為：9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 5 3/22/2022根據(jù)服務臺的數(shù)量及排隊方式，排隊系統(tǒng)可以分為根據(jù)服務臺的數(shù)量及排隊方式，排隊系統(tǒng)可以分為 (1)單服務臺單隊單服務臺單隊(2)多服務臺單隊多服務臺單隊圖圖9-2單服務臺單隊系統(tǒng)單服務臺單隊系統(tǒng) 顧客到達顧客到達進入隊列進入隊列服務臺服務臺接受服務接受服務顧客離

4、去顧客離去顧客到達顧客到達服務臺服務臺顧客離去顧客離去服務臺服務臺服務臺服務臺圖圖9-3 多服務臺單隊系統(tǒng)多服務臺單隊系統(tǒng)9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 6 3/22/2022(3)多隊多服務臺多隊多服務臺(4)多服務臺串聯(lián)服務多服務臺串聯(lián)服務 圖圖9-4 多服務臺多隊系統(tǒng)多服務臺多隊系統(tǒng)圖圖9-5 多服務臺串聯(lián)系統(tǒng)多服務臺串聯(lián)系統(tǒng)9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory 顧客到達顧客到達服務臺服

5、務臺顧客離去顧客離去服務臺服務臺服務臺服務臺顧客到達顧客到達服務臺服務臺顧客離去顧客離去服務臺服務臺Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 7 3/22/20229.1.2排隊系統(tǒng)的基本組成排隊系統(tǒng)的基本組成排隊系統(tǒng)由排隊系統(tǒng)由輸入過程輸入過程、服務規(guī)則服務規(guī)則和和服務臺服務臺三個部分組成三個部分組成 這是指要求服務的顧客按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，這是指要求服務的顧客按怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)的過程，有時也稱之為顧客流。有時也稱之為顧客流。（1）顧客總體數(shù)，又稱顧客源、輸入源。顧客源可以是有）顧客總體數(shù)，又稱顧客源、輸入源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。限的，也

6、可以是無限的。（2）顧客到達的形式。這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，）顧客到達的形式。這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，是單個到達，還是成批到達。是單個到達，還是成批到達。（3）顧客流的概率分布，或稱顧客相繼到達的時間間隔分）顧客流的概率分布，或稱顧客相繼到達的時間間隔分布。這是首先需要確定的指標。布。這是首先需要確定的指標。9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory 1.輸入過程輸入過程Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 8 3/22/2022(1)先到先服務（先到先服務（FCFS，F(xiàn)irst Come Fir

7、st Serve）；）；(2)后到先服務（后到先服務（LCFS，Last Come First Serve）；）；(3)有優(yōu)先權的服務（有優(yōu)先權的服務（PR，Priority）(4)隨機服務（隨機服務（SIRO，Service in Random Order）9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory 2.排隊規(guī)則排隊規(guī)則(1)等待制等待制 指顧客到達系統(tǒng)后，所有服務臺都不空，顧客加入排隊行列指顧客到達系統(tǒng)后，所有服務臺都不空，顧客加入排隊行列等待服務，一直等到服務完畢以后才離去等待服務，一直等到服務完畢以后才離去 ；(2)損失制損

8、失制 指當顧客到達系統(tǒng)時，所有服務臺都已被占用，顧客不愿等指當顧客到達系統(tǒng)時，所有服務臺都已被占用，顧客不愿等待而離開系統(tǒng)。待而離開系統(tǒng)。 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 9 3/22/2022(3)混合制混合制 這是等待制與損失制相結合的一種服務規(guī)則，一般是指允這是等待制與損失制相結合的一種服務規(guī)則，一般是指允許排隊，但又不允許隊列無限長下去。大體有以下三種：許排隊，但又不允許隊列無限長下去。大體有以下三種： 隊長有限。當?shù)却盏念櫩腿藬?shù)超過規(guī)定數(shù)量時，后來隊長有限。當?shù)却盏念櫩腿藬?shù)超過規(guī)定數(shù)量時，后來的顧客就自動離去，另求服務，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。

9、的顧客就自動離去，另求服務，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。 等待時間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時間不超過某一給等待時間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時間不超過某一給定的長度定的長度T，當?shù)却龝r間超過時間，當?shù)却龝r間超過時間T時，顧客將自動離去，并不時，顧客將自動離去，并不再回來。再回來。 逗留時間（等待時間與服務時間之和）有限。逗留時間（等待時間與服務時間之和）有限。9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 10 3/22/2022(1)服務臺數(shù)量及構成形式服務臺數(shù)量及構成形式

10、 從數(shù)量上說，服務臺有單臺和多臺之分。從構成形式上看，從數(shù)量上說，服務臺有單臺和多臺之分。從構成形式上看，有單隊單服務臺式、單隊多服務臺并聯(lián)式、多隊多服務臺并聯(lián)有單隊單服務臺式、單隊多服務臺并聯(lián)式、多隊多服務臺并聯(lián)式、單隊多服務臺串聯(lián)式等等，如圖式、單隊多服務臺串聯(lián)式等等，如圖9-2到到9-5所示；所示；(2)服務方式服務方式 指在某一時刻接受服務的顧客數(shù)，有單個服務和成批服務指在某一時刻接受服務的顧客數(shù)，有單個服務和成批服務兩種；兩種；(3)服務時間的分布服務時間的分布在多數(shù)情況下，對某一個顧客的服務時間是一隨機變量，與在多數(shù)情況下，對某一個顧客的服務時間是一隨機變量，與顧客到達的時間間隔分

11、布一樣，服務時間的分布有定長分布、顧客到達的時間間隔分布一樣，服務時間的分布有定長分布、負指數(shù)分布、愛爾朗分布等等。負指數(shù)分布、愛爾朗分布等等。3.服務臺服務臺9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory 服務臺可以從以下三個方面來描述：服務臺可以從以下三個方面來描述：Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 11 3/22/20229.1.3 排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標、記號和符號排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標、記號和符號 9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theor

12、y （1）隊長和隊列長）隊長和隊列長(排隊長排隊長) 隊長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)（排隊等待的顧客數(shù)與正在接受隊長是指系統(tǒng)中的顧客數(shù)（排隊等待的顧客數(shù)與正在接受服務的顧客數(shù)之和）服務的顧客數(shù)之和） 隊列長是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務的顧客數(shù)。隊長和隊隊列長是指系統(tǒng)中正在排隊等待服務的顧客數(shù)。隊長和隊列長一般都是隨機變量列長一般都是隨機變量（2）等待時間和逗留時間）等待時間和逗留時間 從顧客到達時刻起到他開始接受服務止這段時間稱為等待從顧客到達時刻起到他開始接受服務止這段時間稱為等待時間。從顧客到達時刻起到他接受服務完止這段時間稱為逗留時間。從顧客到達時刻起到他接受服務完止這段時間稱為逗留時間。兩種時間

13、都是隨機變量時間。兩種時間都是隨機變量（3）忙期和閑期）忙期和閑期 忙期是指從顧客到達空閑著的服務機構起，到服務再次成忙期是指從顧客到達空閑著的服務機構起，到服務再次成為空閑止的這段時間，服務機構連續(xù)忙的時間。這是個隨機變?yōu)榭臻e止的這段時間，服務機構連續(xù)忙的時間。這是個隨機變量。與忙期相對的是閑期，即服務機構連續(xù)保持空閑的時間。量。與忙期相對的是閑期，即服務機構連續(xù)保持空閑的時間。1. 主要數(shù)量指標主要數(shù)量指標Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 12 3/22/20229.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theo

14、ry 2. 記號記號時刻時刻 t 系統(tǒng)中的顧客數(shù)（又稱為系統(tǒng)的狀態(tài)），即隊長；系統(tǒng)中的顧客數(shù)（又稱為系統(tǒng)的狀態(tài)），即隊長；時刻時刻 t 系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即列隊長；系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)，即列隊長；時刻時刻 t 到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間；到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時間；時刻時刻 t 到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時間到達系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時間 ( ):N t( ):qNt( ):T t( ):qT tL：平均隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻顧客數(shù)的期望值；：平均隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻顧客數(shù)的期望值；Lq：平均等待隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻等待服務的顧客數(shù)的：平均等待隊長，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻

15、等待服務的顧客數(shù)的期望值；期望值；W：平均逗留時間，即在任一時刻進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時：平均逗留時間，即在任一時刻進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客逗留時間的期望值；間的期望值；Wq：平均等待時間，即在任一時刻進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時：平均等待時間，即在任一時刻進入穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的顧客等待時間的期望值；間的期望值；在平穩(wěn)狀態(tài)下在平穩(wěn)狀態(tài)下: Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 13 3/22/20229.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory ：顧客到達的平均速率，即單位時間內(nèi)平均到達的顧客數(shù)；：顧客到達的平均速率，即單位時間

16、內(nèi)平均到達的顧客數(shù)；1/：平均到達時間間隔；：平均到達時間間隔；：平均服務速率，即單位時間內(nèi)服務完畢離去的顧客數(shù)；：平均服務速率，即單位時間內(nèi)服務完畢離去的顧客數(shù)；1/：平均服務時間；：平均服務時間； s ：系統(tǒng)中服務臺的個數(shù)；：系統(tǒng)中服務臺的個數(shù)；：服務強度，即每個服務臺單位時間內(nèi)的平均服務時間，一：服務強度，即每個服務臺單位時間內(nèi)的平均服務時間，一般有般有/(s)；N：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中所有顧客數(shù)）；：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻的狀態(tài)（即系統(tǒng)中所有顧客數(shù)）；U：任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時間；：任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的逗留時間；Q：任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的等待時間；：任一顧客在穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中的

17、等待時間；PnPN=n：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)為：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)任一時刻狀態(tài)為n的概率；特別當?shù)母怕剩惶貏e當n=0時，時，PnP0，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務臺全部空閑的概率；，即穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)所有服務臺全部空閑的概率；e：有效平均到達率，即期望每單位時間內(nèi)來到系統(tǒng)（包括未：有效平均到達率，即期望每單位時間內(nèi)來到系統(tǒng)（包括未進入系統(tǒng)）的概率。進入系統(tǒng)）的概率。 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 14 3/22/2022 3.排隊系統(tǒng)的符號排隊系統(tǒng)的符號一個排隊系統(tǒng)的特征可以用六個參數(shù)表示，形式為：一個排隊系統(tǒng)的特征可以用六個參數(shù)表示，形式為：XYZ：ABC 或或 X/Y/Z/A/B/C其

18、中其中X 顧客到達的概率分布，可取顧客到達的概率分布，可取M、D、Ek、G等；等；Y 服務時間的概率分布，可取服務時間的概率分布，可取M、D、Ek 、G等；等；Z 服務臺個數(shù)，取正整數(shù)；服務臺個數(shù)，取正整數(shù)；A 排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或 ；B 顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或 ；C 排隊規(guī)則，可取排隊規(guī)則，可取FCFS、LCFS等。等。例如例如M/M/1： / /FCFS表示顧客到達的時間間隔是負指數(shù)分布，服務時間是負指數(shù)分表示顧客到達的時間間隔是負指數(shù)分布，服務時間是負指數(shù)分布，一個服務臺，排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限，實

19、行先布，一個服務臺，排隊系統(tǒng)和顧客源的容量都是無限，實行先到先服務的一個服務系統(tǒng)。到先服務的一個服務系統(tǒng)。9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 15 3/22/2022下一節(jié)：排隊系統(tǒng)常用分布下一節(jié)：排隊系統(tǒng)常用分布9.1 排隊論的基本概念排隊論的基本概念Basic Concepts of Queuing theory 3/22/20229.2 排隊系統(tǒng)常用分布排隊系統(tǒng)常用分布Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 17 3/22/20229.

20、2.1 負指數(shù)分布負指數(shù)分布隨機變量隨機變量T服從負指數(shù)分布，其分布函數(shù)為服從負指數(shù)分布，其分布函數(shù)為 tTetF1)(0, 0t密度函數(shù)為密度函數(shù)為tTetf)(T的期望值為的期望值為001)()(dtetdtttfTEtTT的方差為的方差為21)(TVar9.2 排隊系統(tǒng)常用分布排隊系統(tǒng)常用分布Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 18 3/22/2022負指數(shù)分布具有性質(zhì)負指數(shù)分布具有性質(zhì) (1)密度函數(shù)密度函數(shù))(tfT對時間對時間t嚴格遞減嚴格遞減tTPsTstTP(2)無記憶性或馬爾柯夫性，即無記憶性或馬爾柯夫性，即(3)當顧客到達過程是泊松流時，顧客相繼到

21、達的間隔時間當顧客到達過程是泊松流時，顧客相繼到達的間隔時間T 必必服從負指數(shù)分布，這個性質(zhì)將在定理服從負指數(shù)分布，這個性質(zhì)將在定理9.1中予以證明。中予以證明。若隨機變量若隨機變量X的概率密度為的概率密度為9.2.2泊松分布泊松分布(0,0,1,2,)!neP Xnnn則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松的泊松(Poisson)分布，記為分布，記為XP()。其均值。其均值和方差分別為和方差分別為 )(XE)(XVar9.2 排隊系統(tǒng)常用分布排隊系統(tǒng)常用分布Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 19 3/22/2022【定義【定義9.1】對于隨機過程對于隨機過程 ,若滿

22、足若滿足1.Poisson流的定義流的定義9.2 顧客到達和服務的時間分布顧客到達和服務的時間分布0),(ttN(1)獨立增量性獨立增量性(無后效性無后效性) 即對任意即對任意n個參數(shù)個參數(shù) 增量增量 相互獨立相互獨立 或者說不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互相獨立。或者說不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互相獨立。0121ttttnnn)()(,),()(),()(12312nntNtNtNtNtNtN(2)增量平穩(wěn)性增量平穩(wěn)性 即在長度為即在長度為 t 的時間區(qū)間內(nèi)恰好到達的時間區(qū)間內(nèi)恰好到達k個顧客個顧客的概率僅與區(qū)間長度的概率僅與區(qū)間長度t有關，而與區(qū)間起始點無關有關，而與區(qū)間起始點無關 (

23、3)普遍性普遍性 即當即當t充分小時，有充分小時，有( )2( )P N to t稱稱 為為Poisson過程，過程，N(t)服從泊松分布服從泊松分布 ( ),0N tt Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 20 3/22/20222排隊系統(tǒng)與泊松過程排隊系統(tǒng)與泊松過程 9.2 顧客到達和服務的時間分布顧客到達和服務的時間分布若若N(t)為時間區(qū)間為時間區(qū)間0,t）(t0)內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客數(shù)，則內(nèi)到達系統(tǒng)的顧客數(shù)，則N(t)是一個是一個隨機變量，且隨機變量，且 N(t)|t(0,T)為一個隨機過程。若該隨機過程滿為一個隨機過程。若該隨機過程滿足足 （1）在不相重疊的區(qū)

24、間內(nèi)，顧客的到達數(shù)是相互獨立的；）在不相重疊的區(qū)間內(nèi)，顧客的到達數(shù)是相互獨立的；（2）在時間區(qū)間）在時間區(qū)間t,t+t）內(nèi)有顧客的到達數(shù)只與區(qū)間長度）內(nèi)有顧客的到達數(shù)只與區(qū)間長度t有有關，而與區(qū)間起始點關，而與區(qū)間起始點t無關；無關；（3）對于充分小的）對于充分小的t，在時間區(qū)間，在時間區(qū)間t,t+t）內(nèi)有）內(nèi)有2個或個或2個以上個以上的顧客到達的概率極小，以致于可以忽略的顧客到達的概率極小，以致于可以忽略 則認為顧客到達系統(tǒng)的過程是泊松過程，且則認為顧客到達系統(tǒng)的過程是泊松過程，且 ()( )!kttP N tkek0,1,2,;0kt( )E N tt( )Var N ttCh9 排隊論排

25、隊論 Queuing theory Page 21 3/22/20229.2 顧客到達和服務的時間分布顧客到達和服務的時間分布 如果一個隨機變量，概率分布與時間如果一個隨機變量，概率分布與時間t有關，則稱這個隨機變有關，則稱這個隨機變量為一隨機過程，排隊系統(tǒng)中顧客到達的個數(shù)就是一個隨機過量為一隨機過程，排隊系統(tǒng)中顧客到達的個數(shù)就是一個隨機過程。程。【定理【定理9.1】在排隊系統(tǒng)中，如果到達的顧客數(shù)服從以在排隊系統(tǒng)中，如果到達的顧客數(shù)服從以t為參數(shù)為參數(shù)的泊松分布，則顧客相繼到達的時間間隔服從以的泊松分布，則顧客相繼到達的時間間隔服從以為參數(shù)的負指為參數(shù)的負指數(shù)分布數(shù)分布. 證明參看教材。證明參

26、看教材。由定理由定理9.1可以看出，可以看出，“到達的顧客數(shù)是一個以到達的顧客數(shù)是一個以為參數(shù)的泊松為參數(shù)的泊松流流”與與“顧客相繼到達的時間間隔服從以為參數(shù)的負指數(shù)分布顧客相繼到達的時間間隔服從以為參數(shù)的負指數(shù)分布”兩個事實是等價的兩個事實是等價的 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 22 3/22/2022【定理【定理9.2】設設X1,X2,，Xk ,是是k個互相獨立的，具有相同參數(shù)個互相獨立的，具有相同參數(shù)的負指數(shù)分布隨機變量，則隨機變量的負指數(shù)分布隨機變量，則隨機變量kXXXX21服從服從k階愛爾朗階愛爾朗(Erlang)分布，分布，X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為

27、1()( )0(1)!kk tkk tf tetk記為記為( )kXE或簡記為或簡記為kXE隨機變量隨機變量X的均值和方差分別為：的均值和方差分別為：()1/E X2()1/Var Xk9.2 排隊系統(tǒng)常用分布排隊系統(tǒng)常用分布Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 23 3/22/2022為單位時間平均到達顧客數(shù)目，亦稱平均到達率。顧客到達服為單位時間平均到達顧客數(shù)目，亦稱平均到達率。顧客到達服從泊松分布，亦稱顧客到達形成泊松流（最簡單流）。從泊松分布，亦稱顧客到達形成泊松流（最簡單流）。 例例1：一臺儀表由：一臺儀表由1000個元件組成，每個元件在一年工作時間個元件組成

28、，每個元件在一年工作時間內(nèi)發(fā)生故障的概率為內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.001，并且與其它元件的狀況無關，求在，并且與其它元件的狀況無關，求在一年內(nèi)不少于一年內(nèi)不少于2個元件發(fā)生故障的概率。個元件發(fā)生故障的概率。解：解： 設設X=元件發(fā)生故障個數(shù)，由于元件發(fā)生故障個數(shù)，由于n=1000 P=0.001很小，可很小，可視發(fā)生故障服從泊松分布，其中視發(fā)生故障服從泊松分布，其中=nP=1 因此因此 264. 0! 11! 0111011110eexPxP9.2 顧客到達和服務的時間分布顧客到達和服務的時間分布0001112(2)1nkkn knnnnnkp xC p qC p qC p q Ch9 排隊論排

29、隊論 Queuing theory Page 24 3/22/2022下一節(jié)：下一節(jié)： 單服務臺模型單服務臺模型 9.2 顧客到達和服務的時間分布顧客到達和服務的時間分布3/22/20229.3單服務臺模型單服務臺模型M/M/1Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 26 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM9.3.1基本模型基本模型/ : 1/FCFSMM設單位時間到達系統(tǒng)的顧客數(shù)為設單位時間到達系統(tǒng)的顧客數(shù)為 ，單位時間被服務完的顧客，單位時間被服務完的顧客數(shù)為數(shù)為。由于是單服務臺，且顧客源無限，因此，在各種狀態(tài)。由于是單服務臺，且顧客源無限，

30、因此，在各種狀態(tài)的情況下，系統(tǒng)的的情況下，系統(tǒng)的“出生率出生率”為為，系統(tǒng)的，系統(tǒng)的“死亡率死亡率”為為。系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下的狀態(tài)轉移如圖系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下的狀態(tài)轉移如圖9-6所示所示 0 1 2n-1 nn+1P0 P1 P2 Pn-1 Pn Pn+1 圖圖9-6根據(jù)以上狀態(tài)轉移圖，可以得出如下平衡方程根據(jù)以上狀態(tài)轉移圖，可以得出如下平衡方程 001 PP0)(11nnnPPP), 2 , 1(n(91)(92)1 系統(tǒng)狀態(tài)概率系統(tǒng)狀態(tài)概率Pn(t)的計算的計算Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 27 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM由由(9

31、1)和和(92)可以遞推求解可以遞推求解P1，P2，Pn，得到，得到 01PP02102)1 (PPPP0PPnn), 2 , 1(n1設210200,nnPP PPPP10PnnP)1 ( 1n01nnP由，有(93) (94) 表示平均到達率與平均服務率之比，稱為服務強度表示平均到達率與平均服務率之比，稱為服務強度 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 28 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM【例【例9.1】高速公路收費處設有一個收費通道，汽車到達服從泊】高速公路收費處設有一個收費通道，汽車到達服從泊松分布，平均到達速率為松分布，平均到達速

32、率為150輛小時，收費時間服從負指數(shù)分輛小時，收費時間服從負指數(shù)分布，平均收費時間為布，平均收費時間為15秒輛。求秒輛。求(1)收費處空閑的概率；收費處空閑的概率；(2)收費處忙的概率；收費處忙的概率；(3)系統(tǒng)中分別有系統(tǒng)中分別有1，2，3輛車的概率。輛車的概率。【解】根據(jù)題意【解】根據(jù)題意, =150輛輛/小時小時, 1/=15秒秒=1/240（小時（小時/輛）輛）,即即240（輛（輛/小時）。小時）。/=150/240=5/8，則有，則有(1)系統(tǒng)空閑的概率為：系統(tǒng)空閑的概率為：P0=1=1(5/8)=3/8=0.375(2)系統(tǒng)忙的概率為：系統(tǒng)忙的概率為：1-P0=5/8=0.625(

33、3)系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有1輛車的概率為：輛車的概率為：P1=(1)=0.6250.375=0.234系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有2輛車的概率為：輛車的概率為：P2= 2(1)= 0.2340.625=0.146系統(tǒng)中有系統(tǒng)中有3輛車的概率為：輛車的概率為：P3=3(1)=0.1460.625=0.091Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 29 3/22/20222. 系統(tǒng)的運行指標系統(tǒng)的運行指標(1)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值）L 1)1 ()1 ()1 ()1 (2000kkkkkkkkkPL即隊長為系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值（系統(tǒng)

34、中各種狀態(tài)的加權平均即隊長為系統(tǒng)中顧客數(shù)的期望值（系統(tǒng)中各種狀態(tài)的加權平均值）值） (2)隊列中的平均顧客數(shù)隊列中的平均顧客數(shù)qL1)1 ()1 () 1()1 ()1 () 1() 1(222111kkkkkkqkkPkLLLq9.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MMCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 30 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間W1()WE X(98) (4)顧客在隊列中的平均逗留時間顧客在隊列中的平均逗留時間 WqWWWq)()()(111(99) 1qqqqqLW

35、LWWWLLL(910) Little公式公式: Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 31 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM【例【例9.2】輕軌進站口售票處設有一個售票窗口，乘客到達服從】輕軌進站口售票處設有一個售票窗口，乘客到達服從泊松分布，平均到達速率為泊松分布，平均到達速率為200人人/小時，售票時間服從負指數(shù)小時，售票時間服從負指數(shù)分布，平均售票時間為分布，平均售票時間為15秒秒/人。求人。求L、Lq、W和和Wq。【解】根據(jù)題意，【解】根據(jù)題意，=200人人/小時，小時，=240人人/小時，小時，=5/6。 )(7590)(90)(

36、025. 02002401117. 4551165656565秒秒小時WWWLLLqqCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 32 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM9.3.2有限隊列模型有限隊列模型/ : 1/FCFSNMM 如果系統(tǒng)的最大容量為如果系統(tǒng)的最大容量為N，對于單服務臺的情形，排隊等待，對于單服務臺的情形，排隊等待的顧客最多為的顧客最多為N-1-1，在某一時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有，在某一時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)轉移如個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)轉移如圖圖9

37、-7 0 1 2N-1 NP0 P1 P2 圖圖971.系統(tǒng)狀態(tài)概率的計算系統(tǒng)狀態(tài)概率的計算Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 33 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM由狀態(tài)轉移圖由狀態(tài)轉移圖9-7，建立系統(tǒng)概率平衡方程如下，建立系統(tǒng)概率平衡方程如下 10111(),1kkkNNPPPPPkNPP(911) / 令01111NP111kkNPkN001NkkP100PPP2210PPP10kkkPPP011NPPP由有(912) (913) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 34 3/22/202293 單服務臺模

38、型單服務臺模型 /1MM11,2,1kPkNN，00PPPkkNkkN011當時00(1)NkkP11100NPNkk10()kkkPPP(914) (915) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 35 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM根據(jù)式根據(jù)式912和和913可以導出系統(tǒng)的各個指標，對于可以導出系統(tǒng)的各個指標，對于1，有，有(9-16) (1)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)L100111211111(1)(1)111(1)11NNkkNkkNNNNNLkPkNNCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 36 3

39、/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM(917) (2)隊列中的平均顧客數(shù)隊列中的平均顧客數(shù)Lq 000011111111(1)(1)1111111()(1)111(1)(1)NNNqkkkkkkNNNNNNNNNNNNNLkPkPPLPLLLLLPLPL(1),eeNeP令qeLL(918) e 稱為有效到達率，即單位時間內(nèi)到達并能進入隊列的平均顧稱為有效到達率，即單位時間內(nèi)到達并能進入隊列的平均顧客數(shù)。客數(shù)。e 稱為有效服務強度稱為有效服務強度 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 37 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1M

40、M(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間W)1 (NePLLW(9-19) (4)顧客在隊列中的平均逗留時間顧客在隊列中的平均逗留時間 11WLLLWeeeeqq(9-20) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 38 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM【例【例9.3】咨詢中心有一位咨詢工作人員，每次只能咨詢一人，】咨詢中心有一位咨詢工作人員，每次只能咨詢一人，另外有另外有4個座位供前來咨詢的人等候。某人到來發(fā)現(xiàn)沒有座位，個座位供前來咨詢的人等候。某人到來發(fā)現(xiàn)沒有座位，就不再等待而離去。前來咨詢者到達服從泊松流，到達的平均速

41、就不再等待而離去。前來咨詢者到達服從泊松流，到達的平均速率為率為4人人/小時，咨詢?nèi)藛T的平均咨詢時間為小時，咨詢?nèi)藛T的平均咨詢時間為10分鐘分鐘/人。咨詢時間人。咨詢時間服從負指數(shù)分布。求：服從負指數(shù)分布。求：(1)咨詢者到達不用等待就可咨詢的概率咨詢者到達不用等待就可咨詢的概率(2)咨詢中心的平均人數(shù)以及等待咨詢的平均人數(shù)咨詢中心的平均人數(shù)以及等待咨詢的平均人數(shù)(3)咨詢者來咨詢中心一次平均花費的時間以及平均等待的時間咨詢者來咨詢中心一次平均花費的時間以及平均等待的時間(4)咨詢者到達后因客滿而離去的概率咨詢者到達后因客滿而離去的概率(5)增加一個咨詢工作人員可以減少的顧客損失率增加一個咨詢

42、工作人員可以減少的顧客損失率【解】【解】N=4+1=5，=4人人/小時，小時，=6人人/小時，小時，=2/3 2306123110.36511NP 5203(1)(1)410.3653.808NeNPP (1)Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 39 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM 423. 1577. 021) 15(11) 1(1632632323211NNNL788. 06808. 3423. 1eqLL(2)(3)(4 .22)(374. 0808. 3423. 1分小時 eLW)(4 .12)(207. 0808. 3788.

43、0分小時 eqLW(4) 5525030.3650.048PP因客滿而離去的概率為因客滿而離去的概率為0.048 (5) 當當N=6時時 2306123110.36511NPCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 40 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM 6626030.3650.032PP560.480.0320.0161.6%PP即增加一個咨詢工作人員可以減少顧客損失率即增加一個咨詢工作人員可以減少顧客損失率1.6% 9.3.3 有限顧客源模型有限顧客源模型 / : 1/FCFSmMM 設顧客總數(shù)為設顧客總數(shù)為m。當顧客需要服務時，就進入隊列

44、等待；服。當顧客需要服務時，就進入隊列等待；服務完畢后，重新回到顧客源中，如此循環(huán)往復。由于顧客源的務完畢后，重新回到顧客源中，如此循環(huán)往復。由于顧客源的數(shù)量有限，因此隊列的長度也是有限的，并且隊列的長度必定數(shù)量有限，因此隊列的長度也是有限的，并且隊列的長度必定小于顧客源總數(shù)小于顧客源總數(shù) 。 有限源系統(tǒng)顧客的平均到達速率：有限源系統(tǒng)顧客的平均到達速率： )(nmeCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 41 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM 0 1 2n-1 nm(1)m(1)mnn+1m-1 m()mn圖圖9-8 有限顧客源模型狀態(tài)轉移圖有

45、限顧客源模型狀態(tài)轉移圖狀態(tài)轉移圖如圖狀態(tài)轉移圖如圖9-8 由圖由圖9-8得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率平衡方程組得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率平衡方程組 1系統(tǒng)狀態(tài)概率的計算系統(tǒng)狀態(tài)概率的計算10111(1)(), 11nnnmmPm PPmnPmnPnmPP(921) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 42 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM用遞推方法解該方程組，得到用遞推方法解該方程組，得到 miiimmP00)!(!1(922) 0)!(!PnmmPnn(923) 2 有限源系統(tǒng)的運行指標有限源系統(tǒng)的運行指標 在求得系統(tǒng)中出現(xiàn)顧客數(shù)的概率后，即可求得系統(tǒng)的運行指

46、標在求得系統(tǒng)中出現(xiàn)顧客數(shù)的概率后，即可求得系統(tǒng)的運行指標(推導過程略推導過程略) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 43 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM)1 (0PmL)1 ()1)(1 (00PLPmLq1)1 (0PmW1WWq(924) (925) (926) (927) 在機器維修問題中，在機器維修問題中，L是待檢修及正在檢修的平均機器數(shù)，而是待檢修及正在檢修的平均機器數(shù)，而)1 (0PLm表示正常運行的平均機器數(shù)。表示正常運行的平均機器數(shù)。Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 44 3/22/20229

47、.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM【例【例9.4】某車間有】某車間有5臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉時間服從負指臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉時間服從負指數(shù)分布，一天（數(shù)分布，一天（8小時）平均連續(xù)運行時間小時）平均連續(xù)運行時間120分鐘。有一個修理分鐘。有一個修理工，每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次工，每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次96分鐘。求：分鐘。求：(1)修理工忙的概率修理工忙的概率(記為記為Pb)；(2)五臺機器都出故障的概率；五臺機器都出故障的概率；(3)出故障的平均臺數(shù)；出故障的平均臺數(shù)；(4)平均停工時間；平均停工時間；(5)平均等待修理時間；平均等待修理時間；(6)評

48、價這個系統(tǒng)的運行情況評價這個系統(tǒng)的運行情況 【解】一天為一個單位時間。認為一天內(nèi)來修理的機器數(shù)平均為【解】一天為一個單位時間。認為一天內(nèi)來修理的機器數(shù)平均為4臺，修理工一天平均修理機器數(shù)為臺，修理工一天平均修理機器數(shù)為5臺。臺。m=5，=4，=5，=0.8 101234505!5!5!5!5!5!(1)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.8)5!4!3!2!1!0!10.0073136.8PCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 45 3/22/20229.3 單服務臺模型單服務臺模型 /1MM011 0.00730.9927bPP 5505!(2)(

49、0.8)0.2870!PP011(3)(1)5(1 0.0073)3.760.8LmP0(4)(1)3.76(10.0073)2.77qLLP0151(5)0.7427()3565 (1 0.0073)(1)4mWP 天 （分鐘）11(6)0.74270.5427()2605qWW天 （分）由計算結果看出，系統(tǒng)的修理工幾乎沒有空閑時間，機器的停工由計算結果看出，系統(tǒng)的修理工幾乎沒有空閑時間，機器的停工時間是平均運行時間的三倍，系統(tǒng)的服務效率很低時間是平均運行時間的三倍，系統(tǒng)的服務效率很低 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 46 3/22/20229.3 單服務臺模型

50、單服務臺模型 /1MM作業(yè)：教材作業(yè)：教材P216 T 1，2，3，4，5，6下一節(jié)：下一節(jié)： 9.4多服務臺模型多服務臺模型3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型M/M/sCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 48 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs9.4.1基本模型基本模型 / :/M M sFCFS 規(guī)定各服務臺工作相互獨立且服務速率相同規(guī)定各服務臺工作相互獨立且服務速率相同 s21系統(tǒng)的平均服務速率為系統(tǒng)的平均服務速率為 ss令令 0 1 2s-1 s2ssss+1n-1 n(1)s圖圖9-9 基本模型狀態(tài)轉移圖基本模型狀態(tài)轉移圖

51、系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖9-9。Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 49 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs穩(wěn)態(tài)概率方程穩(wěn)態(tài)概率方程 10PP(928) 120)(2PPP(929) sssPsPsP)(11(930) nnnPsPsP)(11(931) 11nnP由由解得：解得： 110011!1!ssnnnsnPsnPsssnPnPsnnnnnn00!1!(932) (933) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 50 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs20)1 ( !sPLssqqLL

52、LW qqLW 顧客需要等待顧客需要等待 (系統(tǒng)已有系統(tǒng)已有s個顧客個顧客)的概率的概率00()()!(1)!(1)ssnn sPsP nsPPss與單服務臺系統(tǒng)的方法類似，有與單服務臺系統(tǒng)的方法類似，有 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 51 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs【例【例9.5】銀行辦理個人儲蓄業(yè)務有三個窗口，顧客到達服從泊】銀行辦理個人儲蓄業(yè)務有三個窗口，顧客到達服從泊松流，到達速率為松流，到達速率為0.9人分，辦理業(yè)務時間服從負指數(shù)分布，人分，辦理業(yè)務時間服從負指數(shù)分布，每個窗口的平均服務速率為每個窗口的平均服務速率為0.4

53、人分。顧客到達后取得一個排人分。顧客到達后取得一個排隊號，依次由空閑窗口按號碼順序辦理儲蓄業(yè)務。求：隊號，依次由空閑窗口按號碼順序辦理儲蓄業(yè)務。求：(1)所有窗口都空閑的概率；所有窗口都空閑的概率；(2)平均隊長；平均隊長；(3)平均等待時間及逗留時間；平均等待時間及逗留時間；(4)顧客到達后必須等待的概率。顧客到達后必須等待的概率。【解】這是一個【解】這是一個/ : 3/FCFSMM系統(tǒng)系統(tǒng)/2.25,/0.75s (1)所有窗口都空閑的概率，即求所有窗口都空閑的概率，即求P00748. 075. 011! 3)25. 2(! 2)25. 2(! 1)25. 2(! 0)25. 2(1321

54、00PCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 52 3/22/2022(2)平均隊長，先求平均隊長，先求Lq ,再求再求L95. 325. 270. 170. 10748. 0)75. 01 (! 375. 0)25. 2(23qqLLL(3)平均等待時間和平均逗留時間，即求平均等待時間和平均逗留時間，即求Wq和和W的值的值 )(39. 44 . 0189. 11)(89. 19 . 070. 1分分qqqWWLW(4)顧客到達后必須等待，即顧客到達后必須等待，即n3 57. 00748. 0)75. 01 ( ! 3)25. 2( 33nP9.4多服務臺模型多服務臺模型

55、/MMsCh9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 53 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs9.4.2有限隊列模型有限隊列模型 / :/MMsNFCFS 0 1 2s-1 s2ssss+1N-1 N(1)s圖圖9-10 有限隊列模型狀態(tài)轉移圖有限隊列模型狀態(tài)轉移圖設系統(tǒng)容量為設系統(tǒng)容量為N(Ns)，當系統(tǒng)中的顧客數(shù)，當系統(tǒng)中的顧客數(shù)nN時，到達的顧客進時，到達的顧客進入系統(tǒng)；當入系統(tǒng)；當nN時，到達的顧客就被拒絕。設顧客到達的速率時，到達的顧客就被拒絕。設顧客到達的速率為為，每個服務臺服務的速率為，每個服務臺服務的速率為， s/系統(tǒng)的狀態(tài)轉移圖見圖系統(tǒng)的

56、狀態(tài)轉移圖見圖9-10 Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 54 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs穩(wěn)定狀態(tài)的狀態(tài)概率轉移方程為：穩(wěn)定狀態(tài)的狀態(tài)概率轉移方程為： 10PP120)(2PPP(938) (939) 21(1) sssPs PsP(940) sssPsPsP)(1112)(sssPsPsP (941) (942) NNPsP1 (943) 01NnnP得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)概率得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的狀態(tài)概率 由由11)(!)(100skNsskssksP(944) 11001(1)1!kssksPNsks Ch9 排隊論排隊論 Queuing t

57、heory Page 55 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs)(!)0(!)(00NnsPsssnPnsPnsnn (945) 系統(tǒng)的運行指標系統(tǒng)的運行指標: 02)1 ()(1)1 ( !)(PssNssLNsNsq)1 (NqPsLL)1 (NqqPLW1qWW(946) (947) (948) (949) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 56 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs【例【例9.6】某旅館有】某旅館有10個床位，旅客到達服從泊松流，平均速率個床位，旅客到達服從泊松流，平均速率為為6人天，旅客平均逗留時間

58、為人天，旅客平均逗留時間為2天，求：天，求：(1)旅館客滿的概率；旅館客滿的概率；(2) 每天客房平均占用數(shù)每天客房平均占用數(shù). 【解】這是一個即時制的【解】這是一個即時制的 /2:10/M MFCFS系統(tǒng)，其中系統(tǒng)，其中 1610,6,0.5,2,120.5Nss()01sN 10123100(12)(12)(12)(12)(12)0.00180!1!2!3!10!P10100()(12)(1)0.00180.3019!10!NsPPN旅館旅館10個床位全滿的概率為個床位全滿的概率為0.3019(2)(1)12 (1 0.3019)8.3772sLsP平均占用平均占用8.377個床位。客房占

59、用率為個床位。客房占用率為83.77%。Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 57 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs9.4.3有限顧客源模型有限顧客源模型 / :/M M sm FCFS設顧客源為有限數(shù)設顧客源為有限數(shù)m，服務臺個數(shù)為，服務臺個數(shù)為s，且，且ms。這個模型的典型。這個模型的典型例子是機器維修問題，機器數(shù)量為例子是機器維修問題，機器數(shù)量為m臺，修理工數(shù)量為臺，修理工數(shù)量為s人人 狀態(tài)概率：狀態(tài)概率： skmskkskmkmssmskmkmP010)!(1!)!( !11!1smmnsPssnmmsnPnnmmPnsnnn1!)!(!

60、0!)!(!00式中：式中： (951) (950) Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 58 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs運行指標運行指標 mnnnPL1msnnqPsnL1)()(LmLLLqeqeLW/eqqLW/)(Lme為有效到達速率為有效到達速率 式中式中Ch9 排隊論排隊論 Queuing theory Page 59 3/22/20229.4多服務臺模型多服務臺模型/MMs【例【例9.7】車間有】車間有5臺機器，每臺機器的故障率為臺機器，每臺機器的故障率為1次小時，有次小時，有2個修理工負責修理這個修理工負責修理這5臺機器，