1、黃岡中學2012年春季高二年級期末數學試題（理）一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1若復數為純虛數，則實數的值為 （ ） A B C D或【解析】由 ，故選A 2設集合A=，集合B=，則 ( )A B C D【解析】A=，B=，故選B3 ，則( )A B C D【解析】，故選4對于函數，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數”的 ( )A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D即不充分也不必要條件【解析】若是奇函數，則的圖象關于軸對稱；反之不成立，比如偶函數，滿足的圖象關于軸對稱，但不一定是奇函數，故選B5如圖，ABCD是邊

2、長為l的正方形，O為AD的中點，拋物線的頂點為O且通過點C，則陰影部分的面積為 ( )A BC D【解析】以O為原點建系，拋物線方程為，故選C6如圖，為的直徑，弦，交于點，若，則 ( )A B C D【解析】連結，則，又，從而，所以，故選D7若直線和函數的圖像恒過同一個定點，則的最小值為（ ）A10B8 C4D2【解析】過定點又點在直線上，（當時取等）, 故選C8函數在定義域R內可導，若，且當時， 設則的大小順序為（ ）A B C D【解析】由題意知函數關于對稱，單調遞增，,故選C9定義域為R的偶函數滿足對R，有，且當 時，若函數在上至少有三個零點，則的取值范圍為（ ）A B C D【解析】由

3、恒成立可知圖像以為對稱軸，周期，作出的圖像，的圖像與的圖像至少有三個交點，即有且，解得，故選B10已知函數的定義域為，部分對應值如下表的導函數的圖象如圖所示下列關于函數的命題： 函數是周期函數； 函數在是減函數； 如果當時，的最大值是2，那么的最大值為4； 當時，函數有4個零點其中真命題的個數是 ( ) A4個 B3個 C2個 D1個【解析】畫出原函數的大致圖象，得：為假命題，-1，0與4，5上單調性相反，但原函數圖象不一定對稱為真命題因為在0，2上導函數為負，故原函數遞減；為假命題，當t=5時，也滿足x-1，t時，的最大值是2；為假命題，可能有有2個或3個或4個零點故選D二填空題（本大題共5

4、小題，每小題5分，共25分）11已知命題“R”是假命題，則實數的取值范圍是_【答案】【解析】“R，”的否定“R，”為真命題，解得12若直線與曲線 （為參數）沒有公共點，則實數的取值范圍是_【答案】或【解析】曲線的普通方程是，圓心到直線 的距離，令，得或13已知函數在R上滿足，則曲線在點處的切線方程是 【答案】【解析】由， 得， 即得，故所求的切線為14設，若，則的最大值為 【答案】【解析】由柯西不等式，知15已知，若(a，t,n為正實數, ），通過歸納推理，可推測a，t的值，則 （結果用n表示）【答案】【解析】通過歸納推理，三解答題（本大題共6小題，共75分， 解答應寫出文字說明，證明過程或演

5、算步驟）16（本小題滿分12分）已知命題：函數的定義域為R，命題:函數在上是減函數，若“”為真命題，“”為假命題，求實數的取值范圍【解答】命題：或，； 命題： ，；由題意知命題有且只有一個是真命題，當為真，為假時， ，當為假，為真時，綜上可得，17（本小題滿分12分）已知函數的圖象關于原點對稱，且 （）求函數的解析式； （）如果對R，不等式恒成立，求實數的取值范圍【解答】（I）函數的圖象關于原點對稱， 故 (II)由可得：，令，當1時， ；當時，因此，實數的取值范圍為18（本小題滿分12分）已知在處取得極值（）求實數的值；（）若關于的方程在區間上恰有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍【解答】（

6、），當時，取得極值，解得，檢驗符合題意（）令則 當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，要使在區間上恰有兩個不同的實數根，只需19（本小題滿分12分）一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰橋墩之間的橋面工程費用為萬元假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元（）試寫出關于的函數關系式；（）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最小？【解答】（）設需要新建個橋墩，所以（）方法一：由（）知，令，得，所以=64當0<<64時，<0，在區間（0，64

7、）內為減函數；當時，>0，在區間（64，640）內為增函數，所以在=64處取得最小值，此時，故需新建9個橋墩才能使最小方法二： （當且僅當即取等）20（本小題滿分13分）已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由 【解答】（）證明：根據三視圖知：三棱柱是直三棱柱，連結， 交于點，連結由 是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點又為中點，為中位線， ， 因為 平面，平面， 所以 平面 （）由是直三棱柱，且，故兩兩垂直如圖建立空間直角坐標系 ，則所以 ， 設平面的法向量為，則有所以 取，

8、得 易知平面的法向量為 由二面角是銳角，得 ，即二面角的余弦值為（）假設存在滿足條件的點因為在線段上，故可設，其中所以 ， 因為與成角，所以 即，解得，舍去， 所以當點為線段中點時，與成角 21（本小題滿分14分）設函數(為自然對數的底數)，（）（）證明：；（）當時，比較與的大小，并說明理由；（）證明：（）【解答】（）證明：設，所以當時，當時，當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得唯一極小值，因為，所以對任意實數均有 即，所以（）當時，用數學歸納法證明如下：當時，由（1）知；假設當（）時，對任意均有，令，因為對任意的正實數， 由歸納假設知，即在上為增函數，亦即，因為，所以從而對任意，有,即對任意，有，這就是說，當時，對任意，也有由,知，當時，都有（）證明1：先證對任意正整數，由（）知，當時，對任意正整數，都有令，得所以再證對任意正整數，要證明上式，只需證明對任意正整數，不等式成立即要證明對任意正整數，不等式（*）成立方法1（數學歸納法）：當時，成立，所以不等式（*）成立假設當（）時，不等式