1、第三章第三章 環境系統數學模型環境系統數學模型我們我們常見常見的的 數學數學模型模型玩具、照片玩具、照片.風洞中的飛機風洞中的飛機.地圖、電路圖地圖、電路圖.實物模型實物模型物理模型物理模型符號模型符號模型觀點：觀點：所謂的所謂的高科技高科技就是一種就是一種數學技術數學技術。什么是數學模型什么是數學模型建模的三大功能：解釋、判斷、預見建模的三大功能：解釋、判斷、預見解釋解釋孟德爾遺傳定律孟德爾遺傳定律RrRr( Rr)RRRrRrrr+表現性狀比：表現性狀比：3 3：1 1放射性廢物處理放射性廢物處理美國原子能委員會提出如下的處理濃縮放美國原子能委員會提出如下的處理濃縮放射性廢物的方案：封裝入

2、密封性很好的射性廢物的方案：封裝入密封性很好的堅固的圓桶中，沉入堅固的圓桶中，沉入300300feet的海里。的海里。而一些工程師提出質疑？需要判斷方案的而一些工程師提出質疑？需要判斷方案的合理性。合理性。判斷判斷30040vft s？F重重F浮浮f f阻阻0.08v0.08v谷神星的發現谷神星的發現預見預見行星的軌道半徑行星的軌道半徑143 21010,0,1,2,?,4,5nRn 水、金、地、火、？、木、土水、金、地、火、？、木、土1802年，發現了谷神星與年，發現了谷神星與3 3對應，之對應，之后，還發現了海王星、冥王星后，還發現了海王星、冥王星你碰到過的數學模型你碰到過的數學模型“航行

3、問題航行問題” 甲乙兩地相距750 公里，船從甲到乙順水航行需30 小時，從乙到甲逆水航行需50 小時，問船的速度是多少。用x表示船速，y表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解得到 x=20, y=5,答：船速每小時答：船速每小時2020公里公里航行問題建立數學模型的基本步驟航行問題建立數學模型的基本步驟 作出簡化假設（船速、水速為常數）； 用符號表示有關量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數學式子（二元一次方程）； 求解得到數學解答（x=20, y=5）； 回答原問題（船速每小時20公里）。數學模型 (Mathematica

4、l Model) 和數學建模（Mathematical Modeling)數學模型數學模型: :對于一個現實對象對象，為了一個特定目的目的，根據其內在規律規律，作出必要的簡化假設假設，運用適當的數學工具數學工具，得到的一個數學結構數學結構。數學建模：數學建模：建立數學模型的全過程全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數數 學學 建建 模模 的的 重重 要要 意意 義義 電子計算機的出現及飛速發展 數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數學建模計算機技術如虎添翼如虎添翼知識經濟內內 容容第一節第一節 環境數學模型概述環境數學模型概述

5、 第二節第二節 環境數學模型的建模方法簡介環境數學模型的建模方法簡介 第三節第三節 EXCELEXCEL在建立數學模型中的應用在建立數學模型中的應用3-13-1環境數學模型概述環境數學模型概述一、定義和分類一、定義和分類 1.1.定義定義如果一個事物如果一個事物 M M 與另一個事物與另一個事物 S S 之間，滿足兩個條之間，滿足兩個條件：件： M M 中包含有一些元素中包含有一些元素( (分量分量) )，每個元素，每個元素( (分量分量) )分別分別對應和代表對應和代表 S S 中的一個元素中的一個元素( (分量分量) )； M M 中的上述分量之間應存在一定的關系，這種個關中的上述分量之間

6、應存在一定的關系，這種個關系可以用于與系可以用于與 S S 的分量間關系進行類比。的分量間關系進行類比。 我們則將事物我們則將事物 M M 稱為事物稱為事物 S S 的的模型模型。滿足模型條件的數學表達式和算法滿足模型條件的數學表達式和算法叫做數學模型叫做數學模型環境系統工程中的數學模型是應用數學語言和方環境系統工程中的數學模型是應用數學語言和方法來描述環境污染過程中的物理、化學、生物法來描述環境污染過程中的物理、化學、生物化學、生物生態以及社會等方面的內在規律和化學、生物生態以及社會等方面的內在規律和相互關系的數學方程。相互關系的數學方程。2.模型的形式模型的形式數學模型數學模型:方程式方程

7、式,函數函數,邏輯式邏輯式圖象模型圖象模型:流程圖流程圖,方向圖方向圖,框圖；框圖；計算機程序計算機程序:計算程序計算程序,模擬程序模擬程序相似模型相似模型:(實物放大縮小實物放大縮小)建筑模型，風洞實驗模型建筑模型，風洞實驗模型模擬模型模擬模型:電模擬模型電模擬模型模模型型抽象模型抽象模型具體模型具體模型3.3.數學模型的特點數學模型的特點數學模型的最大特點是它的數學模型的最大特點是它的抽象性抽象性和對真實世界的和對真實世界的理想化和理想化和簡化簡化，它要比其它模型更抽象、更簡化、，它要比其它模型更抽象、更簡化、更反映事物本質更反映事物本質 優點：優點：1 1）用數學模型進行對原型的展示和模

8、擬研究，不需）用數學模型進行對原型的展示和模擬研究，不需要過多的專用設備和用材料制作模型，僅要過多的專用設備和用材料制作模型，僅需要一需要一臺計算機臺計算機，比較容易實現，而且不受外界惡劣條，比較容易實現，而且不受外界惡劣條件影響，可以加快模擬研究的進度。件影響，可以加快模擬研究的進度。2 2）在實物模型上或原型上進行某些條件的模擬試驗）在實物模型上或原型上進行某些條件的模擬試驗研究是不允許的或是不可能做到的，這些特殊或研究是不允許的或是不可能做到的，這些特殊或極限情況在數學模型中可以很容易做到，而且在極限情況在數學模型中可以很容易做到，而且在數學模型模擬中數學模型模擬中不存在放大效應。不存在

9、放大效應。 3 3）在環境科學與工程領域，常常需要對）在環境科學與工程領域，常常需要對大范圍大范圍區域區域進行研究，如流域、區域、全球環境，這對物理進行研究，如流域、區域、全球環境，這對物理模型幾乎是不可能的，數學模型可以作到。模型幾乎是不可能的，數學模型可以作到。4 4）利用計算機和多媒體技術，數學模型也可以把模）利用計算機和多媒體技術，數學模型也可以把模擬結果表現的十分擬結果表現的十分逼真逼真 制約制約 1 1）抽象或簡化可能或往往不完全正確，在描述系統）抽象或簡化可能或往往不完全正確，在描述系統的某些特征時有可能忽略了關鍵因素，造成模型的某些特征時有可能忽略了關鍵因素，造成模型失真失真

10、2 2）二是由于系統本身的復雜性，數學模型僅能夠對）二是由于系統本身的復雜性，數學模型僅能夠對系統進行粗略的近似，模型本身存在著固有誤差，系統進行粗略的近似，模型本身存在著固有誤差，如果不切實際地要求提高如果不切實際地要求提高精度精度，會使得模型變得，會使得模型變得十分十分復雜復雜，計算困難或根本無法獲得可靠的解答，計算困難或根本無法獲得可靠的解答 。4.數學模型的分類數學模型的分類劃分依據劃分依據模型類型模型類型變量與時間關系變量與時間關系穩態模型穩態模型 動態模型動態模型變量間關系變量間關系線性模型線性模型 非線性型非線性型變量性質變量性質確定性模型確定性模型 隨機性型隨機性型參數性質參數

11、性質集中參數模型集中參數模型 分布參數模型分布參數模型模型用途模型用途模擬模型模擬模型( (評價評價) )，管理模型，管理模型( (優化優化) )環境系統數學模型的環境系統數學模型的一般建模方法一般建模方法 環境系統數學模型的環境系統數學模型的基本結構基本結構如果我們關心的是環境系統的某一個如果我們關心的是環境系統的某一個狀態變量狀態變量Y Y（例（例如某污染物濃度或物理參數，如多個關心變量，如某污染物濃度或物理參數，如多個關心變量，成為方程組），影響這一狀態變量的系統變量可成為方程組），影響這一狀態變量的系統變量可以分成系統其它以分成系統其它狀態變量狀態變量 （ x x1 1，x x2 2，

12、.x.xn n）和）和外部變量外部變量 （ u u1 1，u u2 2，.u.um m），模型中），模型中參數參數為為（ 1 1， 2 2，. . p p）。則數學模型的一般結構可以）。則數學模型的一般結構可以表達為：表達為： , ,yf x u 環境系統模型中變量的分類環境系統模型中變量的分類 干擾變量干擾變量 決策變量決策變量 狀態變量狀態變量 中間變量中間變量 u, x y環境系統環境系統 yu二、數學模型的建立二、數學模型的建立建模過程建模過程觀測數觀測數據組據組模型結模型結構選擇構選擇模型模型應用應用觀測數據組觀測數據組參數參數估計估計檢 驗 與 驗檢 驗 與 驗證證1.1.數據的搜

13、集與初步分析數據的搜集與初步分析1 1）數據（或資料，即）數據（或資料，即datadata） 客觀實體屬性的值，是對客觀事物及其狀態進行記客觀實體屬性的值，是對客觀事物及其狀態進行記錄而得到的用于鑒別的符號。錄而得到的用于鑒別的符號。2 2）信息（）信息（informationinformation） 信息是反映客觀情況的，信息是反映客觀情況的，它表達和反映了人們對某它表達和反映了人們對某一事物的認識和了解程度；一事物的認識和了解程度；信息與決策是密切相關信息與決策是密切相關的，正確的決策必須依靠和控制有足夠數量和質量的，正確的決策必須依靠和控制有足夠數量和質量的信息，信息通過決策體現自身的價

14、值；信息是抽的信息，信息通過決策體現自身的價值；信息是抽象的認識或知識。象的認識或知識。3 3） 數據處理數據處理（1 1）明確收集數據的目標）明確收集數據的目標（2 2）有時間的連續性和一定的時間跨度）有時間的連續性和一定的時間跨度（3 3）鑒別可靠性）鑒別可靠性4）信息源的概念：與目標有關的信息集合信息源的概念：與目標有關的信息集合信息信息源源信信息息目目標標5 5）信息源的性質）信息源的性質不可預知部分不可預知部分將可理解部分將可理解部分遺漏部分遺漏部分已理解部分已理解部分可知部分可知部分不可知部分不可知部分本質本質上不上不可知可知部分部分信息源信息源2 2、模型的結構、模型的結構1 1

15、）. .白箱模型又稱機理模型白箱模型又稱機理模型 根據對系統的結構和性質的了解根據對系統的結構和性質的了解, ,以客觀事物變化遵以客觀事物變化遵循的物理化學定律為基礎，經邏輯演繹而建立起循的物理化學定律為基礎，經邏輯演繹而建立起的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹的模型是機理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。法。機理模型具有機理模型具有唯一性唯一性建立機理模型最主要的方法是建立機理模型最主要的方法是質量平衡法質量平衡法規律相同時可以通用規律相同時可以通用 2 2）黑箱模型又稱經驗模型或輸入輸出模型）黑箱模型又稱經驗模型或輸入輸出模型人們對系統運行規律沒有掌握，僅根據觀察即一定人們對系統運

16、行規律沒有掌握，僅根據觀察即一定輸入條件下的系統輸出。建立模型時不追究系統輸入條件下的系統輸出。建立模型時不追究系統運行內在機理，僅根據輸入輸出數據的觀測，在運行內在機理，僅根據輸入輸出數據的觀測，在數理統計基礎上建立起的經驗模型的方法叫歸納數理統計基礎上建立起的經驗模型的方法叫歸納法。法。系統或狀態下使用是系統或狀態下使用是有條件有條件的的 經驗模型經驗模型不不具有具有唯一唯一性，可被多種不同類型的函數性，可被多種不同類型的函數描述描述 本世紀二十年代本世紀二十年代, ,意大利生物學家意大利生物學家 U.DAnconaU.DAncona在研在研究相互制約的各魚類種群結構時發現究相互制約的各魚

17、類種群結構時發現, ,食肉魚類的食肉魚類的百分比在第一次世界大戰期間急劇增加。當時他百分比在第一次世界大戰期間急劇增加。當時他認為是由于戰爭期間捕撈量大大降低的結果認為是由于戰爭期間捕撈量大大降低的結果, ,但捕但捕撈量的減少也同樣有利于被捕食的小魚。盡管撈量的減少也同樣有利于被捕食的小魚。盡管 U.D. Ancona U.D. Ancona 從生物學的角度多方考慮，始終未從生物學的角度多方考慮，始終未能取得滿意的結果；然而能取得滿意的結果；然而, ,這一問題被意大利數學這一問題被意大利數學家家 Volterra Volterra 解決解決, ,他建立起著名的他建立起著名的“捕食模型捕食模型”

18、。從所討論的事物出發來建立模型時，首先使重要特從所討論的事物出發來建立模型時，首先使重要特征以分量形式出現在模型中，在本問題中用征以分量形式出現在模型中，在本問題中用 x x 表表示被捕食肉的小魚的種群數，以示被捕食肉的小魚的種群數，以 y y 表示食肉魚類表示食肉魚類( (大魚大魚) )的種群數的種群數, ,要求獲得其相互制約關系要求獲得其相互制約關系, ,及人及人類活動對該關系的影響。類活動對該關系的影響。Volterra Volterra 的捕食模型為：的捕食模型為：kxBxyAxdtdxBxyAxdtdxDyCxydtdy(A ,B ,C ,D ,x,y 0)kyDyCxydtdy新平

19、衡點 yP =(A-k)/B xP =(D+k)/C再討論捕撈的影響,若對大魚和小魚都具有相同的捕撈比率,原模型轉變為Y X ( X1k, Y1k )( X0, Y0 )( X12, Y12 )( X10, Y10 )( X11, Y11 )( XP, YP )圖圖1-3 Volterra捕食模型的軌線結構由dx/dt =0 解出 y0=A/B；由dy/dt =0 解出 x0=D/C；例：在例：在x4x r r sin sin 則雨淋在前胸上的雨量為則雨淋在前胸上的雨量為則，代入常數的總量為則，代入常數的總量為4sin30.8cos1.44 104sinCDIwh(rsin)vv3330.8c

20、os1.56sin1.44 100.8cos6sin1.04 101.44 10vCvv于是，在于是，在為負角的情況下，為負角的情況下，當當 即即 時，時，V V盡可能大，盡可能大，C C才能盡可能小，才能盡可能小，當當 即，即，才是淋雨量最小。才是淋雨量最小。0.8cos6sin020tan15sinvr0.8cos6sin02tan15 上述結果似乎與實際有些相符上述結果似乎與實際有些相符 結論：結論： 如果你是如果你是逆風逆風行走，則越快越好；行走，則越快越好； 如果是如果是順風順風行走，則當雨的傾角行走，則當雨的傾角大于大于約約8 8時，你時，你應該保持與降雨的水平速度一致的速度；而當

21、雨應該保持與降雨的水平速度一致的速度；而當雨基本上是垂直而下時（傾角基本上是垂直而下時（傾角小于小于約約8 8），還是），還是越越快越好快越好。雨中行走問題的建模過程，又一次提醒我們模型假雨中行走問題的建模過程，又一次提醒我們模型假設的重要性和模型的階段性。設的重要性和模型的階段性。問題問題3 3：某校有某校有200200名學生，甲系名學生，甲系100100名，乙系名，乙系6060名，丙名，丙系系4040名，若學生代表會議設名，若學生代表會議設2020個席位，問三系個席位，問三系各有多少個席位？各有多少個席位？問題的提出問題的提出按慣例分配席位方案，即按人數比例分配原則按慣例分配席位方案，即按

22、人數比例分配原則Npqmm m 表示某單位的席位數表示某單位的席位數P P 表示某單總人數表示某單總人數N N 表示總人數表示總人數q q 表示總席位數表示總席位數現有現有6 6名學生從丙系轉到甲乙系各名學生從丙系轉到甲乙系各3 3名名2020個席位的分配個席位的分配(20/100)20=4(30/100)20=6(50/100)20=10分配方案分配方案440/20040 丙丙660/20060乙乙10100/200100甲甲席位數席位數所占比例所占比例人數人數系別系別17.0%20=3.431.5%20=6.351.5 %20 =10.3分配方案分配方案4 434/200=17.0%34

23、丙丙6 663/200=31.5%63乙乙1010103/200=51.5%103甲甲席位數席位數所占比例所占比例人數人數系別系別現象現象1 1：丙系少了：丙系少了6 6人，但席位仍是人，但席位仍是4 4位，位，不公平！不公平！為了在表決提案時可能出現為了在表決提案時可能出現1010：1010的平局，再設一個的平局，再設一個席位。席位。2121個席位的分配結果個席位的分配結果17.0%21=3.57031.5%21=6.61551.5 %21=10.815分配方案分配方案34/200=17.0%34 34 丙丙63/200=31.5%6363乙乙103/200=51.5%103103甲甲席位數

24、席位數所占比例所占比例人數人數系別系別1173現象現象2 2：總席位增加一席，丙系反而減少一席（不公平！）：總席位增加一席，丙系反而減少一席（不公平！）慣例分配：按比例分配完取整數的名額后，剩下的名額慣例分配：按比例分配完取整數的名額后，剩下的名額按慣例分給小數部分較大者。按慣例分給小數部分較大者。存在不公平現象，能否給出更公平的分配席位的方案？存在不公平現象，能否給出更公平的分配席位的方案？ 建模分析建模分析目標：建立公平的分配方案。目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數量指標可用每席位代表的人數來衡量。反映公平分配的數量指標可用每席位代表的人數來衡量。34/4=8.534/4=8.56

25、3/6=10.563/6=10.5103/10=10.3103/10=10.3每席位代表的人數每席位代表的人數4 46 61010席位數席位數好好34 34 丙丙差差6363乙乙中中103103甲甲公平程度公平程度人數人數系別系別40/4=1040/4=1060/6=1060/6=10100/10=10100/10=10每席位代表的人數每席位代表的人數4 440 40 丙丙6 66060乙乙1010100100甲甲席位數席位數人數人數系別系別34/3=11.3334/3=11.3363/7=963/7=9103/11=9.36103/11=9.36每席位代表的人數每席位代表的人數3 37 71

26、111席位數席位數差差34 34 丙丙好好6363乙乙中中103103甲甲公平程度公平程度人數人數系別系別一般地，一般地，每席位代表的人數每席位代表的人數席位數席位數B BA A人數人數單位單位1p2p1n2n11np22np當當2211npnp席位分配公平席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。準來判斷。準。稱為“絕對不公平”標 ) 12211npnp值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。100100101010001000DD102-100102-100=

27、2=2102102101010201020C C10101010100100B B12-10=212-10=212121010120120A A絕對不公平絕對不公平標準標準每席位代表每席位代表的人數的人數席位數席位數n n人數人數p p單位單位C,DC,D的不公平程度大為改善！的不公平程度大為改善！2 2） 相對不公平相對不公平np表示每個席位代表的人數，總人數一定時，此值表示每個席位代表的人數，總人數一定時，此值越大，代表的人數就越多，分配的席位就越少。越大，代表的人數就越多，分配的席位就越少。2211npnp則則A A吃虧吃虧, ,或對或對A A 是不公平的。是不公平的。定義定義“相對不公

28、平相對不公平”則稱，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA對對A A的相對不公平值的相對不公平值同理，可定義對同理，可定義對B B 的相對不公平值為：的相對不公平值為：則稱，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB對對B B的相對不公平值的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數量指標建立了衡量分配不公平程度的數量指標BArr ,制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。:建模建模若若A A、B B兩方已占有席位數為兩方已占有席位數為,21nn用相對不公平值用相對不

29、公平值討論當席位增加討論當席位增加1 1 個時，應該給個時，應該給A A 還是還是B B 方。方。不失一般性，不失一般性， 2211，若npnp有下面三種情形。有下面三種情形。情形情形1 1 1 2211，npnp說明即使給說明即使給A A 單位增加單位增加1 1席，仍對席，仍對A A不公平，所增這一席必須給不公平，所增這一席必須給A A單位。單位。情形情形2 2 1 2211，npnp說明當對說明當對A A 不公平時，給不公平時，給A A單單位增加位增加1 1席，對席，對B B又不公平。又不公平。計算對計算對B B 的相對不公平值的相對不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211

30、112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp說明當對說明當對A A不公平時，給不公平時，給B B單位單位增加增加1 1席，對席，對A A 不公平。不公平。計算對計算對A A 的相對不公平值的相對不公平值1) 1() 1() 1() 1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA),1,(), 1(2121nnrnnrAB若則這一席位給則這一席位給A A 單位，否則給單位，否則給B B 單位。單位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) )

31、 1() 1(11222212nnpnnp結論結論：當（：當（* *）成立時，增加的一個席位應分配給）成立時，增加的一個席位應分配給A A 單單位，位，反之，應分配給反之，應分配給 B B 單位。單位。記作記作21 ) 1(2, innpQiiii則增加的一個席位應分配給則增加的一個席位應分配給Q Q值較大的一方。值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為這樣的分配席位的方法稱為Q Q值方法。值方法。若若A A、B B兩方已占有席位數為兩方已占有席位數為,21nn4 4 推廣推廣 有有m m方分配席位的情況方分配席位的情況設設iA方人數為方人數為ip，已占有，已占有in個席位個席位，mi,2, 1

32、當總席位增加當總席位增加1 1 席時，計算席時，計算m, innpQiiii, 21 ) 1(2則則1 1席應分給席應分給Q Q值最大的一方。從值最大的一方。從 開始，即每方開始，即每方至少應得到以至少應得到以1 1 席，（如果有一方席，（如果有一方1 1 席也分不到，則席也分不到，則把它排除在外。）把它排除在外。）1inF舉例舉例甲、乙、丙三系各有人數甲、乙、丙三系各有人數103103，6363，3434，有，有2121個席個席位，如何分配？位，如何分配？按按Q Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785) 11 ( 134, 5 .98

33、41) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ1丙丙1乙乙1甲甲785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(3103232221QQQ45678910111213141516 1718192021甲：甲：1111，乙：，乙：6 6，丙：，丙：4 4第二節第二節 環境數學建模方法簡介環境數學建模方法簡介 一、系統結構和過程分析方法一

34、、系統結構和過程分析方法二、污染物稀釋擴散模型二、污染物稀釋擴散模型三、機理分析建模法三、機理分析建模法四、回歸分析建模四、回歸分析建模五、時間序列建模五、時間序列建模 灰箱模型的建立，一般從對對象系統的調查和灰箱模型的建立，一般從對對象系統的調查和研究開始，掌握系統的結構和系統內現象發生研究開始，掌握系統的結構和系統內現象發生的過程，通過分析建立系統的定性模型，又稱的過程，通過分析建立系統的定性模型，又稱概念模型，然后研究系統內發生的各類過程數概念模型，然后研究系統內發生的各類過程數學表達式，把系統變化過程定量化。學表達式，把系統變化過程定量化。 黑箱模型，常采用測試分析的方法建立，即將研黑

35、箱模型，常采用測試分析的方法建立，即將研究的系統視為一個黑箱系統，測量系統的輸入和究的系統視為一個黑箱系統，測量系統的輸入和輸出數據，并以此為依據運用統計分析方法，在輸出數據，并以此為依據運用統計分析方法，在某一類模型中選擇一個與數據擬合得比較好的模某一類模型中選擇一個與數據擬合得比較好的模型。型。 1 1、模型變量的篩選與確定、模型變量的篩選與確定1 1）首先建立環境輸入輸出模型時，根據建模的目的，）首先建立環境輸入輸出模型時，根據建模的目的，很容易確定要描述的系統變量，即很容易確定要描述的系統變量，即因變量因變量。2 2）然后，利用對系統的初步了解，特別是利用專業）然后，利用對系統的初步了

36、解，特別是利用專業知識和經驗確定影響應變量的因素，即需要考慮知識和經驗確定影響應變量的因素，即需要考慮模型的模型的自變量自變量。3 3）搜集歷史數據或組織試驗觀察獲得數據，為建模）搜集歷史數據或組織試驗觀察獲得數據，為建模作準備。作準備。注意問題注意問題：1 1）可能會把對因變量影響很小的自變量引入，也有）可能會把對因變量影響很小的自變量引入，也有可能漏掉一些重要的自變量和控制變量，可能漏掉一些重要的自變量和控制變量，2 2）有一些）有一些變量間互相不獨立變量間互相不獨立，在利用逐步回歸方法，在利用逐步回歸方法建立模型時可以消除變量間相互影響或相互重疊建立模型時可以消除變量間相互影響或相互重疊

37、對模型的影響。對模型的影響。3 3）一些重要變量可能在建模觀察的系統變化范圍內一些重要變量可能在建模觀察的系統變化范圍內變化很小變化很小，一般不考慮作為變量引進模型，因為，一般不考慮作為變量引進模型，因為很難觀察，引進后用處也不大。很難觀察，引進后用處也不大。4 4）模型變量的選擇是一個）模型變量的選擇是一個反復研究的過程反復研究的過程，歷史上，歷史上對類似問題的研究可以幫助確定需要引入的變量。對類似問題的研究可以幫助確定需要引入的變量。 2.2.數學模型結構的選擇數學模型結構的選擇 通過表達式變換，把曲線函數形式轉化為線性函數形通過表達式變換，把曲線函數形式轉化為線性函數形式。式。不少數學手

38、冊上還有這些函數的圖形和直線化方程，不少數學手冊上還有這些函數的圖形和直線化方程，對我們選擇輸入輸出模型結構形式很有幫助。對我們選擇輸入輸出模型結構形式很有幫助。 lnln0.4343bxyaeyabx11yabxabxyxxyabxabxy23012301 122.ybb xb xb xybb xb x3.3.合理安排系統實驗或觀察合理安排系統實驗或觀察用于建立輸入輸出模型用于建立輸入輸出模型數據的質量決定了模型產品數據的質量決定了模型產品的質量的質量。建模用的原始數據質量和觀測方法及觀。建模用的原始數據質量和觀測方法及觀測儀器精度有關，也和試驗或觀察的安排有關。測儀器精度有關，也和試驗或觀

39、察的安排有關。觀察點位的分布應該考慮系統的變化規律，變化劇觀察點位的分布應該考慮系統的變化規律，變化劇烈地方宜多布點烈地方宜多布點 對對自變量取值自變量取值進行進行觀察的次數觀察的次數應該選得合理，保證應該選得合理，保證一定的精度，又不過多加重試驗負擔，這方面主一定的精度，又不過多加重試驗負擔，這方面主要靠經驗。要靠經驗。 模型中各變量的模型中各變量的觀察精度要協調觀察精度要協調，不要盲目增加某，不要盲目增加某些變量的觀察精度，而另一些變量卻觀察的十分些變量的觀察精度，而另一些變量卻觀察的十分粗糙，這時候模型的精度完全由觀察粗糙的變量粗糙，這時候模型的精度完全由觀察粗糙的變量決定了。決定了。

40、合理設計建模合理設計建模試驗方案試驗方案，可以采用科學的試驗方法，可以采用科學的試驗方法 系統內污染物的分布和變化情況系統內污染物的分布和變化情況污染源污染源其他有關物質其他有關物質環境介質環境介質污染物污染物污染受體污染受體系統組成系統組成系統內污染物的分布和變化情況系統內污染物的分布和變化情況有關的過程有關的過程污染物污染物排放排放污染物污染物相 間相 間遷移遷移污染物轉化或污染物轉化或化學生物學化學生物學反應反應環境介質環境介質中的稀中的稀釋釋一、系統結構和過程分析方法一、系統結構和過程分析方法 例如：河流中溶解氧濃度分布及其變化，影響因素及例如：河流中溶解氧濃度分布及其變化，影響因素及

41、各因素間發生的過程可以用圖表示。這個圖就是一各因素間發生的過程可以用圖表示。這個圖就是一個系統概念模型，美國個系統概念模型，美國QUAL-IIQUAL-II河流水質模型就是對河流水質模型就是對它定量化開發出來的。我們從圖中可以知道，河流它定量化開發出來的。我們從圖中可以知道，河流中溶解氧濃度受大氣復氧過程、中溶解氧濃度受大氣復氧過程、CBODCBOD耗氧過程，耗氧過程，NBODNBOD耗氧過程、底泥耗氧過程、藻類呼吸耗氧和光耗氧過程、底泥耗氧過程、藻類呼吸耗氧和光合作用產氧作用控制。磷一般不直接影響溶解氧，合作用產氧作用控制。磷一般不直接影響溶解氧，但它對河流中藻類濃度有較大影響，間接影響溶解

42、但它對河流中藻類濃度有較大影響，間接影響溶解氧濃度，它來源于人為排放，還通過底泥分解有機氧濃度，它來源于人為排放，還通過底泥分解有機物而向水中釋放。底泥中有機物厭氧分解，產生溶物而向水中釋放。底泥中有機物厭氧分解，產生溶解性有機物和氨氮進入水系統，底泥和水中有機物解性有機物和氨氮進入水系統，底泥和水中有機物之間存在物質交換，顆粒態有機物可能沉入底泥，之間存在物質交換，顆粒態有機物可能沉入底泥，底泥也可能被沖刷進入河水，在底泥或水中消耗溶底泥也可能被沖刷進入河水，在底泥或水中消耗溶解氧。解氧。 大氣大氣河流河流溶解溶解氧氧底泥底泥CBOD水中磷水中磷藻類葉綠素藻類葉綠素aNH3-NNO2-NNO

43、3-N 大氣復氧過程大氣復氧過程 CBODCBOD耗氧過程耗氧過程 底泥耗氧過程底泥耗氧過程藻類生物量受許多因素制約藻類生物量受許多因素制約 asdCKCCdtddLK Ldt11dcbddLrk Ldt331lnexpLmNpLNKL IpNKpKHKL IHNBODNBOD耗氧過程比耗氧過程比CBODCBOD要復雜得多，首先分解成氨氮，要復雜得多，首先分解成氨氮，進一步分解成亞硝酸態氮，最后才形成硝酸態氮進一步分解成亞硝酸態氮，最后才形成硝酸態氮 1111dNk Ndt 2222121dNk Nk Ndt 3333232dNk Nk Ndt 4444343dNk Nk Ndt 二、污染物稀

44、釋擴散模型的推導和建立二、污染物稀釋擴散模型的推導和建立 1 1、污染物在環境介質中的輸送和稀釋擴散特征、污染物在環境介質中的輸送和稀釋擴散特征 1 1）推流遷移推流遷移推流遷移是污染物隨介質運動而發生的位置變化，推流遷移是污染物隨介質運動而發生的位置變化，不不改變環境介質中污染物的濃度改變環境介質中污染物的濃度。通過某斷面單位面。通過某斷面單位面積的污染物通量積的污染物通量f f f = u Cf = u C分解到三個坐標軸，則有分解到三個坐標軸，則有 f fx x = u = ux x C f C fy y = u = uy y C f C fz z = u = uz z C C式中，式中

45、，u u為該處環境介質流速，為該處環境介質流速，C C為該處污染物濃度。為該處污染物濃度。 2 2）擴散作用擴散作用污染物在湍流流動的介質中，在濃度梯度作用下存在污染物在湍流流動的介質中，在濃度梯度作用下存在兩種擴散作用：兩種擴散作用：分子擴散分子擴散作用和作用和湍流擴散作用湍流擴散作用。a.a.分子擴散分子擴散是由分子的隨機運動引起的分散現象，擴是由分子的隨機運動引起的分散現象，擴散過程服從散過程服從FickFick第一擴散定律，即分子擴散通量第一擴散定律，即分子擴散通量I I與擴散物質的濃度梯度成正比。對三個坐標軸，有：與擴散物質的濃度梯度成正比。對三個坐標軸，有： xMdcIEdx yM

46、dcIEdy zMdcIEdz E EM M 為分子擴散系數為分子擴散系數 b.b.湍流擴散湍流擴散是湍流流場中質點隨機運動引起的一種是湍流流場中質點隨機運動引起的一種分散現象。當質點的隨機運動是穩定的條件下，分散現象。當質點的隨機運動是穩定的條件下，湍流擴散規律也可以用湍流擴散規律也可以用FickFick第一定律描述，但其第一定律描述，但其系數是湍流擴散系數。和分子擴散系數不同，湍系數是湍流擴散系數。和分子擴散系數不同，湍流擴散系數往往是各向異性的。流擴散系數往往是各向異性的。 xxdcIEdx yydcIEdy zzdcIEdz C C為一定時間周期內的平均濃度為一定時間周期內的平均濃度

47、c.c.彌散現象可以定義為由空間各點流速（或其他參彌散現象可以定義為由空間各點流速（或其他參數）與考察空間的平均值的系統差別所產生的分數）與考察空間的平均值的系統差別所產生的分散現象。散現象。彌散也可以用（沒有嚴格的理論證明）彌散也可以用（沒有嚴格的理論證明）Fick Fick 第一第一定律的形式表示。定律的形式表示。 xxdcIDdx yydcIDdy zzdcIDdz 彌散現象只有在彌散現象只有在考察空間平均濃度考察空間平均濃度時才進入模型中來，時才進入模型中來，這時的濃度參數和流速都是空間平均值這時的濃度參數和流速都是空間平均值 但是對空間平均濃度來說，這三種分散作用的大小相但是對空間平

48、均濃度來說，這三種分散作用的大小相差懸殊，河流中分子擴散系數差懸殊，河流中分子擴散系數1010-5-5-10-10-4-4 m m2 2/s/s，湍流，湍流擴散系數擴散系數1010-2-2-10-10-0-0 m m2 2/s/s，彌散系數，彌散系數10101 1-10-10 4 4 m m2 2/s /s 2 2、污染物的衰減和轉化性質、污染物的衰減和轉化性質 非守恒物質非守恒物質進入環境之后，除了稀釋、擴散和遷移進入環境之后，除了稀釋、擴散和遷移之外，自己還發生自我分解或在其他化學物質與之外，自己還發生自我分解或在其他化學物質與生物的作用下衰減。由于污染物在環境中的濃度生物的作用下衰減。由

49、于污染物在環境中的濃度很低，一般都把這種衰減看作是一級反應，產生很低，一般都把這種衰減看作是一級反應，產生的誤差不會很大。的誤差不會很大。守恒物質在環境輸送和遷移過程中認為不發生轉化守恒物質在環境輸送和遷移過程中認為不發生轉化和相間轉移。和相間轉移。 ddLkLdt 河流湖泊中的有機物，一般根據它們的持久期長短河流湖泊中的有機物，一般根據它們的持久期長短分辨是否是持久性污染物。）分辨是否是持久性污染物。）持久期持久期是指物質進入環境至是指物質進入環境至75%75%在環境中在環境中消失消失所需要所需要的時間的時間 分分 類類持持 久久 期期實實 例例非持久性有機物非持久性有機物1-121-12周

50、周大多數有機磷殺大多數有機磷殺蟲劑蟲劑弱持久性有機物弱持久性有機物3-203-20個月個月甲基對硫磷甲基對硫磷持久性有機物持久性有機物2-52-5年年有機氯化合物，有機氯化合物，DDTDDT永久性污染物永久性污染物不降解不降解金屬類、無機鹽金屬類、無機鹽類類環境介質的推流遷移作用，污染物的分散作用和衰減環境介質的推流遷移作用，污染物的分散作用和衰減過程過程0aAx0aA0aAx(1) 推流遷移 (2)推流遷移+分散 (3)推流遷移+分散+衰減A=a A=a Aax假如進入環境的污染物能夠和介質互相融合，具有相同的流體假如進入環境的污染物能夠和介質互相融合，具有相同的流體力學性質，無相間轉移現象

51、，從而可以把污染物質點看作力學性質，無相間轉移現象，從而可以把污染物質點看作是流體質點進行分析。是流體質點進行分析。按空間維數分類；分為零維、一維、二維、三維水質模型。按空間維數分類；分為零維、一維、二維、三維水質模型。當把所考察的水體看成是一個當把所考察的水體看成是一個完全混合反應器完全混合反應器時，即水體中水時，即水體中水質組分的濃度是均勻分布的，描述這種情況的水質模型稱質組分的濃度是均勻分布的，描述這種情況的水質模型稱為為零維零維的水質模型。的水質模型。描述水質組分的遷移變化在描述水質組分的遷移變化在一個方向一個方向上是重要的，另外兩個方上是重要的，另外兩個方向上是均勻分布的，這種水質模

52、型稱為向上是均勻分布的，這種水質模型稱為一維一維水質模型。水質模型。描述水質組分的遷移變化在描述水質組分的遷移變化在兩個方向兩個方向上是重要的，在另外的一上是重要的，在另外的一個方向上是均勻分布的，這種水質模型稱為個方向上是均勻分布的，這種水質模型稱為二維二維水質模型。水質模型。描述水質組分，遷移變化在描述水質組分，遷移變化在三個方向三個方向進行的水質模型稱為進行的水質模型稱為三維三維水質模型。水質模型。 1 1）零維環境質量基本模型（箱模型）的推導）零維環境質量基本模型（箱模型）的推導 根據質量守衡可寫根據質量守衡可寫出完全混合反應出完全混合反應器的平衡方程器的平衡方程, ,即即零維模型零維

53、模型 連續流完全混合反應器連續流完全混合反應器Q,C0Q,CSV,C0()dCVQ CCSKCVdt如果單元內沒有源和匯項，并且自身衰減可以看如果單元內沒有源和匯項，并且自身衰減可以看作是一級反應，則零維模型可以改寫成作是一級反應，則零維模型可以改寫成 0ddCVQ CCK CVdt2 2）混合單元模型（系列箱模型）混合單元模型（系列箱模型）如果被視作完全混合器的環境單元有若干個，首尾相如果被視作完全混合器的環境單元有若干個，首尾相連，則描述這種環境系統的零維模型被稱為混合單連，則描述這種環境系統的零維模型被稱為混合單元系列模型。比如，河流無法看成一個箱子，但可元系列模型。比如，河流無法看成一

54、個箱子，但可以分割成一系列的河段，每個河段認為是濃度均勻以分割成一系列的河段，每個河段認為是濃度均勻的箱子，近似模擬河流的污染情況。混合單元系列的箱子，近似模擬河流的污染情況。混合單元系列模型直接利用零維模型，模型直接利用零維模型， 對單元對單元1 1有有 對單元對單元2 2有有 對單元對單元i i有有 1011ddCVQ CCK CVdt2122ddCVQ CCK C Vdt1iiididCVQ CCK CVdt3 3）一維環境質量基本模型的推導）一維環境質量基本模型的推導 xCDCuxxxxCDxxCDxCuxCuxxxx)()(zxyxyz單位時間內，流經端面的物質總量為物質通量與面積單

55、位時間內，流經端面的物質總量為物質通量與面積的乘積。的乘積。單位時間內輸入量為：單位時間內輸入量為：單位時間內的輸出量為：單位時間內的輸出量為：若體積元污染物按一級反應式衰減，衰減量為：若體積元污染物按一級反應式衰減，衰減量為：對微小體元利用質量守衡定律，并令對微小體元利用質量守衡定律，并令x0 x0，得，得 xxCu CDy zx xxxxu CCCu CxDDxy zxxxx dK C x y z xxdu CCCDk Ctxxx 在均勻流場中，介質的流速和擴散系數可以認為是在均勻流場中，介質的流速和擴散系數可以認為是常數，則上式進一步簡化常數，則上式進一步簡化 x x 坐標方向的彌散系數

56、坐標方向的彌散系數 x x方向的流速分量方向的流速分量 y y 坐標方向的彌散系數坐標方向的彌散系數 y y方向的流速分量方向的流速分量22xxdCCCDuk CtxxxDxuyDyu4 4）二維和三維環境數學基本模型）二維和三維環境數學基本模型 如果考慮微元如果考慮微元2 2個或個或3 3個方向的物質平衡關系，我們可個方向的物質平衡關系，我們可以得到相應的均勻流場中的二維和三維環境質量基以得到相應的均勻流場中的二維和三維環境質量基本模型。本模型。二維二維環境數學基本模型，均勻穩態流場：環境數學基本模型，均勻穩態流場： 三維三維環境數學基本模型，均勻穩態流場，守恒物質環境數學基本模型，均勻穩態

57、流場，守恒物質 2222xyxydCCCCCDDuuk Ctxyxy222222xyzxyzdCCCCCCCEEEuuuk Ctxyzxyz三、機理分析法建模三、機理分析法建模例：香煙過濾嘴的作用分析建模例：香煙過濾嘴的作用分析建模1 1）問題的提出和分析）問題的提出和分析 首先分析首先分析吸煙過程吸煙過程：有毒物質基本上均勻分布在煙草：有毒物質基本上均勻分布在煙草中，吸煙時中，吸煙時點燃的煙草化為煙霧點燃的煙草化為煙霧，一部分進入空氣一部分進入空氣，一部分沿煙草穿行，其中一部分又被未燃煙草和過一部分沿煙草穿行，其中一部分又被未燃煙草和過濾嘴吸附，剩下的進入人體濾嘴吸附，剩下的進入人體。吸附在

58、煙草上的有毒。吸附在煙草上的有毒物在該處煙草被點燃時又進入煙霧中，重復上述過物在該處煙草被點燃時又進入煙霧中，重復上述過程程 。假設假設所有人和所有時刻吸煙動作和方式基本相同，外所有人和所有時刻吸煙動作和方式基本相同，外部環境在吸煙過程中也不變，這樣許多參數都可以部環境在吸煙過程中也不變，這樣許多參數都可以看作常數。看作常數。 2 2）模型假設（模型變量和參數）模型假設（模型變量和參數） 煙草和過濾嘴長度分別為煙草和過濾嘴長度分別為 ，毒物，毒物M M均勻分布在均勻分布在煙草中，線濃度為煙草中，線濃度為 點燃處煙霧進入空氣和順煙草運行的比例為點燃處煙霧進入空氣和順煙草運行的比例為 未點燃的煙草

59、和過濾嘴對經過的煙霧毒物吸附的百未點燃的煙草和過濾嘴對經過的煙霧毒物吸附的百分數為分數為 將將1 1支煙吸完人體吸收毒物總量為支煙吸完人體吸收毒物總量為Q Q。 煙霧在煙草中穿行的速度是煙霧在煙草中穿行的速度是v v，煙草燃燒的速度是，煙草燃燒的速度是u u，并有并有 時刻時刻t t單位時間內通過煙截面單位時間內通過煙截面x x處的毒物流量為處的毒物流量為q q（x x，t t）；時刻）；時刻t t截面截面x x處單位長度煙草中的毒物含量處單位長度煙草中的毒物含量w w（x x，t t）。由假設，）。由假設，w w（x x，0 0）=W=W0 0。 12,l l01WM lvu:a a1aa1

60、2,b b3)3)問題的數學描述方法建立（微分方程及求解）問題的數學描述方法建立（微分方程及求解） 香煙模型建立示意圖香煙模型建立示意圖 1l2llxu對吸煙者吸入毒物總量對吸煙者吸入毒物總量Q Q，有，有 我們分析毒物流量函數的形式。首先考慮剛點燃瞬間我們分析毒物流量函數的形式。首先考慮剛點燃瞬間情況。由于情況。由于 可以認為煙霧穿過一小段香煙可以認為煙霧穿過一小段香煙時點燃處位置沒有發生變化。即時點燃處位置沒有發生變化。即 根據假根據假設，有設，有 是煙霧穿過所需要的時間。令其趨向零，有是煙霧穿過所需要的時間。令其趨向零，有 （1 1） 0,TQq l t dt1Tl uvu ,q x t