1、19.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)9.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算法 例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), 先讓先讓 y固定固定 (即即y視為常數(shù)視為常數(shù)), 這時(shí)這時(shí)z就是就是 x的一元函數(shù)的一元函數(shù), z 對(duì)對(duì) x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 為求一元函數(shù)的變化率為求一元函數(shù)的變化率, 我們引入了導(dǎo)數(shù)的概念我們引入了導(dǎo)數(shù)的概念.對(duì)于多元函數(shù)對(duì)于多元函數(shù), 我們先考慮它關(guān)于一個(gè)自變我們先考慮它關(guān)于一個(gè)自變量的變化率量的變化率.稱為二元函數(shù)稱為二元函數(shù) z 對(duì)對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).2設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)z = f (x, y), P0(x0, y0)為平面上一點(diǎn)為平面上一點(diǎn).

2、 定義定義9.3如果如果z = f (x, y0)在在x0的某一鄰域內(nèi)有定義且在的某一鄰域內(nèi)有定義且在x0點(diǎn)點(diǎn)即極限即極限xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在存在,處處在在點(diǎn)點(diǎn)),(),(00yxyxfz 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),記為記為,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz ).,(00yxfx 或或可導(dǎo)可導(dǎo),3yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000同理同理,可定義函數(shù)可定義函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處對(duì)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為),(yxfz ),(00yx記為記為,00yyxxyz ,00yyxxyf

3、或或).,(00yxfy ,00yyxxyz 4的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), 如果函數(shù)如果函數(shù) z=f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) (x, y) 處處 對(duì)對(duì)x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 x、y 同理同理, 可以定義函數(shù)可以定義函數(shù) 對(duì)自變量對(duì)自變量 y),(yxfz 數(shù)數(shù), 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).的函數(shù)的函數(shù), 稱其為函數(shù)稱其為函數(shù)z=f (x, y)對(duì)自變量對(duì)自變量 x 的偏導(dǎo)函的偏導(dǎo)函記作記作 或或xz ).,(yxfx ,xfxz ).,(yxfy 記作記作 或或yzyfyz ,5求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法并不需要

4、新的方法,利用一元函數(shù)利用一元函數(shù)),(yxfx 如如求求只需將只需將y 看作常量看作常量,的求導(dǎo)法對(duì)的求導(dǎo)法對(duì)x 求導(dǎo)即可求導(dǎo)即可.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz82312 21yxyz72213 例例 求求 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)223yxyxz )2 , 1(6證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 證畢證畢),1, 0( xxxzyzyzxxzyx2ln1 例例 設(shè)設(shè)證明證明7偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(

5、zyxxzyxfzyxxfzyxfxx ),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy ),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz ),(),(lim),(08解解利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性, 有有例例 求求 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)222zyxr xzyxxr221222 ,222zyxx ,222zyxyyr 222zyxzzr 9三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)三個(gè)偏導(dǎo)數(shù).2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)求某一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf )2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf1

6、2lncos2 xxx2 , 000 y002 z例例變?yōu)橐辉瘮?shù)變?yōu)橐辉瘮?shù),代入代入,在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0,2)處的處的可將其它變量的值可將其它變量的值再求導(dǎo)再求導(dǎo), 常常較簡(jiǎn)單常常較簡(jiǎn)單.10 求求 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).yyxzsin2 解解1, 0)0, 1( xz0)sin()0, 1( yyyyz2)cos1(0 yy解解2,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz11證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVTRVpT pTTVVp2VRT pR RV 1 pVRT RTpV . 1 pTTVVp例例

7、已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程(R 為常數(shù)為常數(shù)), 求證求證:12有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明： )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)例例.),(的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求yxf解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx1. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 是一個(gè)整體記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào), 不能拆分不能拆分;xf 2. 分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求;13 ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 22222)()(yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 22

8、222)()(yxyxx ,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按按定義定義得得 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0143. 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系但函數(shù)在該點(diǎn)處沒有極限，所以不連但函數(shù)在該點(diǎn)處沒有極限，所以不連續(xù)續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連

9、續(xù)連續(xù)，. 0)0 , 0()0 , 0( yxff由前面的例子可知在由前面的例子可知在(0,0)處處,例如例如, 函數(shù)函數(shù),0, 00,),(222222 yxyxyxxyyxf15例例 研究函數(shù)研究函數(shù) 在在(0,0)點(diǎn)的點(diǎn)的.)0 , 0(),(在在點(diǎn)點(diǎn)的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都不不存存在在yxf解解 因?yàn)橐驗(yàn)檫B續(xù)性與可偏導(dǎo)性連續(xù)性與可偏導(dǎo)性. 22),(yxyxf 220000lim),(limyxyxfyxyx ),0 , 0(0f 所以所以, 函數(shù)在函數(shù)在(0,0)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù). 而而,)0 ,(xxf yyf ), 0(所以所以,16 二元函數(shù)二元函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn) (

10、x0, y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在該點(diǎn)連續(xù)的在該點(diǎn)連續(xù)的( ).A. 充分條件而非必要條件充分條件而非必要條件B. 必要條件而非充分條件必要條件而非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分條件又非必要條件既非充分條件又非必要條件D17),(yxfz 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)),(,(00000yxfyxM設(shè)設(shè)在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxM有有如圖如圖,),(yxfz 為曲面為曲面偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).上的一點(diǎn)上的一點(diǎn),0M),(yxfz 過點(diǎn)過點(diǎn)0M作作平面平面,0yy 此平面此平面與曲面相交得一曲線與曲面相交得

11、一曲線, 曲線的曲線的方程為方程為 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于偏導(dǎo)數(shù)由于偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx 等于一元函數(shù)等于一元函數(shù)),(0yxf的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)),(0yxf ,0 xx 故由故由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義0 x0y9.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義yzOx18可知可知:0 xyTxT0y),(yxfz ),(0yxfz 0M偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx 在幾何上表示在幾何上表示曲線曲線 ),(yxfz 0yy 在點(diǎn)在點(diǎn)),(,(00000yxfyxM處的切線對(duì)處的切線對(duì)x軸軸的斜率的斜率;偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy 在幾何上表示在幾

12、何上表示曲線曲線 ),(yxfz 0 xx 在點(diǎn)在點(diǎn)),(,(00000yxfyxM處的切線對(duì)處的切線對(duì)y軸軸的斜率的斜率.),(0yxfz yzOx19.),(),(,(00000上一點(diǎn)上一點(diǎn)為曲面為曲面yxfzyxfyxM 設(shè)設(shè)20例例 求曲線求曲線在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)處的切線處的切線與與x軸正向所成的傾角軸正向所成的傾角.解解,21),(xyxfx ,tan1)4 , 2( xf4 4422yyxz21 xz),(yxfyy ),(yxfxy ),(yxfyx 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 定義定義

13、 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù).9.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)為的二階偏導(dǎo)數(shù)為),(yxfz 22解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz xyx1823 xyz 219622 yyxyxz 2, 19622 yyx, 13323 xyxyyxz.222222xyzyxzyzxz 及及、例例 設(shè)設(shè)求求23一般地一般地, 多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連續(xù)就與續(xù)就與求導(dǎo)次序無關(guān)求導(dǎo)次序無關(guān).如果函數(shù)如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏的兩個(gè)二階混合偏),(),

14、(yxfyxfyxxy 與與在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)連續(xù)連續(xù),定理定理9.1那么在那么在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)該區(qū)域內(nèi)該區(qū)域內(nèi)).,(),(yxfyxfyxxy 如如 yxf23 xyxf3.23xyf ),(yxfz 問題問題: 混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎? 具備怎樣的條件具備怎樣的條件 才相等才相等 ?24解解),ln(21),(22yxyxu ,22yxxxu 2222222)(2)(yxxxyxxu .)(2222222yxyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu 0 利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性利用函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性. 02222 yuxu例例 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 滿足滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程22ln),(yxyxu 22222)(yxxy 25例例 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù))sin(ayxz .22222xzayz 滿足滿足波動(dòng)方程波動(dòng)方程:證證 因因 xz 22xz yz 22yz故有故有.22222xzayz ),cos(ayx );sin(ayx ),cos(ayxa ),sin(2ayxa 26有連續(xù)的二階有連續(xù)的二階且且設(shè)設(shè) ,)()(1fyxyxyfxz ).(,2 yxz則則導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))()()(yxyyxxyf y )()()(12yxyxyfxyxyfxxz 例例27有有連連續(xù)續(xù)的的其其中中設(shè)設(shè)gfxyxgyxyfu, .,222y