1、橢圓、雙曲線、拋物線-經典結論橢 圓1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.2. PT平分PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F 2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設過橢

2、圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ分別交相應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在橢圓內，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在橢圓內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.雙曲線1. 點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的內角.2. PT平分PF1F2在點P處的內角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長

3、軸的兩個端點.3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相交.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內切：P在右支；外切：P在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點分別為F1，F 2，點P為雙曲線上任意一點，則雙曲線的焦點角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當在右支上時，,.當在左支上時，,9. 設過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結AP

4、 和AQ分別交相應于焦點F的雙曲線準線于M、N兩點，則MFNF.10. 過雙曲線一個焦點F的直線與雙曲線交于兩點P、Q, A1、A2為雙曲線實軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MFNF.11. AB是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內，則被Po所平分的中點弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內，則過Po的弦中點的軌跡方程是.橢圓與雙曲線推導的經典結論橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上

5、任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3. 若P為橢圓（ab0）上異于長軸端點的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則.4. 設橢圓（ab0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當0e時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.6. P為橢圓（ab0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），O為坐

6、標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知橢圓（ ab0）,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則.11. 設P點是橢圓（ ab0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設A、B是橢圓（ ab0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線

7、與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.橢圓與雙曲線的經典結論-雙曲線

8、1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數）.3. 若P為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,F1, F 2是焦點, , ，則（或）.4. 設雙曲線（a0,b0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在PF1F2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當1e時，可在雙曲線上求一點P，使得PF1是P到對應準線距離d與PF2的比

9、例中項.6. P為雙曲線（a0,b0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.7. 雙曲線（a0,b0）與直線有公共點的充要條件是.8. 已知雙曲線（ba 0），O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.9. 過雙曲線（a0,b0）的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.10. 已知雙曲線（a0,b0）,A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點, 則或.11. 設P點是雙曲線（a0,b0）上異于實軸端點的任一點,F

10、1、F2為其焦點記，則(1).(2) .12. 設A、B是雙曲線（a0,b0）的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，, ,，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1).(2) .(3) .13. 已知雙曲線（a0,b0）的右準線與x軸相交于點，過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經過線段EF 的中點.14. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直.15. 過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 雙曲線焦三角形中,外點到一焦點的距離與以該焦點

11、為端點的焦半徑之比為常數e(離心率).17. 雙曲線焦三角形中,其焦點所對的旁心將外點與非焦頂點連線段分成定比e.18. 雙曲線焦三角形中,半焦距必為內、外點到雙曲線中心的比例中項.拋物線焦點弦性質總結30條基礎回顧1. 以AB為直徑的圓與準線相切；2. ;3. ;4. ;5. ;6. ;7. ;8. A、O、三點共線；9. B、O、三點共線；10. ；11. （定值）；12. ；13. 垂直平分；14. 垂直平分；15. ；16. ；17. ；18. ；19. ;20. ;21. .22. 切線方程 高考資源網性質深究一)焦點弦與切線1、 過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點位置

12、有何特殊之處？結論1：交點在準線上先猜后證：當弦軸時，則點P的坐標為在準線上證明: 從略結論2 切線交點與弦中點連線平行于對稱軸結論3 弦AB不過焦點即切線交點P不在準線上時，切線交點與弦中點的連線也平行于對稱軸2、上述命題的逆命題是否成立？結論4 過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點先猜后證：過準線與x軸的交點作拋物線的切線，則過兩切點AB的弦必過焦點結論5過準線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑3、AB是拋物線（p0）焦點弦，Q是AB的中點，l是拋物線的準線，過A，B的切線相交于P，PQ與拋物線交于點M則有結論6PAPB結論7PFAB結論8 M平分P

13、Q結論9 PA平分A1AB，PB平分B1BA結論10結論11二)非焦點弦與切線思考：當弦AB不過焦點，切線交于P點時，也有與上述結論類似結果：結論12 ，結論13 PA平分A1AB，同理PB平分B1BA結論14 結論15 點M平分PQ結論16 相關考題1、已知拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上的兩動點，且（0），過A，B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，（1）證明：的值；（2）設的面積為S，寫出的表達式，并求S的最小值2、已知拋物線C的方程為，焦點為F，準線為l，直線m交拋物線于兩點A，B；（1）過點A的拋物線C的切線與y軸交于點D，求證：；（2）若直線m過焦點F，分別過點A，B的兩條切線

14、相交于點M，求證：AMBM，且點M在直線l上3、對每個正整數n，是拋物線上的點，過焦點F的直線FAn交拋物線于另一點， （1）試證：（n1）（2）取，并Cn為拋物線上分別以An與Bn為切點的兩條切線的交點，求證：（n1）拋物線的一個優美性質幾何圖形常常給人們帶來直觀的美學形象，我們在研究幾何圖形時也會很自然地想得到有關這個幾何圖形的美妙的性質，作為幾何中的圓錐曲線的研究，正是這方面的一個典型代表，作為高中數學中的必修內容，對于培養學生對于數學美的認識，起著相當重要的作用。因此，在研究圓錐曲線的過程中，有意識地得到一些有關圓錐曲線的幾何性質并且加以歸納，并在教學中與學生一起進行一些可行的研究，一

15、方面，作為高考命題也會往這個方向上嘗試，另一方面，作為新課程的一個理念，讓學生進行一些學有余力的研究，提高學生學習數學的興趣，提高學生自己研究問題的能力也很有幫助。本人從一個在教學中學生遇到的習題結合該知識點有關的一些性質，并結合高考的熱點題對這一性質作了一些研究。題：拋物線y2=2px（p>0）的準線與x軸交于Q點，過點Q作斜率為k的直線L。則“直線L與拋物線有且只有一個交點”是“k=±1”的_條件。本題設計意圖是考查學生對于直線與拋物線有且只有一個交點的問題的了解，要求學生掌握直線與拋物線相切時是只有一個交點，還有當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線也只有一個交點，因

16、此，經過簡單的驗證可知道上題的答案是必要不充分條件。結合拋物線的下面的性質及上題的圖形，我們發現了一些共同點。ABP1FOxyA1B1PABFOxyQ圖1圖2性質1：已知AB是經過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的弦，則以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。證明：由圖2可知，BF=BB1，AF=AA1，2PP1=AA1+BB1。所以2PP1=AB。其中圖1是圖2的一個特例，即當焦點弦是通徑時，圖2即變成了圖1。這就引導我們思考在圖2中的兩條直線P1A、P1B是否也是拋物線的兩條切線，這樣我們得出了拋物線的一個性質：性質2：已知AB是經過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的弦，則

17、以A、B為切點的兩條切線的交點P落在其準線上。證明：設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）點A在拋物線上：y12=2px1 （1）點B在拋物線上：y22=2px2（2）過點A的切線方程：yy1=p（x+x1）（3）過點B的切線方程：yy2=p（x+x2）（4）直線AB經過點F：（5）將（1）式與（2）式分別代入（3）、（4）、（5）式，得到yy1=p（x+）（3）yy2=p（x+）（4）y1y2=-p2（5）因為點P（x，y）的坐標滿足（3）、（4），所以y1、y2可視為是方程yt=p（x+）的兩根，因此由韋達定理可得y1y2=-p2=2px。即x=。所以點P的軌跡為拋物線的準線。

18、從上面的證明中我們可以看出，當A、B兩點的坐標滿足某種條件時，則以A、B為切點的兩條切線的交點一定落在某條固定的直線上。因此，我們更進一步地得出了更好的性質：性質3：已知AB是經過拋物線y2=2px（p>0）的對稱軸（即x軸）上一定點P（m，0）（m>0）的弦，則以A、B為切點的兩條切線的交點Q的軌跡是一條直線x=-m。證明：略。對于上述性質的得出，我們使用了拋物線上已知切點坐標的切線方程的寫法，但如果換一個角度看這個問題，我們也可以得出另一種形式的性質：性質3：動點P在直線x=-m上運動，過點P作拋物線的兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，連結AB，得到弦AB，那么弦AB過定點

19、（m，0）。證明：略。根據上面的討論，我們得到了關于拋物線的一個性質，特別是對于拋物線的切線以及拋物線中動弦中的定值問題的結合，在高考題的命題中也常有涉及。xyABPQO例1：（2007江蘇高考第19題）如圖，過C（0，c）（c>0）作直線與拋物線y=x2相交于A、B兩點，一條垂直于x軸的直線，分別與線段AB和直線y+c=0交于P、Q。（1）若=2，求c的值；（2）若P為線段AB的中點，求證：AQ為拋物線的切線；（3）試問（2）的逆命題是否成立。解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c）點A在拋物線上：y1=x12 （1）點B在拋物線上：y2=x22（2）直線AB經過點

20、C：（3）將（1）式與（2）式分別代入（3）式，得到x1x2=-c，y1y2=c2由= x1x2+y1y2=2，得c=2。（2）P為線段AB的中點，得點Q的坐標為（，-c）由AQ的斜率k1=，過點A的切線的斜率為k2=2x1。所以直線AQ是拋物線的切線。（3）過點A的切線方程為y-y1=2 x1（x-x1）與直線y=-c相交于點Q，將y=-c代入y-y1=2 x1（x-x1），可得-c-x12=2 x1（x-x1）即x1x2-x12=2 x1（x-x1）所以點Q的橫坐標為，即點P為線段AB的中點。（2）的逆命題成立。該題的命題思路就是借助于性質3而編制的一道中等難度的題。其中主要運用了切線的斜率，切線的方程的寫法，以及拋物線中的定值的使用