1、第四章 有限元法Finite Element Method主要內(nèi)容 有限元法概述 單元剖分與插值函數(shù) 二維泊松方程的變分表述 變分問題離散化 舉例4.1有限元法概述 許多工程問題，難找到解析解 數(shù)值計算：利用數(shù)值方法找到問題的近似解 基本方法：進(jìn)行求解域的網(wǎng)格劃分，求解各單元或節(jié)點上的數(shù)值解 主要的方法 有限差分法，有限單元法，有限元法應(yīng)用更為廣泛 (優(yōu)點) 有限元的基礎(chǔ)：變分法和加權(quán)余量法 有限元法的基本步驟1. 找出與微分方程邊值問題對應(yīng)的泛函和與其等價的變分問題。2. 將連續(xù)域離散成有限個單元之和，即通過剖分生成有限元網(wǎng)格，3. 將未知的連續(xù)函數(shù)離散成有限個函數(shù)之和。在每個單元中，用插值

2、函數(shù)代替原函數(shù) ,采用單元”貢獻(xiàn)”，線性疊加的方法得到矩陣形式的泛函表達(dá)式4. 求泛函的極值。5. 解代數(shù)方程組，得到各點處場勢函數(shù)的值，進(jìn)一步可求出各單元內(nèi)場強值。6. 由場值出發(fā)，計算各種電磁參數(shù)、電動力以及其它工程物理參數(shù)。4.2單元剖分與插值函數(shù)選取 單元類型 單元剖分 插值函數(shù)選取1. 為了保證計算精度，各單元邊的長度彼此不要懸殊太大，也就是說，要避免出現(xiàn)尖銳形的單元，對三維剖分而言，單元形狀尤其不能扭曲。2. 在每一單元內(nèi)部，介質(zhì)參數(shù)應(yīng)為常數(shù)。3. 需要著重分析的區(qū)域，或場量變化劇烈處，單元分布密度應(yīng)高于其他部分。4. 求解域邊界上節(jié)點的配置應(yīng)使單元邊盡量逼近邊界。5. 單元(包括

3、節(jié)點)編排方法盡量規(guī)格化。網(wǎng)格生成的基本準(zhǔn)則網(wǎng)格生成的基本準(zhǔn)則4.3 二維泊松方程的變分表述4.3 變分問題離散化-=ijmWuWuWu作業(yè)已知矩形槽內(nèi)磁場，已知矩形槽內(nèi)磁場， EA為槽中心線，為槽中心線，GF為齒中心線，為簡單為齒中心線，為簡單起見，假定起見，假定CB為一根磁力線，取矩形為一根磁力線，取矩形ABDE為求解域，折線為求解域，折線EDC磁標(biāo)量位為磁標(biāo)量位為100，AB邊磁位為邊磁位為0，。，。1）請寫出該矩形槽內(nèi)磁場的標(biāo)量磁位滿足的邊值問題，并寫）請寫出該矩形槽內(nèi)磁場的標(biāo)量磁位滿足的邊值問題，并寫出等價的條件變分問題出等價的條件變分問題2）對該問題應(yīng)用有限元法進(jìn)行求解（進(jìn)行單元剖分，單元分）對該問題應(yīng)用有限元法進(jìn)行求解（進(jìn)行單元剖分，單元分析，總體合成，一類邊界處理，解方程）析，總體合成，一類邊界處理，解方程）3）計算各單元的磁密，以及求解區(qū)域的磁場儲能）計算各單元的磁密，以及求解區(qū)域的磁場儲能EDABFCG