1、關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁(yè)，共85頁(yè)2. 帶帶Lagrange余項(xiàng)的余項(xiàng)的Taylor公式：公式：時(shí)時(shí)，有有：特特別別地地，當(dāng)當(dāng)00 x公公式式。余余項(xiàng)項(xiàng)的的帶帶MaclaurinPeanoxoxnfxfxffxfnnn)(!)0(! 2)0()0()0()()(2 )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn )()()!1()()(010)1(之之間間與與介介于于其其中中xxxxnfxRnnn 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁(yè)，共85頁(yè)帶帶LagrangeLagrange余項(xiàng)的余項(xiàng)的MaclaurinMaclaurin公式：

2、公式：)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁(yè)，共85頁(yè) 4 4 函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法v函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法v函數(shù)的凸性及其判別法函數(shù)的凸性及其判別法現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁(yè)，共85頁(yè)一一. . 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf。內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞增增或或單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在則則稱稱或或，都都有有，內(nèi)內(nèi)有有定定義義，在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),()()()()()(),(),()(21212121baxfxfxfx

3、fxfxxbaxxbaxfy abBA定義定義現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁(yè)，共85頁(yè)定理定理1 1。下下降降在在；上上升升在在，則則，且且設(shè)設(shè)0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf，由，由上升，上升，在在),(,)(.10baxbaxf 證明：證明：),(, 0)()(baxxxxfxxf （極極限限的的保保號(hào)號(hào)性性）得得0)()(lim0 xxfxxfx. 0)( xf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁(yè)，共85頁(yè)定理定理上用上用，在，在Lagrangexxbaxx,),(,2121 ),(),)()()(211212xxxxfxfxf 上是上升的。上是上升的

4、。，在，在則則,)()(21baxfxf 0)(1)(,)(.200 xfxfbaxf知，知，上升的，由上升的，由是是上是下降的，則上是下降的，則在在若若；即即0)( xf上上升升。在在知知，由由，則則反反之之若若,)()()(baxfxfxf 0100下下降降。在在所所以以,)(baxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁(yè)，共85頁(yè)yxo說(shuō)明說(shuō)明: : 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如例如,),(, xxy32332xy 0 xy32xy 2) 如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性則不改變函數(shù)的單調(diào)性

5、 .例如例如,),(, xxy323xy 00 xyyox3xy 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁(yè)，共85頁(yè)。的任意子區(qū)間內(nèi)恒為的任意子區(qū)間內(nèi)恒為不在不在；或或上嚴(yán)格單調(diào)上升或下降上嚴(yán)格單調(diào)上升或下降在在0),()().20)(0)().1,)(baxfxfxfbaxf 定理定理2 2成成立立。知知，上上嚴(yán)嚴(yán)格格上上升升，由由在在設(shè)設(shè)011 .,)(thbaxf證明：證明：則則，有有假假設(shè)設(shè), 0)(),(),( xfba Cxf )(，與條件矛盾。，與條件矛盾。不是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)不是嚴(yán)格單調(diào)上升函數(shù)這表明這表明)(xf嚴(yán)格上升。嚴(yán)格上升。明明內(nèi)上升。現(xiàn)用反證法證內(nèi)上升。現(xiàn)用反證法證在在知知由由),()(

6、,baxf01現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁(yè)，共85頁(yè)，但但且且，不不嚴(yán)嚴(yán)格格上上升升，那那么么假假設(shè)設(shè) ,),()(baxf)()( ff 是上升函數(shù)，所以是上升函數(shù)，所以因?yàn)橐驗(yàn)?(xf xfxf),()(. 0)( xf。矛矛盾盾！上上恒恒為為的的子子區(qū)區(qū)間間在在說(shuō)說(shuō)明明0),(),()( baxf 嚴(yán)格上升。嚴(yán)格上升。)(xf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁(yè)，共85頁(yè)；等等號(hào)號(hào)成成立立當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)，有有證證明明當(dāng)當(dāng)例例01111 xxxxxx)ln(.不等號(hào)成立。不等號(hào)成立。與與須證須證時(shí)，顯然等號(hào)成立。只時(shí)，顯然等號(hào)成立。只當(dāng)當(dāng)0010 xxx證明：證明：函數(shù)函數(shù)先證右端不等式。考慮先證右端不等式。

7、考慮0)0()1ln()( fxxxf，xxxxf 1111)(于于是是有有：上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)上上升升，在在，時(shí)時(shí)，),()()( 000 xfxfx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁(yè)，共85頁(yè)).1ln(),0()(xxfxf 即即下下降降，也也有有：內(nèi)內(nèi)嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)在在，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))0 , 1()(0)(,01 xfxfx1100 xxx時(shí)，時(shí)，現(xiàn)證明左端不等式：當(dāng)現(xiàn)證明左端不等式：當(dāng)，同樣有：，同樣有：時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0101 xxx)1ln(11ln)11ln(1xxxxxx 011 xx)11ln(1xxxx ).1ln(),0()(xxfxf 即即)1ln(1xxx 即即.)1ln(1xxxx

8、 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁(yè)，共85頁(yè)上上單單調(diào)調(diào)減減少少；在在證證明明，上上二二次次可可導(dǎo)導(dǎo)，且且在在設(shè)設(shè)例例,)()(,)(,)(.axxfxffaxf000002 定理，定理，在上二次可導(dǎo)，故由在上二次可導(dǎo)，故由 Langrange)(xf證明：證明：，使使得得), 0(, 0 xax )()0()( fxfxf 2)()()(xxfxfxxxf 另另一一方方面面2)0()()(xfxfxfx 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁(yè)，共85頁(yè)2xfxxfx)()( xfxf)()( ).()(0)( fxfxf 可知可知，由由上上單單調(diào)調(diào)減減少少。在在即即，故故, 0)(0)(axxfxxf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四

9、頁(yè)，共85頁(yè)上的最大值。上的最大值。在在求函數(shù)求函數(shù)例例),)(. 032xexxfxxexxexf 22)(解：解：)2(xxex ; 0)(20 xfx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng). 0)(2 xfx時(shí)時(shí)，嚴(yán)格下降。嚴(yán)格下降。上嚴(yán)格上升，在上嚴(yán)格上升，在在在因此連續(xù)函數(shù)因此連續(xù)函數(shù)), 2(2 , 0)(xf上上最最大大值值。在在為為), 0)(4)2(2 xfef注意注意: : 函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性現(xiàn)

10、在學(xué)習(xí)的是第十五頁(yè)，共85頁(yè)Nove. 17 Mon. Reviewv函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法。下下降降在在；上上升升在在，則則，且且設(shè)設(shè)0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁(yè)，共85頁(yè)例例4.4. 證明證明20 x時(shí)時(shí), 成立不等式成立不等式.sin 2 xx證證: 令令,sin)( 2 xxxf,()(上上連連續(xù)續(xù)在在則則20 xf上上可可導(dǎo)導(dǎo)，在在),(20 2xxxxxfsincos)( )tan(cosxxxx 21xtanx0 ,),()(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在因因此此20 xf從而從而,(,

11、sin202 xxx02 )()( fxf,)(處處左左連連續(xù)續(xù)在在又又2 xf因此因此且且現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁(yè)，共85頁(yè)* 證明證明0 xxtan令令,tan)(xxx 則則xx21sec)( x2tan ),(,200 x,),()(上上遞遞減減在在20 x從而從而00 )()( x即即),(,tan200 xxx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁(yè)，共85頁(yè)二二. 函數(shù)的凸性及其判別法函數(shù)的凸性及其判別法問(wèn)題問(wèn)題: :如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向? ?ABCxyoxy 2xy xy011現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁(yè)，共85頁(yè)xyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于弦的上方于弦

12、的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于弦的下方于弦的下方現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁(yè)，共85頁(yè)定義定義1 1。內(nèi)是凸的內(nèi)是凸的在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)；若有：；若有：內(nèi)是凹的內(nèi)是凹的在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)，總有：，總有：，對(duì)任一，對(duì)任一，內(nèi)有定義，若對(duì)內(nèi)有定義，若對(duì)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))convex()()()()1()1()concave()()()()1()1()1 , 0()(212121212121IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIxxIxf 若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是凸的或凹的，則稱函數(shù)若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上是凸的或凹的，則稱函數(shù)是凸函數(shù)或凹函數(shù)。是凸函數(shù)或凹函數(shù)

13、。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁(yè)，共85頁(yè)2x)(2xfxy0 1x)(121xxxf 2x)(2xfxy0 1x)(1xf)()(1211xxxfxf 凹函數(shù)凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù))()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁(yè)，共85頁(yè)定義定義11)()()(12112xxxfxfxf 可可微微若若函函數(shù)數(shù))(xf)()()(12112xxxfxfxf 凹函數(shù)凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)。扭轉(zhuǎn)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)點(diǎn)的拐點(diǎn)或的拐點(diǎn)或?yàn)闉閯t稱則稱的，在另一邊是凹的，的，在另一邊是凹的，的一邊是凸的一邊是凸的某一鄰域內(nèi)，在的某一鄰域內(nèi)，在在在若若)()()(,()(0000 x

14、fxfxxxxf定義定義2 2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁(yè)，共85頁(yè)定理定理內(nèi)內(nèi)是是凹凹的的。在在，則則內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)是是凸凸的的；若若在在在在，則則內(nèi)內(nèi)有有在在若若函函數(shù)數(shù)),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 證明：證明：的的情情況況。只只證證0)( xf公公式式：余余項(xiàng)項(xiàng)的的處處有有帶帶在在，設(shè)設(shè)Tayler),(,121Lagrangexbaxx 21111)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ，則則有有令令2xx .),(21之之間間與與介介于于，其其中中xxbax 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁(yè)，共85頁(yè)之間。之間。與與介于介于21xx ,0)

15、( f21212112)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf .0)(! 2)(212 xxf )()()(12112xxxfxfxf 是凹的。是凹的。)(xf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁(yè)，共85頁(yè)幾何意義：幾何意義：若曲線弧個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是單調(diào)若曲線弧個(gè)點(diǎn)處的切線斜率是單調(diào) 增加的，則該曲線是下凸的；若各點(diǎn)處的切增加的，則該曲線是下凸的；若各點(diǎn)處的切 線斜率是單調(diào)減少的，則該曲線弧是上凸的線斜率是單調(diào)減少的，則該曲線弧是上凸的。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十六頁(yè)，共85頁(yè)求拐點(diǎn)的求拐點(diǎn)的步驟：步驟：的的點(diǎn)點(diǎn)；求求出出使使0)(. 1 xf有意義；有意義；不存在的點(diǎn)，但函數(shù)要不存在的點(diǎn)，但函數(shù)要求出

16、求出)(. 2xf . 3函數(shù)的凹凸性函數(shù)的凹凸性考察在這些點(diǎn)的左、右考察在這些點(diǎn)的左、右現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十七頁(yè)，共85頁(yè)；，例例431xyxy .解解：,3xy ,23xy xy6 凹凹, 0, 0 yx凸凸, 0, 0 yx.)(),(變號(hào)變號(hào)是拐點(diǎn)，是拐點(diǎn)，xf 00( )0( ).fxfx 所所以以只只要要求求出出的的點(diǎn)點(diǎn)，然然后后考考察察在在該該點(diǎn)點(diǎn)左左、右右的的符符號(hào)號(hào)即即可可,4xy ,34xy 212xy .),()(不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)不變號(hào)，不變號(hào)， 00 xf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十八頁(yè)，共85頁(yè)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；求函數(shù)求函數(shù)例例3522)(. xy解解：,)(

17、32235 xy3123235 )(xy321910 x.時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)不存在時(shí)，二階導(dǎo)數(shù)不存在2 x02 )(xfx時(shí)時(shí)，02 )(xfx時(shí)時(shí)，.),(為拐點(diǎn)為拐點(diǎn)02二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn). .現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十九頁(yè)，共85頁(yè)Nove. 23 Mon. Reviewv函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)性判別法。下下降降在在；上上升升在在，則則，且且設(shè)設(shè)0)(,)().20)(,)().1),()(,)( xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十頁(yè)，共85頁(yè)v函數(shù)凸性及其判別法函數(shù)凸性及其判別法。是是凸凸的的，函函數(shù)數(shù)；若若有有：是是凹凹的的，

18、有有：，對(duì)對(duì)任任一一，若若對(duì)對(duì))()()()()1()1()()()()()1()1()1 , 0(212121212121convexIxxfxfxfxxfconcaveIxxfxfxfxxfxxIxx 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十一頁(yè)，共85頁(yè)若函數(shù)可微：若函數(shù)可微：)()()(12112xxxfxfxf )()()(12112xxxfxfxf 凹函數(shù)凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)內(nèi)內(nèi)是是凹凹的的。在在，則則內(nèi)內(nèi)內(nèi)內(nèi)是是凸凸的的；若若在在在在，則則內(nèi)內(nèi)有有在在若若函函數(shù)數(shù)),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf 函數(shù)凸性判別法：函數(shù)凸性判別法：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十二頁(yè)，

19、共85頁(yè)求拐點(diǎn)的求拐點(diǎn)的步驟：步驟：的點(diǎn)；的點(diǎn)；求出使求出使0)(. 1 xf意義；意義；不存在的點(diǎn)，函數(shù)要有不存在的點(diǎn)，函數(shù)要有求出使求出使)(. 2xf 3.考察在這些點(diǎn)的左、右的凹凸性。考察在這些點(diǎn)的左、右的凹凸性。扭轉(zhuǎn)點(diǎn)扭轉(zhuǎn)點(diǎn)的拐點(diǎn)或的拐點(diǎn)或?yàn)闉閯t稱則稱的，在另一邊是凹的，的，在另一邊是凹的，的一邊是凸的一邊是凸的某一鄰域內(nèi)，在的某一鄰域內(nèi)，在在在若若)()()(,()(0000 xfxfxxxxf拐點(diǎn)拐點(diǎn)：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十三頁(yè)，共85頁(yè)的的凸凸性性；討討論論例例32)52(3xxy 解：時(shí)，時(shí)，0 x,13103xxy .129103xxxy 時(shí)，時(shí)，0 x導(dǎo)數(shù)不存在，二階導(dǎo)數(shù)也不

20、存在。導(dǎo)數(shù)不存在，二階導(dǎo)數(shù)也不存在。021 )(xfx時(shí)，時(shí)，,),(分區(qū)間分區(qū)間將將及及用用 210 xx),(),(),( 002121現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十四頁(yè)，共85頁(yè)x)(xf)(xf )21,( 21 )0 ,21( 0), 0( 0 不存在不存在 凸凸凹凹凹凹不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)。拐拐點(diǎn)點(diǎn)為為)0 , 0(),23,21(3 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十五頁(yè)，共85頁(yè)；，證證明明，設(shè)設(shè)例例bbaabababalnln)ln()(. 204證明：.), 0(ln是是凹凹的的，利利用用凹凹性性上上在在有有關(guān)關(guān)，經(jīng)經(jīng)觀觀察察，不不等等式式與與函函數(shù)數(shù) yxxy,ln)(xxxf 設(shè)設(shè))0(1)(1ln)

21、( xxxfxxf，則則時(shí)時(shí)有有：是是凹凹的的，故故在在可可見(jiàn)見(jiàn)0, 0), 0()( baxf)()()(21)2(時(shí)等號(hào)成立時(shí)等號(hào)成立babfafbaf )lnln(lnbbaababa 2122即即.lnln2ln)(bbaababa 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十六頁(yè)，共85頁(yè)。證明證明，的凸性；的凸性；討論討論例例bababaxy )().ln).11002151證明：.1,1120 xyxy 上上是是凸凸的的；在在), 0(ln xy：時(shí)時(shí)，由由凸凸函函數(shù)數(shù)定定義義，有有，當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)baba 0, 020)1ln(lnln)1(baba 的指數(shù)，則：的指數(shù)，則：式兩端取式兩端取時(shí)，等號(hào)成立，將不

22、等時(shí)，等號(hào)成立，將不等eba baba )1(1現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十七頁(yè)，共85頁(yè)hw：p173 1(3,5)，2(3,5,7,9). p188 1(3,5),2(1),3,5,6.0),(1)(21121 innnaaaanaaa)(2121baab 時(shí)時(shí)，有有 更進(jìn)一步有不等式：更進(jìn)一步有不等式：。超過(guò)它們的算術(shù)平均值超過(guò)它們的算術(shù)平均值個(gè)正數(shù)的幾何平均值不個(gè)正數(shù)的幾何平均值不n現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十八頁(yè)，共85頁(yè)xxy24362 )(3236 xx例例. 求曲線求曲線14334 xxy的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解解: 1) 求求y ,231212xxy 2) 求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)求拐點(diǎn)可疑

23、點(diǎn)坐標(biāo)令令0 y得得,32210 xx對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)3) 列表判別列表判別2711211 yy,)0,(),0(32),(32y xy0320012711故該曲線在故該曲線在),(0),( 32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 ,點(diǎn)點(diǎn) ( 0 , 1 ) 及及),(271132均為拐點(diǎn)均為拐點(diǎn).上上在在),(320凹凹凹凹凸凸32) 1 , 0(),(271132現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三十九頁(yè)，共85頁(yè)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別Ixxf ,)(0)(xf在在 I 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增Ixxf ,)(0)(xf在在 I 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別曲線凹凸與拐

24、點(diǎn)的判別Ixxf ,)(0上向上凹上向上凹在在曲線曲線Ixfy)( Ixxf ,)(0+上向上凸上向上凸在在曲線曲線Ixfy)( 拐點(diǎn)拐點(diǎn) 連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十頁(yè)，共85頁(yè)112 xxy有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn)有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線求證曲線 證明：證明： y y222121)( xxx322311332)()( xxxx321323212)()()( xxxxxxx2112)()( 221)( x421)( x)(x22 221)( x)(221xx )(122 xx2 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十一頁(yè)，共85頁(yè)令令0 y得得,11 x;

25、),(11從而三個(gè)拐點(diǎn)為從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)橐驗(yàn)?2 所以三個(gè)拐點(diǎn)共線所以三個(gè)拐點(diǎn)共線.323 x,322 x, ),(3483132 ),(3483132 32 1 1 34831 1 1 34831 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十二頁(yè)，共85頁(yè)證明證明:20 x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，.sinxx 2 有有證明證明:xxxF 2 sin)(令令,)(00 F, 則則 )(xF )(xF)(xF是凸函數(shù)是凸函數(shù) )(xF即即xx 2 sin)(20 x 2 .02 )( F 2 xcosxsin 0 )(),(min20 FF0 (自證自證)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十三頁(yè)，共85頁(yè)v函數(shù)的極值：極大值與極小值函數(shù)的極值：極大

26、值與極小值；處可導(dǎo)，且取得極值處可導(dǎo)，且取得極值在在件：件：函數(shù)取得極值的必要條函數(shù)取得極值的必要條0)()(. 100 xfxxf不是極值點(diǎn)。不是極值點(diǎn)。則嚴(yán)格單調(diào)，則嚴(yán)格單調(diào)，或或，有，有對(duì)對(duì)處有極小值；處有極小值；在在則則時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，處有極大值；處有極大值；在在則則時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，內(nèi)可微，若內(nèi)可微，若及及在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在的極值可疑點(diǎn)，且的極值可疑點(diǎn)，且是是設(shè)設(shè)件：件：函數(shù)取得極值的充分條函數(shù)取得極值的充分條02100200100000000000000000000)()0(0)(0)(),(),(3)(, 0)(),(, 0)(),(2)(, 0)(),(, 0)(),(1),(

27、),(),()()(. 2xxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxfxfx 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十四頁(yè)，共85頁(yè)5 5 函數(shù)極值、函數(shù)作圖函數(shù)極值、函數(shù)作圖v函數(shù)的極值與求法；函數(shù)的極值與求法；v漸近線；漸近線；v函數(shù)作圖。函數(shù)作圖。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十五頁(yè)，共85頁(yè)一一. 函數(shù)的極值與求法函數(shù)的極值與求法定義定義：。的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)的極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)稱為稱為的極大值或極小值，的極大值或極小值，為為則稱則稱或或，有不等式，有不等式有定義，若對(duì)任何有定義，若對(duì)任何內(nèi)內(nèi)的鄰域的鄰域在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))()()()()()()(),(),()(000

28、0000000 xfxxfxfxfxfxfxfxxxxxxxfy 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值, ,使函數(shù)取得極使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). .現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十六頁(yè)，共85頁(yè)oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十七頁(yè)，共85頁(yè)定理定理1 1( (必要條件必要條件) ).,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf注意注意: :例如例如, ,3xy , 00 xy.0 不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x極值可疑點(diǎn)：極值可

29、疑點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(尖點(diǎn)尖點(diǎn)).)()(0000 xfxxxf處取得極值，那么必定處取得極值，那么必定且在且在處具有導(dǎo)數(shù)，處具有導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十八頁(yè)，共85頁(yè)定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x ( (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形) ).)()(),(),()3()(, 0)(),(; 0)(),()2()(, 0)(),(; 0)(),()1(000000000000000處無(wú)極值處無(wú)極值在在符號(hào)相同，則符號(hào)相同，則時(shí)，時(shí)，及及如果當(dāng)如果當(dāng)處取得極小值；處取得極小值；在在則則有有，而而，有，有如果如

30、果處取得極大值；處取得極大值；在在則則有有，而而，有，有如果如果xxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxx 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四十九頁(yè)，共85頁(yè)證明：證明：0001(,)xxx 時(shí)時(shí)，,)(0 xf嚴(yán)格下降，嚴(yán)格下降，)(xf);()(0 xfxf 00(,)xxx 時(shí)時(shí)，,)(0 xf嚴(yán)格上升，嚴(yán)格上升，)(xf);()(0 xfxf ;)(為極大值為極大值0 xf.,證明類似證明類似0032現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十頁(yè)，共85頁(yè)xyoxyo0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;

31、,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)檢查檢查xf .)4(求極值求極值( (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形) )現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十一頁(yè)，共85頁(yè)例例1 1. .解解.593)(23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3()3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十二頁(yè)，共85頁(yè)593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下現(xiàn)在學(xué)習(xí)的

32、是第五十三頁(yè)，共85頁(yè)的的極極值值；求求函函數(shù)數(shù)例例3212xxy)(. 解解：)(1323132 xxxy3325xx ; 052 yx時(shí)時(shí)，.不存在不存在時(shí)，時(shí)，yx 0.,為極值可疑點(diǎn)為極值可疑點(diǎn)520 xx)(xf )(xf),(0 0不存在不存在0),(520 520325453 ),(52 maxfminf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十四頁(yè)，共85頁(yè).,和最小值和最小值上的最大值上的最大值在在進(jìn)一步，求進(jìn)一步，求211 y;,min52254533 xf.,max00 xf.)(,)(32412121 ff端端點(diǎn)點(diǎn)處處.,)(20211 最最小小值值為為上上的的最最大大值值為為在在xf52xy

33、0現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十五頁(yè)，共85頁(yè)定理定理3 3（第二充分條件）（第二充分條件）不不為為極極值值。為為奇奇數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，為為極極大大值值；，為為極極小小值值；，為為偶偶數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，則則，階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且處處有有在在設(shè)設(shè))(.2)(0)()(0)(.10)(0)()()()(0000)(00)(00)(0)1(000 xfnxfxfxfxfnxfxfxfxfnxxfnnnn 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十六頁(yè)，共85頁(yè)證明：證明：的符號(hào)。的符號(hào)。考察考察)()(0 xfxf 公公式式：存存在在，有有局局部部由由Taylorxfn)(0)()()(!)()()()(000)(000nnnxxoxxnxfxxxfx

34、fxf 相同符號(hào)。相同符號(hào)。與與充分接近時(shí)，充分接近時(shí)，與與當(dāng)當(dāng)nnxxnxfxfxfxx)(!)()()(00)(00 )()(!)()()(000)(0nnnxxoxxnxfxfxf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十七頁(yè)，共85頁(yè).)()()(0)(0同同號(hào)號(hào)與與xfxfxfn ).()()()(00 xfxfxfxf 或或不不會(huì)會(huì)總總有有為偶數(shù)，為偶數(shù)，當(dāng)當(dāng)n. 1)()(0)(00)(xfxfxfn , 0)(0 nxx, 0)(0)( xfn)()(0)(00)(xfxfxfn 極小值極小值極大值極大值為奇數(shù)，為奇數(shù)，當(dāng)當(dāng)n. 2的左、右旁要變號(hào)，的左、右旁要變號(hào)，在在00)(xxxn 不是極值。

35、不是極值。)(0 xf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十八頁(yè)，共85頁(yè)定理定理3 3( (第二充分條件第二充分條件) )，我我們們有有：特特別別地地，2 n.)()()2)()()1,)(,)()(處取得極小值處取得極小值在在時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)當(dāng)當(dāng)處取得極大值；處取得極大值；在在時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)當(dāng)當(dāng)則則且且處具有二階導(dǎo)數(shù)，處具有二階導(dǎo)數(shù)，在在設(shè)設(shè)00000000000 xxfxfxxfxfxfxfxxf 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五十九頁(yè)，共85頁(yè)例例 1. 1. 若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有若直角三角形的一直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形；最大面積的直角三角形；解解：.)(,22xxaxa

36、ax 而而另另一一直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為為為則則斜斜邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)，它它與與斜斜邊邊之之和和為為設(shè)設(shè)一一直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)為為2221xxaxS )(.,2022axxaxa xaxxaaS222 xaxaa223 )(.，唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，03 Sax030 Sax時(shí)，時(shí)，023 Saxa時(shí)時(shí)，.)(為為最最大大面面積積21833aaS 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十頁(yè)，共85頁(yè);)()()()(2.必為極小值必為極小值取得極值，則此極值取得極值，則此極值在某一點(diǎn)在某一點(diǎn)試證：若函數(shù)試證：若函數(shù)滿足，滿足，對(duì)一切對(duì)一切已知函數(shù)已知函數(shù)例例01302 xxfexfxxfxxxfx證明證明：.)()(0000 x

37、fxxf處取得極值，則處取得極值，則在在若若0100 xexfx )(即即0001xexfx )(010000 )(,xfexx時(shí)時(shí)，.)(.,)(minfxfxxf 00000010000 )(,xfexx時(shí)時(shí)，現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十一頁(yè)，共85頁(yè);)()(,|)(lim,)()(3.的的最最小小值值為為有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例xffxxffxfx01000 證明證明：連連續(xù)續(xù)為為極極值值可可疑疑點(diǎn)點(diǎn)，又又知知，由由)()(xfxf 000)(lim)(xffx 00|lim xx0 0 ,|)(0 xxf的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有在在在在由由極極限限的的局局部部保保號(hào)號(hào)

38、性性得得為為可可疑疑拐拐點(diǎn)點(diǎn)000 xf.)(,(于是于是即在該去心鄰域內(nèi)即在該去心鄰域內(nèi),)(0 xf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十二頁(yè)，共85頁(yè)2200 xfxffxf!)()()()( 022 xf!)( .)()()()(的極小值的極小值是是，即即xfffxf00 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十三頁(yè)，共85頁(yè);cos)(4.的的極極值值求求函函數(shù)數(shù)例例xeexfxx2 解：解：02 xeexfxxsin)(先先求求駐駐點(diǎn)點(diǎn).是是駐駐點(diǎn)點(diǎn)0 xxexexx 11,時(shí)，時(shí)，從而從而0 xxxxcos211 xeexfxxcos)(2 012 )cos(x.)()(,0042 xxfxfx只只有有一一個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)，

39、即即格格單單調(diào)調(diào)上上升升，因因此此最最多多嚴(yán)嚴(yán)，等等之之外外，恒恒有有除除 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十四頁(yè)，共85頁(yè)0200 xxxxxeexf|sin| )(.)()(min40 fxf042004 xxxxxeexf|cos| )()(現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十五頁(yè)，共85頁(yè)小小 結(jié)結(jié)極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小值極大值可能小于極小值, ,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值. .駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值可疑點(diǎn)極值可疑點(diǎn). .函數(shù)的極值必在極值可疑點(diǎn)取得函數(shù)的極值必在極值可疑點(diǎn)取得. .判別法判別法第一充分條件第一充分條件; ;第二充分條件第

40、二充分條件; ;( (注意使用條件注意使用條件) )HwHw：p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.p173 3(4,5,6,8),4,5(2,4,5,7,9),6(2),7,10.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十六頁(yè)，共85頁(yè)二二. . 漸近線漸近線定義定義: :.)(,)(一一條條漸漸近近線線的的就就稱稱為為曲曲線線那那么么直直線線趨趨向向于于零零的的距距離離到到某某定定直直線線如如果果點(diǎn)點(diǎn)移移向向無(wú)無(wú)窮窮點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)沿沿著著曲曲線線上上的的一一動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)曲曲線線xfyLLPPxfy 1.1.垂直漸近線垂直漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線垂垂直直于于 x.)()(

41、lim)(lim000的一條垂直漸近線的一條垂直漸近線就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十七頁(yè)，共85頁(yè)例如例如,)3)(2(1 xxy有垂直漸近線兩條有垂直漸近線兩條: :. 3, 2 xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十八頁(yè)，共85頁(yè)2.2.水平漸近線水平漸近線)(軸軸的的漸漸近近線線平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一條水平漸近線的一條水平漸近線就是就是那么那么為常數(shù)為常數(shù)或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平漸近線兩條有水平漸近線兩條: :.2,2 yy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六十九頁(yè)，共85頁(yè)3.3.斜漸近線斜漸近線

42、.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一條條斜斜漸漸近近線線就就是是那那么么為為常常數(shù)數(shù)或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 斜漸近線求法斜漸近線求法: :,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的一條斜漸近線的一條斜漸近線就是曲線就是曲線那么那么xfybaxy 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七十頁(yè)，共85頁(yè)注意注意: :;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜漸漸近近線線可可以以斷斷定定xfy 現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七十一頁(yè)，共85頁(yè)的漸近線；的漸近線；求求例例23

43、111)()(. xxy,)(lim xfx1是垂直漸近線。是垂直漸近線。1 x.現(xiàn)求斜漸近線現(xiàn)求斜漸近線xxfax)(lim 2311)()(lim xxxxxxxx2311)()(lim 1 )(limaxxfbx 解：解：)()(limxxxx 23115 .為斜漸近線為斜漸近線5 xy現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七十二頁(yè)，共85頁(yè)的漸近線。的漸近線。求求例例xxyarctan. 2.),(線線連續(xù)，故沒(méi)有垂直漸近連續(xù)，故沒(méi)有垂直漸近在在yxxxxfarctan)( 1)( x1, 1 axxarctanlim )(limxxfbx xx.,22 ,2 xyx有有漸漸近近線線時(shí)時(shí)解：解：.,2 xyx有有漸漸近近線線時(shí)時(shí)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七十三頁(yè)，共85頁(yè)三三. . 函數(shù)作圖函數(shù)作圖1.1.函數(shù)基本性質(zhì)：函數(shù)基本性質(zhì)：1). 1). 定義域，值域，連續(xù)范圍；定義域，值域，連續(xù)范圍；2). 2). 函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的奇偶性：奇函數(shù)關(guān)于