1、關于函數的極值與導數 (3)現在學習的是第一頁，共17頁 設函數設函數y=f(x)在某個區間內有導數，如在某個區間內有導數，如果在這個區間內果在這個區間內y0，那么，那么y=f(x)為這個區為這個區間內的間內的增函數增函數；如果在這個區間內；如果在這個區間內y0增函數增函數y0，求得其解集，求得其解集， 再根據解集寫出單調再根據解集寫出單調遞增遞增區間區間 求解不等式求解不等式f(x)0，求得其解集，求得其解集， 再根據解集寫出單調再根據解集寫出單調遞減遞減區間區間注、注、單調區間不單調區間不 以以“”并集并集出現。出現。 而只能用而只能用“，”逗號逗號 或或“和和”字隔開字隔開現在學習的是第

2、三頁，共17頁知識回顧知識回顧利用函數的導數利用函數的導數 討論函數討論函數 的單調的單調性并畫圖性并畫圖32( )267f xxx解：解：xxxf126)(2 令令 ，解得，解得 或或 ，2 x01262 xx0 x當當 時，時， 是增函數；是增函數；)0 ,( x)(xf因此，因此，當當 時，時， 是增函數；是增函數；), 2( x)(xf再令再令 ，解得，解得 ，20 x01262 xx當當 時，時， 是減函數；是減函數；)2 , 0( x)(xf因此，因此，現在學習的是第四頁，共17頁分析函數分析函數 在在 附近的函數附近的函數值分別與值分別與 的關系的關系.32( )267f xxx

3、2, 0 xx)2(),0(ff現在學習的是第五頁，共17頁 設函數設函數y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定義，及其附近有定義，(1)(1)如果在如果在x=xx=x0 0處的函數值比它附近所有各點的函數處的函數值比它附近所有各點的函數值都大，即值都大，即f(x)f(x0),則稱則稱 f(xf(x0 0) )是函數是函數y=f(x)y=f(x)的一個的一個極小值極小值. .記作記作: :y極小值極小值=f(x0)極大值與極小值統稱為極大值與極小值統稱為極值極值,x,x0 0叫做函數的叫做函數的極值點極值點. .現在學習的是第六頁，共17頁yabx1x2x3x4)(1xf)

4、(4xfOx)(2xf)(3xf 觀察上述圖象觀察上述圖象,試指出該函數的極值點與極值試指出該函數的極值點與極值,并說并說出哪些是極大值點出哪些是極大值點,哪些是極小值點哪些是極小值點.現在學習的是第七頁，共17頁(1)(1)極值是一個極值是一個局部概念局部概念, ,反映了函數在某一點附近反映了函數在某一點附近的大小情況的大小情況; ;(2)(2)極值點極值點是是自變量的值自變量的值，極值極值指的是指的是函數值函數值; ;(3)(3)函數的極大函數的極大( (小小) )值可能不止一個值可能不止一個, ,而且而且函數的極大函數的極大值未必大于極小值值未必大于極小值; ;【關于極值概念的幾點說明】

5、【關于極值概念的幾點說明】(4)函數的極值點一定在區間的內部，區間的端函數的極值點一定在區間的內部，區間的端點不能成為極值點。而函數的最值既可能在區點不能成為極值點。而函數的最值既可能在區間的內部取得，也可能在區間的端點取得間的內部取得，也可能在區間的端點取得。現在學習的是第八頁，共17頁【問題探究】【問題探究】 函數函數y=f(x)y=f(x)在極值點的導數值為多少在極值點的導數值為多少? ?在極值點附近的導數符號有什么規律在極值點附近的導數符號有什么規律? ?yabx1x2x3x4)(1xf)(4xfOx)(2xf)(3xf現在學習的是第九頁，共17頁 一般地，當函數一般地，當函數 在點在

6、點 處連續時，判斷處連續時，判斷 是極是極大（小）值的方法是：大（小）值的方法是： f(x0)=00 x)(xf)(0 xf （1）如果在）如果在 附近的左側附近的左側 ，右側，右側 ，那，那么么 是極大值是極大值0 x0)(0 xf0)(0 xf)(0 xf （2）如果在）如果在 附近的左側附近的左側 ，右側，右側 ，那，那么么 是極小值是極小值0 x0)(0 xf0)(0 xf)(0 xf注注：導數為：導數為0的點不一定是極值點的點不一定是極值點。xf，x不是極值則兩側的符號相同如果在)() 3(00現在學習的是第十頁，共17頁觀察與思考：觀察與思考：極值與導數有何關系？極值與導數有何關系

7、？對于對于可導可導函數函數,若若x0是極值點是極值點,則則 f(x0)=0;反之反之,若若f(x0)=0,則則x0不一定是極值點不一定是極值點.函數函數y=f(x)在一點的導數為在一點的導數為0是函數在這點取極值的必要條件，是函數在這點取極值的必要條件，而非充分條件。而非充分條件。函數函數y=f(x)在在x0取極值的充分條件是取極值的充分條件是: （1）f(x0)=0(2)在在x0附近的左側附近的左側 f(x0)0(0)，右側，右側f(x0)0)現在學習的是第十一頁，共17頁 (1) 求導函數求導函數f (x)； (2) 求解方程求解方程f (x)=0； (3) 檢查檢查f (x)在方程在方程

8、f (x)=0的根的左右的根的左右 的符號，并根據符號確定極大值與極小值的符號，并根據符號確定極大值與極小值.口訣：口訣：左負右正為極小，左正右負為極大。左負右正為極小，左正右負為極大。 用導數法求解函數極值的用導數法求解函數極值的步驟步驟：現在學習的是第十二頁，共17頁例例、求函數求函數 的極值的極值 4431)(3 xxxf例題講解例題講解解：解：)2)(2(42 xxxy當當x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , +00+極大值極大值y2(-2,2)-2xy )2,( ), 2(32834 極小值極小值令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y當當 時，時，y有

9、極大值，并且有極大值，并且2 x328 極大值極大值y當當 時，時，y有極小值，并且有極小值，并且2 x34 極小值極小值y現在學習的是第十三頁，共17頁例例、求函數求函數 的極值的極值 1)1()(32 xxf解：解：22)1(6 xxy當當x變化時，變化時， 的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy , 無極值無極值極小值極小值0無極值無極值y+0+001(0,1)0(-1,0)-1xy )1,( ), 1( 令令 ，解得，解得1, 0, 1321 xxx0 y當當 時，時，y有極小值，并且有極小值，并且0 x0 極極小小值值y現在學習的是第十四頁，共17頁注意注意：函數極值是在某一點附近

10、的小區間內定義的，：函數極值是在某一點附近的小區間內定義的，是是局部性質局部性質。因此一個函數在其整個定義區間上可能有。因此一個函數在其整個定義區間上可能有多多個極大值或極小值個極大值或極小值，并對同一個函數來說，在某，并對同一個函數來說，在某一點的一點的極大值也可能小于另一點的極小值極大值也可能小于另一點的極小值。練習練習1.判斷下面判斷下面4個命題，其中是真命題序號為個命題，其中是真命題序號為 。可導函數必有極值；可導函數必有極值；可導函數在極值點的導數一定等于零；可導函數在極值點的導數一定等于零；函數的極小值一定小于極大值函數的極小值一定小于極大值（設極小值、極大值都存在）；（設極小值、極大值都存在）；函數的極小值（或極大值）不會多于一個。函數的極小值（或極大值）不會多于一個。3xy 如現在學習的是第十五頁，共17頁2、函數、函數y=f(x)的導數的導數y/與函數值的變化和極值之間的關系與函數值的變化和極值之間的關系為為( )A、導數、導數y/由負變正由負變正,則函數則函數y由減變為增由減變為增,且有極大值且有極大值B、導數、導數y/由負變正由負變正,則函數則函數y由增變