1、ab 1AAmlaa一、知識點1 1）相交 有且只有一個公共點；（2）平行 在同一平面內，沒有公共點；（ 3）異面 不在任何一個平面內，沒有公共點；2. 公理 4 ：推理模式： /, /a b b c a c ? 3. 等角定理： 4. 等角定理的推論 :若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行 ,那么這兩條直線所成的銳角(或直角 相等 .5. 空間兩條異面直線的畫法 6異面直線定理：連結平面內一點與平面外一點的直線，推理模式： , , , A B l B l ? ? A B 與 l 7異面直線所成的角：已知兩條異面直線 , a b ，經過空間任一點 O 作直線 /, /a a b b '

2、;'， , a b ''所成的角的大小與點 O 的選擇無關，把 , a b ''所成的銳角（或直角）叫異面直線, a b 所成的角（或夾角）為了簡便，點O 2,0( 8異面直線垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直兩條異面直線 , a b 垂直，記作 a b 9求異面直線所成的角的方法：（ 1）通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平行線； （210兩條異面直線的公垂線、距離：和兩條異面直線都垂直相交異面直線的的定義要注意 “相交 11異面直線間的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段垂線段）的長度，叫做兩條異面

3、直線間的距離12直線和平面的位置關系（1）直線在平面內（無數個公共點）；（ 2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線和平面平行（沒有公共點） 用兩分法進行兩次分類它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為a ?， a A =，/a13線面平行的判定定理：如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行推理模式：, , /l m l m l? 14. 線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行推理模式：/, , /l l m l m? =?二、基本題型1判斷題（對的打 “”，錯的打 “×”

4、）（1）垂直于兩條異面直線的直線有且只有一條（ ）（2）兩線段 AB 、CD 不在同一平面內，如果 AC =BD ，AD =BC CD （ ） （3）在正方體中，相鄰兩側面的一對異面的對角線所成的角為，則AB60o（） （4）四邊形的一邊不可能既和它的鄰邊垂直，又和它的對邊垂直（）2右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中BM 與 ED 平行； CN 與 BE 是異面直線； CN 與 BM 成 60o角； DM與 BN 垂直 . 以上四個命題中，正確命題的序號是（ ） （A ） （B ） （ C ） （D 3已知空間四邊形 ABCD.(1 求證：對角線 AC 與 BD 是異面直線 ;(2 若 A

5、C BD,E,F,G ,H 分別這四條邊 AB,BC,CD,DA 的中點 , 試判斷四邊形 EFGH 的形狀 ;(3 若 ABBC CD DA, 作出異面直線 AC 與 BD 的公垂線段 .4完成下列證明，已知直線 a 、 b 、c 不共面，它們相交于點 P ，A a ， D a ，B b ， E c 求證： BD 和 AE 證明：假設 _ 共面于 ，則點 A 、 E 、B 、 D 都在平面 _ A a ， D a ，_? . Pa ， P _.P b ， B b ， P c ，E c _? ， _? ，這與 _矛 BD 、5 , , , E F G H 分別是空間四邊形四條邊 , , , A

6、B BC CD DA 的中點，（ 1）求證四邊形 EFGH是2）若 AC BD 時，求證： E F G H 為矩形；（ 3）若 BD =2，AC =6 ，求 22HFEG+；（4）若 AC 、BD 成 30o角， AC =6，BD =4 ，求四邊形 E F G H 的面積；（ 5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2 ，求 AC 與 BD 間的距離 .6間四邊形 ABCD 中，2ADBC=，,EF分別是,ABCD 的中點，EF =, AD BC 7. 在正方體 ABCD A 1B 1C 1D 1 中, 求(1A1B 與 B 1D 1 所成角 ;(2AC 與 BD 1 所成角 .

7、8在長方體 D C B A ABCD '''- 中，已知 AB=a， BC=b，A A '=c(a b ，求異面直線 BD'與AC9如圖，已知 P 是平行四邊形 A B C D 所在平面外一點， M 、N 分別是 A B 、P C 1）求證： /M N 平面 PAD ；（2）若 4M N B C =，PA = 求異面直線 PA與 MN10如圖,正方形 ABCD 與 ABEF 不在同一平面內 ,M 、N分別在 AC、BF上，且 AMFN=求證：/MN 平面CBEFC參考答案：1. （1）×（2）×（3）（4）×2. C3. 證

8、明： (1 ABCD 是空間四邊形 , A 點不在平面 BCD 上, 而 C 平面 BCD, AC 過平面 BCD 外一點 A 與平面 BCD 內一點 C, 又BD ? 平面 BCD, 且 C ? BD. AC 與 BD 是異面直線 . (2 解如圖 , E,F 分別為 AB,BC 的中點 , EF/AC, 且EF=21AC.同理 HG/AC, 且 HG=21AC. EF 平行且相等 HG , EFGH 是平行四邊形 .又 F,G 分別為 BC,CD 的中點 , FG/BD, EFG 是異面直線 AC 與 BD 所成的角 .AC BD, EFG=90o. EFGH 是矩形 .(3 作法取 BD

9、 中點 E,AC 中點 F, 連 EF , 則 EF 即為所求 .4. 答案：假設 BD 、 AE 共面于 ，則點 A 、E 、 B 、D 都在平面 A a ，D a ， a ? .P a ，P .P b ，B b ， P c ，E c. b ? ， c ? ，這與證明（1）：連結 , AC BD ，, E F是 A B C ? 的邊, AB BC C，同理，/HGAC ，/EFHG ，a 、 b 、c BD 、 AE 5.上的中點， /E F A同理， /E H F G ，所以，四邊形 E F G H 證明（ 2）：由（ 1）四邊形 E F G H /E F A C ，/E H B D ，由

10、 AC BD 得，EF EH ，E F G H 為矩形 .解（ 3）：由（ 1）四邊形 E F G H BD =2， AC =6， 113, 122EFACEHBD=由平行四邊形的對角線的性質20 (22222=+=+EH EFHFEG.解（ 4）：由（ 1）四邊形 E F G H BD =4，AC =6，113, 222EFACEHBD=又 /E F A C ，/E H B D ，AC 、 BD 成 30o角， EF 、EH 成 30o角，四邊形 E F G H 的面積 330sin 0=?=EHEFS.解（ 5）：分別取 AC 與 BD 的中點 M 、N, 連接 MN 、MB 、MD 、N

11、A 、 NC ， AB =BC =CD =DA =AC =BD =2 ，MB MD NA NC 3 BD MN AC MN , ，MN 是 AC 與 BD 的公垂線段 且 222=-=NBMBMN AC 與 BD 間的距離為 2.D B6. 解：取 B D 中點 G ，連結, , EG FG EF，, E F分別是, AB CD 的中點， /, /, EG AD FG BC 且 111, 122EGADFGBC=，異面直線 , AD BC 所成的角即為 , EG FG 所成的角，在EGF?中，2221cos 22EG FG EFEGF EG FG+-=-? ，120EGF =，異面直線 , A

12、D BC 所成的角為 607. 解 (1 如圖 , 連結 BD,A 1D, ABCD-A 1B 1C 1D 1 是正方體 , DD 1 平行且相等 BB 1. DBB 1D 1 為平行四邊形 , BD/B1D 1. A 1B,BD,A 1D 是全等的正方形的對角線 . A 1B=BD=A1D, A 1BD 是正三角形 , A 1BD=60o, A 1BD 是銳角 , A 1BD 是異面直線 A 1B 與 B 1D 1 所成的角 . A 1B與 B 1D 1 成角為 60o . (2 連 BD 交 AC 于 O, 取 DD 1 中點 E, 連 EO,EA,EC. O 為BD 中點 , OE/BD

13、1. EDA=90o = EDC,ED=ED,AD=DC, EDA EDC, EA=EC. 在等腰 EAC 中, O 是 AC 的中點 , EO AC, EOA=90o . 又 EOA 是異面直線 AC 與 BD 1 所成角 , AC 與 BD 1 成角 90o. 8. 解(1 如圖 , 連結 BD,A 1D,ABCD-A 1B 1C 1D 1 是正方體 , DD 1 平行且相等 BB 1. DBB 1D 1 為平行四邊形 , BD/B1D 1. A 1B,BD,A 1D 是全等的正方形的對角線 . A 1B=BD=A1D, A 1BD 是正三角形 , A 1BD=60o , A 1BD 是銳

14、角 ,A 1BD 是異面直線 A 1B 與 B 1D 1所成的角 .A 1B 與 B 1D 1成角為60o .(2連 BD 交 AC 于 O,取 DD 1 中點 E,連 EO,EA,EC. O 為 BD 中點, OE/BD1. EDA=90o =EDC,ED=ED,AD=DC, EDA EDC, EA=EC.在等腰 EAC 中, O 是 AC 的中點 , EO AC, EOA=90o. 又 EOA 是異面直線 AC 與 BD 1 所成角 , AC 與 BD 成角 90o . 9. 略證（ 1）取 PD 的中點 H ，連接 AH ， DC NH DC NH 21, /=?AMNH AM NH AM NH? =? , /為平行四邊形 PAD AH PAD MN AH MN? , , /PAD MN / ?解(2: 連接 AC 并取其中點為 O ，連接