1、Ch3-13.5 3.5 二維隨機變量函數的分布二維隨機變量函數的分布已知r.v.( X ,Y )的概率分布 g(x, y) 為已知的二元函數, 轉化為( X ,Y )的事件問題方法求 Z = g( X ,Y )的概率分布Ch3-2當( X ,Y )為離散r.v.時, Z 也離散),(kkjikyxgzZkkjkikkzyxgjikyYxXPzZP),(),()(, 2 , 1k當( X ,Y )為連續r.v.時，)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz其中Ch3-3-1-0.500.51-1-0.500.5100.250.50.751-1

2、-0.500.51-1-0.500.51),(|),(:zyxgyxDz的幾何意義：DzCh3-4例例1 1 設二維設二維 r.v. ( X,Y )的概率分布為的概率分布為X Y pij -1 1 2-1 04161418112181求求XYXYYXYX,的概率分布的概率分布離散型二維離散型二維 r.v.的函數的函數Ch3-5解解 根據( X,Y )的聯合分布可得如下表格：P 4141618181121 X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1

3、 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0Ch3-6故得PX+Y-2 -1 0 1 241414161121PX - Y-1 0 1 2 34141418181Ch3-7PX Y-2 -1 0 1 6141812411PY /X-1 -1/2 0h3-8q 設 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且獨立，具有可加性的兩個離散分布q 設 X P (1), Y P (2), 且獨立，則 X + Y B ( n1+n2, p)則 X + Y P(1+ 2) Ch3-9X P(1), Y P(2), 則Z = X + Y 的可能取值為 0,1,2

4、, , , ),()(0kiikYiXPkZPkiikiikeie021)!(!21kiikiikikke021)!( !21!)(2121kek, 2 , 1 , 0k關于關于Poisson分布可加性的證明分布可加性的證明Ch3-10問題 已知隨機變量( X ,Y )的 d.f. g(x,y)為已知的二元函數，求求 Z= g( X ,Y ) 的 d.f.方法q 從求Z 的分布函數出發,將Z 的分布函數 轉化為( X ,Y )的事件q 建立新的二維r.v.(Z ,X )或(Z, Y ), 求其邊緣分布得Z 的 d.f.二維連續二維連續r.v.的分布的分布Ch3-11(1) 和的分布：和的分布：

5、Z = X + Y 設( X ,Y )的聯合密度函數為 f (x,y), 則 zzx +y= z)()(zZPzFZ)(zYXPzyxdxdyyxf),(xzdyyxfdx),(或yzdxyxfdy),(zCh3-12特別地，若X ,Y 相互獨立，則dxxzxfzfZ),()()3 (zdyyyzfzfZ),()(或dxxzfxfzfYXZ)()()(dyyfyzfzfYXZ)()()(或)()(zfzfYX記作)()(zfzfYX記作) 1 (z) 2 (z) 4 (z稱之為函數 f X ( z) 與 f Y ( z)的卷積 Ch3-13例例2 2 已知( X ,Y ) 的聯合d.f.為其他

6、, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解法一解法一（圖形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY顯然X ,Y 相互獨立,且Ch3-14dxxzfxfzfYXZ)()()(10)(dxxzfY其他, 01, 1)(zxzxzfYz1z = x10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzz-1 = xx21Ch3-1521,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 從分布函數出發)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z當z 0 時，0)(zFZ1

7、yx1Ch3-16當0 z 1 時，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(2/2zzzfZ)(yx11x+y = zzzCh3-17x+y = z當1 z 2 時，xzzdydx011111)(1zdxxzz12/22zzzzfZ 2)(z-11yx1zz) 1()( zzFZCh3-181yx1x+y = z22當2 z 時，1)(zFZ0)(zfZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或Ch3-19例例3 3 已知 ( X ,Y ) 的聯合密度函數為其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求 f Z (z)解解:dxxzxfzfZ),()(由公式（

8、1）Ch3-20zxz = xz = 2xx = 112當 z 2 , zzzz當 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ當 1 z 2, )41 (233)(212/zxdxzfzZf Z (z) = 0其他, 02, 10,3),(xzxxxxzxfCh3-21其他, 021),41 (2310,89)(22zzzzzfZ這比用分布函數做簡便Ch3-22 正態隨機變量的結論q 若X ,Y 相互獨立,),(),(222211NYNX則),(222121NYXniNXiii, 2 , 1),(2 若nXXX,21相互獨立則),(1211niiniiniiNX推廣推廣Ch3-23(2)

9、 極值分布：即極大值，極小值的分布極值分布：即極大值，極小值的分布對于離散型隨機變量的極值分布可直接計算只討論相互獨立的隨機變量的極值分布Ch3-24maxX ,Y P1 00.75 0.25 例例6 6 X, Y 相互獨立, 都服從參數為 0.5 的0-1分布. 求 M = maxX ,Y 的概率分布解解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25Ch3-25設連續隨機變量X ,Y 相互獨立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函數.),(max)(uYXPuFM),(uYuXP)()(uYPuX

10、P)()(uFuFYXCh3-26),(min)(vYXPvFN),(min1vYXP),(1vYvXP)()(1vYPvXP.)(1)(1 1vFvFYXCh3-27推廣推廣nXXX,21相互獨立，且相互獨立，且nixFXiii, 2 , 1),(設設,min,max2121nnXXXNXXXM則則niiNniiMvFvFuFuF11)(1 (1)()()(Ch3-28例例7 7 系統 L 由相互獨立的 n 個元件組成，其連接方式為 串聯; 并聯；若 n 個元件壽命分別為nXXX,21niEXi, 2 , 1),(且求在以上 2 種組成方式下, 系統 L 的壽命 X 的密度函數.Ch3-29解解其它, 00,)(ixiXxexfii其它, 00,1)(i