1、1.1分類分類加法加法計數原理計數原理與分步與分步乘法乘法計數原理計數原理( (選修選修2 23)3)( (第一課時第一課時) )思考思考：用一個大寫的英文字母或一個：用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，總阿拉伯數字給教室里的座位編號，總共能夠編出多少種不同的號碼？共能夠編出多少種不同的號碼？261036你能說說這個問題的特征嗎？你能說說這個問題的特征嗎？ 最重要特征是最重要特征是“或或”字的出現，每個字的出現，每個座位可以用一個英文字母或一個阿拉座位可以用一個英文字母或一個阿拉伯數字編號伯數字編號.由于英文字母、阿拉伯由于英文字母、阿拉伯數字各不相同，所以其編出的號碼也數

2、字各不相同，所以其編出的號碼也不同不同.從甲地到乙地，可以乘火車或乘汽車一從甲地到乙地，可以乘火車或乘汽車一天中，火車有天中，火車有3 3班，汽車有班，汽車有2 2班那么一天班那么一天中，乘這些交通工具從甲地到乙地，共有中，乘這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？多少種不同的走法？因為一天中乘火車有因為一天中乘火車有3 3種走法，乘汽車有種走法，乘汽車有2 2種走法，每種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有：3 32 25 5你能概括上述問題的共同特征嗎？你能概括上述問題的共同特征嗎？ Nmn完成一件事，有兩類不同方案，在第完成一件事，有

3、兩類不同方案，在第1 1類方案中有類方案中有m m種不同的方法，在第種不同的方法，在第2 2類方類方案中有案中有n n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事那么完成這件事共有：共有：種不同的方法種不同的方法兩類不同方案中兩類不同方案中的方法互不相同的方法互不相同例例1.在填寫高考志愿表時，一名高中畢業在填寫高考志愿表時，一名高中畢業生了解到，生了解到，A、B兩所大學各有一些自己兩所大學各有一些自己感興趣的強項專業，具體情況如下：感興趣的強項專業，具體情況如下：A大學大學B大學大學生物學生物學 數學數學化學化學 會計學會計學醫學醫學 信息技術學信息技術學物理學物理學 法學法學工程學工程學如

4、果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇？如果這名同學只能選一個專業，那么他共有多少種選擇？完成一件事情完成一件事情指的是什么？指的是什么？一件事情是指一件事情是指選擇一個專業選擇一個專業nmmmN21如果完成一件事情如果完成一件事情有有n n類不同方案，在類不同方案，在第第1 1類類方案方案中有中有m m1 1種不同的方法，在第種不同的方法，在第2 2類類方案方案中有中有m m2 2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n n類類方案方案中有中有m mn n種不同的方法，那么完成種不同的方法，那么完成這件事共有這件事共有 種不同的方法？種不同的方法？思考思考:用一個大寫的英文字母用一個

5、大寫的英文字母和和一個阿拉伯一個阿拉伯數字，以數字，以A0,A1,的方式給教室里的座位的方式給教室里的座位編號，總共能夠編出多少個不同的號碼？編號，總共能夠編出多少個不同的號碼？2610260這個問題與前一個問題有什么不同？這個問題與前一個問題有什么不同？ 完成一件事指的是什么？完成一件事指的是什么？ 得到一個號碼必須經過先確定一個英得到一個號碼必須經過先確定一個英文字母，后確定一個阿拉伯數字這樣文字母，后確定一個阿拉伯數字這樣兩個步驟兩個步驟. 你能列出所有號碼嗎？你能列出所有號碼嗎？ 窮舉要有規律，要有序窮舉要有規律，要有序 從甲地到乙地，從甲地選乘火車到丙地，再于從甲地到乙地，從甲地選乘

6、火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地一天中，火車有次日從丙地乘汽車到乙地一天中，火車有3 3班，汽車有班，汽車有2 2班那么兩天中，從甲地到乙地班那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法共有多少種不同的走法 ？ 這個問題與前一個問題不同在前一個問題中，采這個問題與前一個問題不同在前一個問題中，采用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地用乘火車或汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地；而在這個問題中，到乙地；而在這個問題中，必須經過先乘火車、后必須經過先乘火車、后乘汽車兩個步驟乘汽車兩個步驟，才能從甲地到乙地，才能從甲地到乙地這里，因為乘火車有這里，因為乘火車有3 3種走法，乘汽車有

7、種走法，乘汽車有2 2種走法，所種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有：以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有：3 32 26 6種不同的走法種不同的走法 Nmn完成一件事需要兩個步驟，做第完成一件事需要兩個步驟，做第1 1步有步有m m種不同的方法，做第種不同的方法，做第2 2步有步有n n種不同的種不同的方法，那么完成這件事共有：方法，那么完成這件事共有：種不同的方法種不同的方法無論第無論第1步采用哪種步采用哪種方法，都不影響第方法，都不影響第2步方法的選取步方法的選取.例例2.某商場有某商場有6個門，如果某人從其個門，如果某人從其中的任意一個門進入商場，并且要求中的

8、任意一個門進入商場，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的從其他的門出去，共有多少種不同的進出商場的方式？進出商場的方式？nmmmN21如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要分成分成n n個步驟，做第個步驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法，做第種不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2種不同種不同的方法，的方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法，種不同的方法，那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法？分類計數原理與分步計數原理的分類計數原理與分步計數原理的區別與聯系區別與聯系: : 不同點：分類計數原理與不同點：分類計數原理與“分類分類”

9、有關，有關，各種方法各種方法相互獨立相互獨立，用其中，用其中任何一種任何一種方法方法都可以都可以完成完成這件事；分步計數原理與這件事；分步計數原理與“分分步步”有關，各個步驟有關，各個步驟相互依存相互依存，只有，只有各個各個步驟都完成步驟都完成了，這件事才算了，這件事才算完成完成 相同點：分類計數原理與分步計數原理都是相同點：分類計數原理與分步計數原理都是涉及完成一件事的不同方法的種數的問題涉及完成一件事的不同方法的種數的問題. .例例3.書架的第書架的第1層放有層放有4本不同的計算本不同的計算機書，第機書，第2層放有層放有3本不同的文藝書，本不同的文藝書，第第3層放有層放有2本不同的體育書本

10、不同的體育書.(1)從書架中任取從書架中任取1本書，有多少種不本書，有多少種不同取法？同取法？(2)從書架的第從書架的第1，2，3層各取層各取1本書，本書，有多少種不同取法？有多少種不同取法？43294 3 224 例例4.要從甲、乙、丙要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選幅不同的畫中選出出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？定位置，問共有多少種不同的掛法？3 26小小 結結用兩個計數原理解決問題時，要仔細分析用兩個計數原理解決問題時，要仔細分析需要分類還是分步需要分類還是分步.分步要做到分步要做到“不重不漏不重不漏”.分類要做到分類要做到“

11、不重不漏不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數，最后分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數用分類加法計數原理求和，得到總數.完成了所有步驟，恰好完成任務，且步與步完成了所有步驟，恰好完成任務，且步與步之間要相互獨立之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法分步后再計算每一步的方法數，最后根據分布乘法計數原理，把完成每數，最后根據分布乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數一步的方法數相乘，得到總數.已知集合已知集合A=-2，1，3，B=-3，4，5，-6，從，從A、B中各取一個元素分別中各取一個元素分別作為點的橫、縱坐標，則在第一、第作為點的橫、縱坐標，則在

12、第一、第二象限中的不同點共有多少個？二象限中的不同點共有多少個？ 6個個設某班有男生設某班有男生30名，女生名，女生23名，現名，現要從中選出男、女生各一名代表班級要從中選出男、女生各一名代表班級參加比賽，則有多少種不同的選法？參加比賽，則有多少種不同的選法？設某班有男生設某班有男生30名，女生名，女生23名，現要名，現要從中選出正、副組長各從中選出正、副組長各1名，則有多少名，則有多少種不同的選法？種不同的選法？302369053 5227561.1分類分類加法加法計數原理計數原理與分步與分步乘法乘法計數原理計數原理( (選修選修2 23)3)( (第二課時第二課時) )nmmmN21完成一

13、件事，完成一件事，有有n n類辦法，在第類辦法，在第1 1類辦法類辦法中有中有m m1 1種不同的方法，在第種不同的方法，在第2 2類辦法中有類辦法中有m m2 2種不同的方法，種不同的方法，在第，在第n n類辦法中有類辦法中有m mn n種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法種不同的方法nmmmN21完成一件事，需要完成一件事，需要分成分成n n個步驟，做第個步驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法，做第種不同的方法，做第2 2步有步有m m2 2種種不同的方法，不同的方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同種不同的方法，那么完成這件

14、事共有：的方法，那么完成這件事共有：種不同的方法種不同的方法練習練習1：乘積：乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？展開后共有多少項？練習練習2 2：要從甲、乙、丙：要從甲、乙、丙3 3名工人中名工人中選出選出2 2名分別上日班和晚班，有多少名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？種不同的選法？ 例例5.給程序模塊命名，需要用給程序模塊命名，需要用3個字個字符，其中首字符要求用字母符，其中首字符要求用字母AG或或UZ，后兩個要求用數字，后兩個要求用數字19，問，問最多可以給多少個程序命名？最多可以給多少個程序命名？例例6.核糖核酸（

15、核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發）分子是在生物細胞中發現的化學成分，一個現的化學成分，一個RNA分子是一個有著數百分子是一個有著數百個甚至數千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置個甚至數千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學成分所占據上都由一種稱為堿基的化學成分所占據.總共有總共有4種不同的堿基，分別用種不同的堿基，分別用A，C，G，U表示表示.在在一個一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置現，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關上的堿基無關.假設有一類假設有一類RNA分子由分子由100個

16、堿個堿基組成，那么能有多少種不同的基組成，那么能有多少種不同的RNA分子？分子？例例7.電子元件很容易實現電路的通與斷、電位電子元件很容易實現電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的的高與低等兩種狀態，而這也是最容易控制的兩種狀態兩種狀態.因此計算機內部就采用了每一位只有因此計算機內部就采用了每一位只有0或或1兩種數字的記數法，即二進制兩種數字的記數法，即二進制.為了使計算為了使計算機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個機能夠識別字符，需要對字符進行編碼，每個字符可以用一個或多個字節來表示，其中字節字符可以用一個或多個字節來表示，其中字節是計算機中數據存儲的最小計量單位，每

17、個字是計算機中數據存儲的最小計量單位，每個字節由節由8個二進制位構成，問：個二進制位構成，問：（1）一個字節（）一個字節（8位）最多可以表示多少個不位）最多可以表示多少個不同的字符？同的字符？（2）計算機漢字國標碼（）計算機漢字國標碼（GB碼）包含了碼）包含了6763個個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進行編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？編碼，每個漢字至少要用多少個字節表示？例例8.計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序計算機編程人員在編寫好程序以后需要對程序進行測試進行測試.程序員需要知道到底有多少條執行路徑程序員需要知道到底有多少條執

18、行路徑（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提（即程序從開始到結束的路線），以便知道需要提供多少個測試數據供多少個測試數據.一般地，一個程序模塊由許多子一般地，一個程序模塊由許多子模塊組成模塊組成.如圖，它是一個具有許多執行路徑的程序如圖，它是一個具有許多執行路徑的程序模塊模塊.問：這個程序模塊有多少條執行路徑？問：這個程序模塊有多少條執行路徑？開始開始結束結束子模塊子模塊118條執行路徑條執行路徑子模塊子模塊245條執行路徑條執行路徑子模塊子模塊328條執行路徑條執行路徑子模塊子模塊438條執行路徑條執行路徑子模塊子模塊543條執行路徑條執行路徑為減少測試時間，該如何設計測試方法？為減少

19、測試時間，該如何設計測試方法？例例9.隨著人們生活水平的提高，某城市家隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號碼需要擴容要擴容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都必須有組成辦法，每一個汽車牌照都必須有3個個不重復的英文字母和不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯個不重復的阿拉伯數字，并且數字，并且3個字母必須合成一組出現，個字母必須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現，那么這種辦個數字也必須合成一組出現，那么這種辦法共能給多少輛汽車上牌照？法共能給多少輛汽車上牌照？小小 結結用兩個

20、計數原理解決問題時，要仔細分析用兩個計數原理解決問題時，要仔細分析需要分類還是分步需要分類還是分步.分步要做到分步要做到“不重不漏不重不漏”.分類要做到分類要做到“不重不漏不重不漏”.分類后再分別對每一類進行計數，最后分類后再分別對每一類進行計數，最后用分類加法計數原理求和，得到總數用分類加法計數原理求和，得到總數.完成了所有步驟，恰好完成任務，且步與步完成了所有步驟，恰好完成任務，且步與步之間要相互獨立之間要相互獨立.分步后再計算每一步的方法分步后再計算每一步的方法數，最后根據分布乘法計數原理，把完成每數，最后根據分布乘法計數原理，把完成每一步的方法數相乘，得到總數一步的方法數相乘，得到總數

21、.某電話局管轄范圍內的電話號碼由八某電話局管轄范圍內的電話號碼由八位數字組成，其中前四位的數字是不位數字組成，其中前四位的數字是不變的，后四位數字都是變的，后四位數字都是09之間的一之間的一個數字，那么這個電話局不同的電話個數字，那么這個電話局不同的電話號碼最多有多少個？號碼最多有多少個？例例. 把四封信任意投入三個信箱中，不把四封信任意投入三個信箱中，不同的投法種數是多少？同的投法種數是多少？已知集合已知集合A=a,b,c，集合，集合B=c,d,e,f，問：問：（1）可以建立從集合）可以建立從集合A到到B的不同映的不同映射的個數；射的個數；（2）可以建立從集合）可以建立從集合B到到A的不同映

22、的不同映射的個數射的個數.3名同學分別報名參加校數學、物理、名同學分別報名參加校數學、物理、化學、生物競賽輔導，每人限報其化學、生物競賽輔導，每人限報其中一門，則不同的報法有多少種？中一門，則不同的報法有多少種？小結小結:解決解決“允許重復排列問允許重復排列問題題”要注意區分兩類元素：一要注意區分兩類元素：一類元素可以重復類元素可以重復.另一類不能另一類不能重復，把不能重復的元素看作重復，把不能重復的元素看作“客客”，能重復的元素看作，能重復的元素看作“店店”，再利用乘法原理直接，再利用乘法原理直接求解的方法稱為求解的方法稱為“住店法住店法”.(1)4名運動員爭奪三項冠軍名運動員爭奪三項冠軍(無并列無并列)不同的結果有多少種？不同的結果有多少種？ (2)4名運動員參加三項比賽，每人名運動員參加三項比賽，每人限報一項，不同的報名方式有多少限報一項，不同的報名方式有多少種？種？ (3) 1200的自然數中，有多少個的自然數中，有多少個各位數上都不含數字各位數上都不含數字5的個數？的個數？ 1.1分類分類加法加法計數原理計數原理與分步與分步乘法乘法計數原理計數原理( (選修選修2 23)3)( (第三課時第三課時) )用用0 0，1 1，2 2，9 9可以組成多少個可以組成多少個8 8位號碼；位號碼； 用用0 0，1 1，2 2，9 9可以