1、計算流體力學(xué)講義計算流體力學(xué)講義 第四講第四講 有限差分法（有限差分法（2）李新亮李新亮 ；力學(xué)所主樓；力學(xué)所主樓219； 82543801 知識點(diǎn)：知識點(diǎn)： 離散誤差的離散誤差的Fourier分析分析; 間斷周圍數(shù)值振蕩的原因；間斷周圍數(shù)值振蕩的原因； GVC格式；格式； 模型方程向模型方程向N-S方程的推廣；方程的推廣； 1講義、課件上傳至講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng)）流體中文網(wǎng)） - “流體論壇流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論 ”Copyright by Li Xinliang 3.3 差分格式的進(jìn)一步分析差分格式的進(jìn)一步分析1. 耗散與色散誤差耗散與色散誤差2Copyrigh

2、t by Li Xinliang)sin()0 ,(0 xxuxutu精確解1階迎風(fēng)xu0123456-1-0.500.51Exact1st upwind2nd upwindCopyright by Li Xinliangt=solutions of 1D convection Eq.2階迎風(fēng))2/()43(21xuuuujjjjxuuujjj/ )(1數(shù)值實驗數(shù)值實驗 boundaryperiodicxxxuxutu,2 , 0)sin()0 ,(0時間推進(jìn)：時間推進(jìn)： 3步步TVD型型Runge-Kutta, 且且時間步長足夠小（誤差忽略）時間步長足夠小（誤差忽略）空間離散：空間離散： 1

3、階及階及2階迎風(fēng)格式階迎風(fēng)格式 （20個網(wǎng)格點(diǎn)）個網(wǎng)格點(diǎn)）實驗觀察到的現(xiàn)象實驗觀察到的現(xiàn)象 兩類誤差：兩類誤差： 振幅誤差振幅誤差 相位誤差相位誤差 （波速誤差）（波速誤差） Copyright by Li Xinliang3對以上對以上“實驗現(xiàn)象實驗現(xiàn)象”進(jìn)行理論分析進(jìn)行理論分析半離散分析：半離散分析： 假設(shè)時間推進(jìn)是精確的，僅假設(shè)時間推進(jìn)是精確的，僅分析空間離散帶來的誤差（難度小、常用）分析空間離散帶來的誤差（難度小、常用）全離散分析：全離散分析： 同時分析時、空離散的誤差同時分析時、空離散的誤差 （難度大）（難度大）boundaryperiodicxexfcxfctfikx,2 , 0)

4、0 ,()0(0考查問題：實際上就是普通三角函數(shù)，實際上就是普通三角函數(shù)，采用復(fù)采用復(fù)數(shù)形式僅僅是為了理論推導(dǎo)數(shù)形式僅僅是為了理論推導(dǎo)方便。方便。用實數(shù)形式用實數(shù)形式 sin(kx), cos(kx)推導(dǎo)形推導(dǎo)形式上略顯繁瑣。式上略顯繁瑣。 精確解：ikxikctctxikeeetxf)(),(差分格式：0jxjfctf（1）xfffjjjx/ )(1)2/()43(21xuuufjjjjx 其他格式 jikxjexu)(假設(shè)對于：假設(shè)對于：有有jikxjxexku隱含假設(shè)隱含假設(shè): 線性差分格式線性差分格式 非線性系統(tǒng)作用于單波，會產(chǎn)生非線性系統(tǒng)作用于單波，會產(chǎn)生多個諧波多個諧波 （2） 差

5、分沒有誤差差分沒有誤差xikkCopyright by Li Xinliang4令：jikxjetutxf)( ),(jikxjxxektutxf/)( ),(（1）式化為：0/)( )( jjikxikxxektucedttud0/)( )( xktucdttud“半離散化半離散化”： 空間導(dǎo)數(shù)差分計算，空間導(dǎo)數(shù)差分計算，時間方程（常微）精確計算時間方程（常微）精確計算xctkeutu/)0( )( xctkikxikxjjjeuetutxf/)0( )( ),(ixikk如果如果 ， 無誤差無誤差分析分析 （修正波數(shù)）與誤差的關(guān)系（修正波數(shù)）與誤差的關(guān)系kirikkk)/(/)0( ),(

6、xkctkxikxctkjijreeutxf 理想情況：理想情況： 的誤差導(dǎo)致解的幅值誤差的誤差導(dǎo)致解的幅值誤差 耗散誤差耗散誤差 的誤差導(dǎo)致解傳播速度的誤差的誤差導(dǎo)致解傳播速度的誤差 色散誤差色散誤差xkkkir , 0rkikjikxjexu)(假設(shè)對于：假設(shè)對于：有有jikxjxexku 反映了一個波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。反映了一個波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)。PPW （波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)）（波內(nèi)的點(diǎn)數(shù)）= Copyright by Li Xinliang5jikxjexu)(jikxjxexku耗散、色散誤差分別由修正波數(shù)耗散、色散誤差分別由修正波數(shù)的實部和虛部決定。的實部和虛部決定。k關(guān)鍵參數(shù)：關(guān)鍵參數(shù)： 修正波數(shù)修正波

7、數(shù)含義：含義： 反應(yīng)波數(shù)（譜）空間內(nèi)差分的誤差反應(yīng)波數(shù)（譜）空間內(nèi)差分的誤差jikxkkjefxf)(任意函數(shù)：jikxkkjefikxf)(定義：kkfikf求導(dǎo)數(shù)，精確解求導(dǎo)數(shù)，精確解差分解差分解jikxkkjxjef xk ifF/kkfxkFFourier 分析的任務(wù)分析的任務(wù)計算出計算出 ，并考差其與，并考差其與 的逼近程度。的逼近程度。kixik 考察格式考察格式分辨率（分辨率（resolution）的重要指標(biāo)的重要指標(biāo) 精度：精度： 反映反映 時的情況時的情況 分辨率：網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)很少（例如波里面只有分辨率：網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)很少（例如波里面只有6個點(diǎn)）時的性能個點(diǎn)）時的性能對于多尺度問題，分

8、辨率更重要。對于多尺度問題，分辨率更重要。 犧牲精度，提高分辨率犧牲精度，提高分辨率0 xxk 優(yōu)秀的差分格式，優(yōu)秀的差分格式，1個個波長里面波長里面6個點(diǎn)個點(diǎn) 即可即可/2精度精度 分辨率分辨率Copyright by Li Xinliang6如何計算修正波數(shù)？如何計算修正波數(shù)？jikxjexu)(jikxjxexku定義： 方法方法1. 理論計算理論計算 根據(jù)差分具體表達(dá)式及定義計算根據(jù)差分具體表達(dá)式及定義計算例例1：xuuujjjx1令jikxjeu 則：jjjjikxiikxxxikikxjjjxexkexeeexxuuu)1 ()(1)(1xk于是：sin)cos1 (1ieki1階

9、迎風(fēng)階迎風(fēng)sin,cos1irkk例例2：)2/()43(21xuuuujjjjx2階迎風(fēng)階迎風(fēng))43(2243221iiikxjjjjxeexexuuuuj2/ )43(2iieek2/ )2sinsin4(,2/ )2coscos43(irkkCopyright by Li Xinliang7方法方法2： 數(shù)值計算數(shù)值計算jikxjexu)(jikxjxexku定義：Step 1）選取計算域）選取計算域0,2 , 計算網(wǎng)格（例如計算網(wǎng)格（例如64，128）Step 2）給定波數(shù)給定波數(shù) k, 生成函數(shù)值生成函數(shù)值Step 3) 調(diào)用差分子程序，得到導(dǎo)數(shù)值調(diào)用差分子程序，得到導(dǎo)數(shù)值Step

10、4) 通過通過Fourier反變換，得到譜：反變換，得到譜：假設(shè)已有求差分的子程序（黑箱，已知是線性的）假設(shè)已有求差分的子程序（黑箱，已知是線性的）x線性黑箱ju強(qiáng)調(diào)：研究CFD本身，不能只使用理論手段，還要用數(shù)值手段jxjuv).2 , 1(Njeujikxj).2 , 1(NjvjNjikxjkjevNv11根據(jù)修正波數(shù)的定義，根據(jù)修正波數(shù)的定義， 有有xvkk Step 5) 改變改變k的值，重復(fù)的值，重復(fù)2-5， 得到得到 對于對于 的依賴關(guān)系。畫圖的依賴關(guān)系。畫圖kxk非線性情況會產(chǎn)生高次諧波，造成非線性情況會產(chǎn)生高次諧波，造成 step 4 中隱含的假設(shè)無法成立中隱含的假設(shè)無法成立

11、 將將Fourier分析手段拓展到非線性系統(tǒng)分析手段拓展到非線性系統(tǒng) 需要研究的課題需要研究的課題隱含條件：只有隱含條件：只有波數(shù)為波數(shù)為k的那個的那個譜不為譜不為0 （線性（線性系統(tǒng)）系統(tǒng)）Copyright by Li Xinliang8中心差分格式的色散特性中心差分格式的色散特性0： 精確解；精確解； 1 ： 4階普通階普通2： 6階普通；階普通； 3：4階緊致階緊致4： 6階緊致；階緊致； 5：6階超緊致階超緊致迎風(fēng)差分格式的色散特性迎風(fēng)差分格式的色散特性0： 精確解，精確解， 1： 2階迎風(fēng)階迎風(fēng)2： 5階迎風(fēng)偏心階迎風(fēng)偏心 3： 3階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致4： 5階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致

12、每個波長里面每個波長里面2個網(wǎng)格點(diǎn)，個網(wǎng)格點(diǎn)， 譜方法譜方法的分辨率，的分辨率， 差分法分辨率的極限（只差分法分辨率的極限（只有無窮階精度才能達(dá)到）有無窮階精度才能達(dá)到）2)int(WavePersPoPPW20階超緊階超緊致格式致格式 接近譜接近譜方法方法Copyright by Li Xinliang9不同差分格式的色散誤差曲線不同差分格式的色散誤差曲線結(jié)論：結(jié)論： 要求分辨率相同的情況下，要求分辨率相同的情況下， 采用高階格式可放寬空間網(wǎng)格步采用高階格式可放寬空間網(wǎng)格步長，從而減少計算量長，從而減少計算量重要方向：重要方向： 高分辨率差分格式高分辨率差分格式0： 精確解精確解1： 2階迎

13、風(fēng)階迎風(fēng)2: 3階迎風(fēng)階迎風(fēng)3： 3階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致4： 5階迎風(fēng)緊致階迎風(fēng)緊致 指定誤差要求的情況下，不同差分格指定誤差要求的情況下，不同差分格式能模擬的最大式能模擬的最大 ( ( 越大，所需網(wǎng)越大，所需網(wǎng)格越少）格越少） /2PPW作業(yè)題作業(yè)題1： 構(gòu)造高分辨率差分格式，并進(jìn)行理論分析及數(shù)值實驗構(gòu)造高分辨率差分格式，并進(jìn)行理論分析及數(shù)值實驗 針對單波方程針對單波方程：0 xutu 對于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過對于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過6點(diǎn)格式；并進(jìn)行點(diǎn)格式；并進(jìn)行Fourier誤差分析，誤差分析，畫出畫出kr,ki的曲線。的曲線。 要求：精度不限；要求：精度不限； 網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不

14、超過網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不超過6個；個； 能夠分辨的波數(shù)范圍盡量寬；能夠分辨的波數(shù)范圍盡量寬； （即（即kr,ki曲線近可能接近準(zhǔn)確解）曲線近可能接近準(zhǔn)確解） 給出差分的具體表達(dá)式，給出差分的具體表達(dá)式， 畫出畫出kr,ki的曲線；的曲線； 說明構(gòu)造格式的階數(shù)，并采用本說明構(gòu)造格式的階數(shù)，并采用本PPT第第5頁的方法給出的精度驗證；頁的方法給出的精度驗證； 26154131231jjjjjjjjuauauauauauaxuu16514233241jjjjjjjjuauauauauauaxuu形如：另外，進(jìn)行如下數(shù)值驗證：另外，進(jìn)行如下數(shù)值驗證：)sin()0 ,(2 , 0, 0 xxuxxutu空間

15、采用空間采用20個網(wǎng)格點(diǎn)，采用新構(gòu)造的差分格式離散；時間推進(jìn)采用個網(wǎng)格點(diǎn)，采用新構(gòu)造的差分格式離散；時間推進(jìn)采用3步步Runge-Kutta方法，時間步長可足夠小（例如方法，時間步長可足夠小（例如0.01）。給出）。給出t=20,50兩個時兩個時刻的數(shù)值解，與精確解比較（畫圖），并給出數(shù)值解的刻的數(shù)值解，與精確解比較（畫圖），并給出數(shù)值解的L2模誤差。模誤差。10Copyright by Li Xinliang提示： 1. 如不使用優(yōu)化技術(shù)，則格式構(gòu)造方法簡單， Taylor展開后解代數(shù)方程組即可。 2. 建議嘗試使用優(yōu)化技術(shù) 26154131231jjjjjjjjuauauauauauaxu

16、u例： 假設(shè)格式形式如下如果要求其有5階精度，則通過Taylor展開可得到6個方程，6個系數(shù)可直接解出。我們要求其有4階精度（當(dāng)然3階，2階也可），于是Taylor展開只能提供5個方程。6個未知數(shù)（a1-a6）， 5個方程； 有1個自由參數(shù)。 調(diào)整這個自由參數(shù)，使得kr,ki曲線最為理想。 如何調(diào)整？ 1) 可以人工調(diào)整，觀察kr,ki曲線，選取滿意的。 2）可自動調(diào)整，設(shè)立一個優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。 例如 調(diào)整自由參數(shù)，使得該目標(biāo)函數(shù)取最大值。思路：犧牲精度，提高分辨率 05. 0)(:*ik11Copyright by Li Xinliang附錄：附錄： 部分差分格式部分差分格式 j-2 j-1

17、j j+1 0 xuatu表中的迎風(fēng)差分格式均針對表中的迎風(fēng)差分格式均針對 a0當(dāng)a0 時， 右側(cè)為“前”） 2） 根據(jù)根據(jù)GVC的思想構(gòu)造格式的思想構(gòu)造格式j(luò)jjjjjjjjjjjjjxuuuuwhenxuuuuuuwhenxuuuu11111121)2/()()2/()43(間斷前：快格式；間斷前：快格式；間斷后：慢格式；間斷后：慢格式；格式 GVC23） 改寫成為守恒型改寫成為守恒型非線性情況，通常守非線性情況，通常守恒型效果更好恒型效果更好jjjjjjjjjjjjjuuuuwhenuuuuuuwhenuuF1111112/12/ )(2/ )3(xFFujjjx/ )(2/12/1NN

18、D格式 GVC2a17Copyright by Li Xinliang 4） a 0 時，時， 同樣思路構(gòu)造同樣思路構(gòu)造 （利用對稱性，僅需把下標(biāo)（利用對稱性，僅需把下標(biāo)j+k換成換成j-k即可）即可） 00axuatujjjjjjjjjjjjjuuuuwhenuuuuuuwhenuuF1111112/12/ )(2/ )3(采用GVC2a (NND 2a)格式的計算結(jié)果 消除振蕩xu00.8100.51NND 2aNND 2Exact solution1st upwindDeveloping of initial discontinuity2nd NND(C) Li Xin

19、liangt=0.2使用NND2a （守恒形式）；NND2 （普通形式）及1階迎風(fēng)格式的計算結(jié)果1211121212/12/ )(2/ )3(jjjjjjjjjjjjjuuuuwhenuuuuuuwhenuuF將j換成j+118Copyright by Li Xinliang作業(yè)題作業(yè)題2： 構(gòu)造更高分辨率的構(gòu)造更高分辨率的GVC格式格式 對于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過對于空間導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造出一種不超過6點(diǎn)的點(diǎn)的GVC格式。要求：格式。要求： a. 精度不限；精度不限； b. 網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不超過網(wǎng)格基架點(diǎn)數(shù)不超過6個；個； c. 求解模型方程求解模型方程 1,0axuatu5 . 015 . 00

20、)0 ,(xxxu計算結(jié)果間斷盡量保持計算結(jié)果間斷盡量保持“銳利銳利”;計算結(jié)果振蕩盡量小。計算結(jié)果振蕩盡量小。振蕩的定量判據(jù)：振蕩的定量判據(jù)： 總變差（總變差（Total Variation）：）： 間斷間斷“銳利銳利”的定量判據(jù)：的定量判據(jù)： 間斷區(qū)內(nèi)的點(diǎn)數(shù)？間斷區(qū)內(nèi)的點(diǎn)數(shù)？ （自行設(shè)計）（自行設(shè)計）111NjjjuuTV給出差分格式的表達(dá)式、色散給出差分格式的表達(dá)式、色散/耗散分析耗散分析 （ki,kr曲線）；曲線）；給出模型方程給出模型方程t=0.2的結(jié)果（空間的結(jié)果（空間100個網(wǎng)格點(diǎn)，計算域個網(wǎng)格點(diǎn)，計算域0,1，時間推進(jìn)可采用，時間推進(jìn)可采用3階階Runge-Kutta方法）；與

21、精確解及方法）；與精確解及NND2a進(jìn)行比較（畫在同一張圖上）進(jìn)行比較（畫在同一張圖上）xu00.8100.51NND 2aNND 2Exact solution1st upwindDeveloping of initial discontinuity2nd NND(C) Li Xinliangt=0.2建議： 利用優(yōu)化方法19Copyright by Li Xinliang 3.5 從模型方程推廣到從模型方程推廣到N-S方程（方程（Euler方程）方程）0 xuatu?0?,0aa格式F+格式F-visf(U)UxtTTpEupuufEuU)(,(,),(2xf(U)xua

22、（教科書第6章）對流項：信息（波）從上游傳至下游對流項：信息（波）從上游傳至下游 上游信息更重要上游信息更重要 迎風(fēng)差分迎風(fēng)差分?jǐn)U散項：擴(kuò)散項： 信息從中心向周圍擴(kuò)散信息從中心向周圍擴(kuò)散 不區(qū)分上、下游不區(qū)分上、下游 中心差分中心差分迎風(fēng)差分優(yōu)點(diǎn)：迎風(fēng)差分優(yōu)點(diǎn)： 有效利用信息傳播的方向，增強(qiáng)穩(wěn)定性有效利用信息傳播的方向，增強(qiáng)穩(wěn)定性微分與差分方程的影響域N-S方程：單波方程：單波方程單波方程 一個波，容易判斷波傳播方向一個波，容易判斷波傳播方向N-S對流項（對流項（Euler） 方程組：多波問題，方程組：多波問題， 復(fù)雜復(fù)雜雙曲方程組的原則雙曲方程組的原則 特征分解，找到獨(dú)立傳播的波特征分解，找

23、到獨(dú)立傳播的波0000 xvtvxtxtxtkkkVVUSSUUAU1常系數(shù)矩陣常系數(shù)矩陣A的情況的情況 完全解耦，獨(dú)立求解完全解耦，獨(dú)立求解變系數(shù)矩陣變系數(shù)矩陣A的情況的情況 局部討論局部討論20Copyright by Li Xinliang1. Jacobian 系數(shù)矩陣及其性質(zhì)系數(shù)矩陣及其性質(zhì)xxUAf(U)Uf(u)Af(U)Uf)(f(U)UUU)f()()(1AUUUf(U)f(U)(xxxUAAUf(U)(重要性質(zhì)uucucuuu222322311221)3(23010AtttUAAUf(U)(特點(diǎn)：特點(diǎn)： A 可以像常數(shù)一樣，和求導(dǎo)運(yùn)算交換可以像常數(shù)一樣，和求導(dǎo)運(yùn)算交換vis

24、f(U)UxtTTpEupuufEuU)(,(,),(221Copyright by Li Xinliang2. 對流項的分裂對流項的分裂 目的：目的： 確定波傳播方向，便于使用迎風(fēng)差分確定波傳播方向，便于使用迎風(fēng)差分方法：方法： 1） 逐點(diǎn)分裂逐點(diǎn)分裂 2） 嚴(yán)格特征分裂嚴(yán)格特征分裂 1） 逐點(diǎn)分裂逐點(diǎn)分裂 利用性質(zhì))(AUUAf(U)xxxSSA1kdiagkdiag2,2kk=+優(yōu)點(diǎn)：耗散小缺點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)間斷SSA1SUSUAf1方式 A:2)(2/122kkk) 1(2)(3(232cw特點(diǎn)：特點(diǎn)： 不必進(jìn)行矩陣運(yùn)算，計算量小不必進(jìn)行矩陣運(yùn)算，計算量小Steger-Warming 分裂分裂

25、wcucuucucuu232221321321)(2)(2) 1()()() 1(2) 1(22)(f)(fffffA: Steger-Warming 分裂分裂22Copyright by Li Xinliang Steger-Warming 具體步驟具體步驟 （以一維為例）（以一維為例）已知已知TEuU),(1） 計算計算2） 計算計算3） 計算計算4） 帶入（帶入（1）式得到）式得到5） 利用不同的迎風(fēng)格式，分別計算利用不同的迎風(fēng)格式，分別計算 pu,cucuu321,2)(2/122kkk)3 , 2 , 1(,kkkwcucuucucuu232221321321)(2)(2) 1()(

26、)() 1(2) 1(22)(f) 1(2)(3(232cw)(),(ffff（1）ff ,fffxxff,xxff0a0 xuatu0a（后差，前差）（后差，前差） 6） xxxfff計算計算7） 時間推進(jìn)時間推進(jìn)0 xtfU23Copyright by Li Xinliang二維問題的二維問題的steger-Warming 分裂分裂021yxtffUTpEuuvpuu)(,21fTpEvpvuvv)(,22fTEvu,U21fff令：則：WvuvuVvvvuuu2222)(2222421213202413024130430f) 1(2)(3(243cW10) 1(211kcuu12kcuu

27、/1k/2k21kcvv22kcvv22具體使用步驟，具體使用步驟， 以計算以計算 為例為例x1f令令 計算特征值計算特征值 分裂特征值，計算分裂特征值，計算 帶入左式，計算正、負(fù)流通矢帶入左式，計算正、負(fù)流通矢量量 計算計算0, 1cucuu4321,2)(2/122kkk)4 , 3 , 2 , 1(,kkk)(1ffxxx111fffy2f計算計算 設(shè)置設(shè)置 ，并注意，并注意1, 0cvcvv4321,對于曲線坐標(biāo)系對于曲線坐標(biāo)系021ffUt21111fffyxJJ僅需令yxJJ11, 三維問題同樣處理三維問題同樣處理 二維、三維具體二維、三維具體 公式見傅德薰等公式見傅德薰等計算空氣

28、動力學(xué)計算空氣動力學(xué) 4.7節(jié)節(jié) （158-162）書中公式有一定的排版錯誤，使用前務(wù)必書中公式有一定的排版錯誤，使用前務(wù)必重新仔細(xì)重新仔細(xì)推導(dǎo)！推導(dǎo)！24Copyright by Li XinliangB: L-F分裂分裂AUf(U) 2/ )(, 2/ )(*IAAIAA特點(diǎn)： A正特征值 負(fù)特征值A(chǔ)2/ )(*UffUA=+缺點(diǎn)：耗散偏大局部局部L-F分裂分裂，每個點(diǎn)上計算，每個點(diǎn)上計算 全局全局L-F分裂分裂，全局（一維）上計算，全局（一維）上計算 cu *足夠大cu *數(shù)學(xué)性質(zhì)（光滑性）數(shù)學(xué)性質(zhì)（光滑性）最好，但耗散偏大最好，但耗散偏大)(max*cux常數(shù)與迎風(fēng)格式結(jié)合，等價于人工

29、粘性與迎風(fēng)格式結(jié)合，等價于人工粘性UfUfUfUfUfUffffxxxxxxxxxxxxxx*0*)(2)(21)()(21)()(21例如，可取例如，可取0 xtf(U)U22*xxtUf(U)U25Copyright by Li Xinliang2,2kkkkkkkkk方式很多=+S-W:L-F:=+2,2*kkkk0, 0kkVan Leer:=+221112) 1() 1(22) 1(cufcufff2121Macfff0f1Ma1MaffcuMa/0f1Ma26Copyright by Li Xinliang 分裂后分裂后 失去了失去了A的性質(zhì)（可以的性質(zhì)（可以像常數(shù)一樣與求導(dǎo)交換）

30、像常數(shù)一樣與求導(dǎo)交換）逐點(diǎn)分裂：逐點(diǎn)分裂： 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 無需矩陣運(yùn)算，計算量小無需矩陣運(yùn)算，計算量小 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 分裂后改變了特征方向，分裂后改變了特征方向， 耗散大耗散大xxx(U)f(U)ff(U)SUSUAf1利用了性質(zhì))(AUUAf(U)xxx一般情況下：一般情況下：xxxUAUAf變系數(shù)，變系數(shù)， 不能與導(dǎo)數(shù)交換不能與導(dǎo)數(shù)交換AAxBxUf AB實質(zhì)：實質(zhì)： 沒有做到解耦；沒有做到解耦； 只是把原變量重新組合，組合后波的傳播方向的保證只是把原變量重新組合，組合后波的傳播方向的保證 f+ 向正向正向傳播，向傳播，f-向負(fù)向傳播向負(fù)向傳播 缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 由于未解耦，各變量的誤差會相互

31、傳遞由于未解耦，各變量的誤差會相互傳遞 27Copyright by Li Xinliang概念澄清：概念澄清： 流通流通矢量分裂本身不帶來耗散矢量分裂本身不帶來耗散， 但其會但其會影響到差分的耗散影響到差分的耗散;舉例：0)(xUftUfff分裂過程),(21),(21UffUfffffxxxUaftUxxx00耗散如果差分格式無耗散（例如都用中心差分），則通量分裂不帶來耗散。ffffffxxxxx0000)(=+向上平移向下平移分裂差分格式耗散分裂后的流場越偏離原先流場，則分裂后的流場越偏離原先流場，則總體耗散越大總體耗散越大fff精確滿足，不引入誤差！如使用低精差分度格式，如使用低精差分

32、度格式， 則對分裂形式敏感則對分裂形式敏感 （推薦使用特征分裂）（推薦使用特征分裂）如使用高精度格式（低耗散），則對分裂形式不敏感如使用高精度格式（低耗散），則對分裂形式不敏感 （可使用逐點(diǎn)分裂）（可使用逐點(diǎn)分裂）28Copyright by Li Xinliang2. 嚴(yán)格特征分裂嚴(yán)格特征分裂 基架點(diǎn)上凍結(jié)系數(shù)基架點(diǎn)上凍結(jié)系數(shù)常系數(shù)常系數(shù)方程組：方程組：00 xtxtUAUf(U)U0000 xvtvxtxtxtkkkVVUSSUUAU1完全解耦變系數(shù)情況變系數(shù)情況 局部凍結(jié)系數(shù)局部凍結(jié)系數(shù)0jjjxtUAU j-2 j-1 j j+1 在基架點(diǎn)上系數(shù) 不變jjxUAjjxUAjA計算：在差

33、分基架點(diǎn)上在差分基架點(diǎn)上Aj 不變，不變， 可按常矩陣處理可按常矩陣處理jj1jSSAj)()(jjjjjjjjxxxxxxVVSVSUSSUSSUA1j1j1jj1j局部凍結(jié)系數(shù)分別采用后差和前差USVj優(yōu)點(diǎn)： 嚴(yán)格保證（局部）特征方向，數(shù)值解質(zhì)量好；缺點(diǎn)： 大量矩陣運(yùn)算，計算量大。29Copyright by Li XinliangUSVjUSVj通常寫成守恒型差分通常寫成守恒型差分，計算計算x)(Ufxxjjj/ )()(2/12/1ffUf j-2 j-1 j j+1 在基架點(diǎn)上系數(shù) 不變jjxUAjA)(2/12/112/12/1jjjjSVVfUSV2/1j具體步驟：具體步驟： 假

34、設(shè)已知假設(shè)已知 U， 且針對模型方程（線性單波方程）且針對模型方程（線性單波方程） 已構(gòu)造出差分格式已構(gòu)造出差分格式xvvvxvvvjjjjjj/ )(;/ )(2/12/12/12/10 xvatv（1）1） 計算出計算出2/12/112/1,jjjSS教材教材130頁的公式頁的公式(6.1.11-6.1.13), 式中用到各變量在式中用到各變量在j+1/2的值（例如的值（例如 ） 可使用可使用j, j+1 點(diǎn)值的算術(shù)平均點(diǎn)值的算術(shù)平均 （如（如 ） 或或Roe平均平均 （教材（教材6.4節(jié)）；節(jié)）； 由由 計算；方法很多，例如前面介紹的計算；方法很多，例如前面介紹的 或或 2/1ju2/ )(12/1jjjuuu30Copyright by Li Xinliang2kkk2*kk 均可本人感覺會限制精度（例如本人感覺會限制精度（例如2階）；但數(shù)值實驗沒發(fā)現(xiàn)問題。階）；但數(shù)值實驗沒發(fā)現(xiàn)問題。張樹海張樹海 JCP 2009 對其進(jìn)行了深入探討；歡迎對該問題進(jìn)行研究對其進(jìn)行了深入探討；歡迎對該問題進(jìn)行研究。2/1j2/1j2kkk2*kk2） 在網(wǎng)格