1、尖子生專訓3相交線平行線答案.長江汛期即將來臨，防汛指揮部在一危險地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況.如圖，燈A射線自AM順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線自BP順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是a°/秒，燈B轉動的速度是b°/秒，且a、b滿足|a-3b|+(a+b-4)2=0.假定這一帶長江兩岸河堤是平行的，即PQ/MN且ZBAN=45(1) 求a、b的值；(2)若燈B射線先轉動20秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.

2、若射出的光束交于點C,過C作CtUAC交PQ于點D,則在轉動過程中，/BAC與ZBCD的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請求出其取值范圍.解：(1).a、b滿足|a-3b|+(a+b-4)2=0,.a3b=0,且a+b-4=0,.a=3,b=1; 設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，當0vtV60時，3t=(20+t)X1,解得t=10;當60Vtv120時，3t-3X60+(20+t)X1=180°,解得t=85;當120Vtv160時，3t-360=t+20,解得t=190>160,(不合題意)綜上所述，當t=10秒或85秒時，兩燈的光束互相平行；1

3、 設A燈轉動時間為t秒，/CAN=1803t,ZBAC=45(180°3t)=3t-135°，又.PQ/MNZBCAWCBD/CAN=t+180°-3t=180°-2t,而ZACD=90,.ZBCD=90ZBCA=90(180°2t)=2t-90°,.ZBACZBCD=32,即2/BAC=BCD.如圖1,MIN/PQ直線AD與MNPQ分別交于點A、D,點B在直線PQ上，過點B作BGAR垂足為G.(1) 求證：ZMAG+PBG=90;(2) 若點C在線段AD上(不與A、D、G重合)，連接BC,ZMAGZPBC的平分線交于點H,請在圖2中

4、補全圖形，猜想并證明/CBGZAHB的數量關系；(3) 若直線AD的位置如圖3所示，(2)中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請直接寫出ZCBGW/AHB的數量關系.解：(1)如圖1,.MIN/PQ.ZMAG=BDG.ZAGEABDG的外角，B(AD,ZAGBWBDG+PBG=90,二ZMAG+PBG=90;(2)2/AHZCBG=90或2ZAHB+ZCBG=90,證明： 如圖，當點C在AG上時，.MM/PQZMAC=BDCZACABCD勺外角，.二ZACBWBDC%DBC=MAC+DBC.AH平分ZMACBH平分ZDBCZMAC=2MAH/DBC=2DBH二ZACB=2(ZMAH+D

5、BH,同理可得，ZAHBWMAHyDBH.ZACB=2(ZMAHDBH=2ZAHB又.ACABCG勺夕卜角，ZACBWCBG90°,.2ZAHBWCBG90°,即2ZAH田ZCBG=90;如圖，當點C在DG上時，同理可得，/ACB=2AHB又BCG,ZACB=90ZCBG二2/AHB=90ZCBG即2ZAHB+ZCBG=90;(3)(2)中的結論不成立.存在：2ZAHB%CBG=270;2/AH田ZCBG=270. 如圖，當點C在AG上時，由MM/PQ可得：ZACB=360-ZMAGZPBC=360-2(ZMAH+PBH,ZAHBWMAH-PBHACB=360-2ZAH日又

6、.ACABCG勺外角，二ZACB=90+ZCBG360°-2ZAHB=90+ZCBG即2ZAHB+ZCBG=270;如圖，當C在DG上時，同理可得，ZACB=360-2(ZMAH+PBH,ZAHBWMAH%PBH.ZACB=360-2ZAH日又.RtBCG,ZACB=90-ZCBG360°-2ZAHB=90-ZCBG2ZAHB-ZCBG270°.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若

7、燈A轉動的速度是每秒2度，燈B轉動的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ/MN且ZBAMZBAN=21.(1)填空：ZBAN=60°(2) 若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達B2前，A燈轉動幾秒，兩燈互相平行？(3) 如圖2,若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作ZACPQ于點D,且ZACD=120,則在轉動過程中，請探究ZBAC與ZBCD的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請說明理由.解：(1).BAMyBAN=180,ZBAMZBAN=21,ZBAN=180X=60°,故答案為：60; (

8、2)設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，當0vtV90時，如圖1, .PQ/MNZPBDWBDAAC/BR.ZCAM=BDAZCAM=PBD'.2t=1?(30+t)，解得t=30;當90vtv150時，如圖2,.PQ/MNZPBD*BDA=180,vAC/BD,.ZCAN£BDA.ZPBD+ZCAN=1801?(30+t)+(2t-180)=180,解得t=110，綜上所述，當t=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；(3)/BACZBC以系不會變化.理由：設燈A射線轉動時間為t秒,/CAN=1802t,ZBAC=60(180°2t)=2t-120°,

9、又.ZABC=120t,.ZBCA=180°ZABOZBAC=180t,而ZACD=120,ZBCD=120ZBCA=120(180°t)=t-60°,/BAGZBCD=21,即ZBAC=ZBCDZBAC和ZBC以系不會變化.4.如圖1所示，已知BC/OA/B=ZA=120°(1) 說明OB/AC成立的理由.(2) 如圖2所示，若點E,F在BC上，且/FOCWAOCOE平分ZBOF求ZEOC勺度數.(3) 在(2)的條件下，若左右平移AC,如圖3所示，那么/OCB/OFB的比值是否隨之發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個比值.(4) 在(3)

10、的條件下，當/OEBWOCA寸，求/OCA勺度數.解：(1).BC/OAZB+ZO=180,ZO=180-ZB=60°,而ZA=120°,.ZA+ZO=180,二OB/AC;(2) .OE平分ZBOFBOEWFOE而ZFOC£AOCZEOF+ZCOFWAOB=<60°=30°,即ZEOC=30;(3) 比值不改變.BC/OAZOCBWAOCZOFBWAOE.ZFOCWAOCZAOF=AOCZOFB=OCB即zOCB/OFB的值為1:2;(4) 設ZAOC勺度數為x,則ZOFB=2x.ZOEBWAOEZOEBWEOCAOC=30+x,而ZO

11、CA=180ZAOGZA=180°x-120°=60°x,.ZOEBWOCA30°+x=60°-x,解得x=15°,二ZOCA=60-x=60°-15°=45°.5.已知，直線AB/DC點P為平面上一點，連接AP與CP(1) 如圖1,點P在直線ABCD之間，當/BAP=60,/DCP=20時，求ZAPC(2) 如圖2,點P在直線AB、CD之間，/BAP與ZDCP的角平分線相交于點K,寫出/AKC與ZAPC之間的數量關系，并說明理由.(3) 如圖3,點P落在CD外，/BAP與ZDCP的角平分線相交于點K,Z

12、AKC與ZAPC有何數量關系？解：(1)如圖1,過P作PE/AB,.AB/CDPE/AB/CD/APEWBAP,/CPEWDCP.ZAPCWAPE+ZCPEWBAP%DCP=60+20°=80°(2) ZAKCWAPC理由：如圖2,過K作KE/AB,.AB/CDKE/AB/CR/AKE=ZBAKZCKEWDCK二/AKCWAKE%CKEWBAK+ZDCK過P作PF/AB,同理可得，/APCWBAP#DCP:ZBAP與ZDC吒勺角平分線相交于點K,ZBAK+ZDCKWBAP+ZDCP=(ZBAP+ZDCP=ZAPG二ZAKCWAPC6. ZAKCWAPC理由：如圖3,過K作K

13、E/AB.AB/CDKE/AB/CD.ZBAKWAKEZDCKWCKE/AKCWAKE-/CKEWBAF/DCK過P作PF/AB,同理可得，/APCWBAP-ZDCPBAP與ZDCP的角平分線相交于點K,/BAK-/DCKWBA氏/DCP=(ZBAFZDCP=ZAPC二/AKCWAPC如圖，已知AWBNZA=60°.點P是射線AM山一動點(與點A不重合)，BGBD分別平分/ABP和ZPBN分別交射線AM于點C,D.(1)求ZCBD勺度數；(2) 當點P運動時，/APB與ZADB間的數量關系是否隨之發生變化？若不變化，請寫出它們之間的關系，并說明理由；若變化，請寫出變化規律.(3) 當

14、點P運動到使/ACBWABD時，ZABC的度數是30°.解：(1).AM/BNA+ZABN=180,.A=60°,ZABN=120,BGBD分別平分ZABP和ZPBNZCBPMABP,ZDBPWNBP.ZCBDWABN=60;不變化，ZAPB=ZADB證明：.AM/BN.APBWPBNZADBWDBN又.BD平分ZPBN.ZPBN=DBN.ZAPB=NADB.AD/BN,ZACBWCBN又ACBWABR.二ZCBNWABD.ZABCWDBN由(1)可得，ZCBD=60,ZABN=120,.ABC=(120°-60°)=30°,故答案為：30&#

15、176;.數學思考：(1)如圖1,已知AB/CR探究下面圖形中/AP胡日ZPABZPCD的關系，并證明你的結論推廣延伸：(2)如圖2,已知AA/BA,請你猜想/A1,ZB1,ZB2,ZAZA的關系，并證明你的猜想；如圖3,已知AA/7BA,直接寫出ZA,ZB1,/<B2,*、,ZBn1、/:An的關系拓展應用：（3）如圖4所示，若AB/EF,用含a,6,丫的式子表示x,應為B°+a+$丫。一a一丫+3C.$+YaD.a+3+Y如圖5,AB/CD且ZAFE=40,/:FGH=90,/HMN=30,ZCNP=50,請你根據上述結論直接寫出ZGHM的度數是30°.解：(1)

16、證明：如圖1,過點P作OP/AB,.AB/CDOP/AB/CR.1=ZPABZ2=ZPCDZAPCW1+Z2=ZPAB+ZPCD即ZAPCWPAB%PCD如圖2,過點A作A2O/AA,由(1)可知/B=ZA+Z1,ZB=Z2+Z色，所以，/B1+Z&=ZA1+ZAa+ZA;如圖3,由可知：/A+ZAa+ZAn=ZBi+ZB2+B1；如圖4,過Zx的頂點作CD/AR則Zx=(180°a)+(6-丫)=180°a一丫+6,如圖5,由(1)可知，40°+ZGHM+0°=ZG+ZMG=90,ZM=30,ZGHM=90+30°-40°-

17、50°=30°.故答案為：B;30°.8 .已知直線AB/CD(1) 如圖1,直接寫出/ABE/CDEDZBED之間的數量關系是ZABE%CDEWBED.(2) 如圖2,BF,DF分別平分/ABEZCDE那么/BFD和ZBED有怎樣的數量關系？請說明理由.如圖3,點E在直線BD的右側，BF,DF仍平分/ABEZCDE請直接寫出/BFD和ZBED的數量關系2/BFD+ZBED=360.解：(1)ZABE+ZCDEWBED理由：如圖1,作EF/AR.直線AB/CDEF/CD.ZABEW1,ZCDE£2,ABE+ZCDEW1+Z2=ZBED即ZABE+ZCDE

18、WBED故答案為：ZABE+ZCDE=BEDZBFDWBED理由：如圖2,BF,DF分別平分/ABEZCDEZABFWABEZCDFWCDEZABF+ZCDFWABE+ZCDE=(ZABE+ZCDE,由(1),可得ZBFDWABF+ZCDF=(ZABE+ZCDEZBEDWABE+ZCDE二ZBFDWBED(2) 2ZBFD%BED=360.理由：如圖3,過點E作EG/CD，:AB/CD,EG/CDAB/CD/EGZABE+ZBEG=180,/CDE%DEG=180,.ZABE+ZCDE%BED=360,由(1)知，ZBFDWABF+ZCDE又.BF,DF分別平分ZABE,ZCDEABF=ZAB

19、E,ZCDFWCDE.ZBFD=(ZABE%CDE,-2ZBFD+ZBED=360.故答案為：2ZBFD%BED=360.9 .已知AWCN點B為平面內一點，ABLBC于B.(1) 如圖1,直接寫出/A和ZC之間的數量關系ZA+ZC=90;(2) 如圖2,過點B作BDLAM于點D,求證：/ABDWC;如圖3,在(2)問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF,BF平分ZDBCBE平分ZABR若ZFCB+ZNCF=180,ZBFC=ZDBE求ZEBC的度數.解：(1)如圖1,.AM/CN"C=ZAOB.ABLBC,.二ZA+ZAOB=90,ZA+ZC=90,(2)如圖2,過點B

20、作BG/DM.BDLAM-DlBG即ZABD%ABG=90，又:ABLBGZCBG/ABG=90°,.ZABDWCBG.AM/CNBG/AM-CN/BG二ZC=ZCBG二ZABDWC;（3）如圖3,過點B作BG/DM.BF平分ZDBCBE平分ZABD.ZDBFWCBFZDBEWABE由（2）可得ZABDWCBGZABF=ZGBF設ZDBEm,ZABF邛，則ZABE%,ZABD=Z=ZCBGZGBF*=ZAFB,ZBFC=ZDBE=&,AFC=&+6,.ZAFC+ZNCF=180,ZFCB+ZNCF=180,FCBWAFC=3a+6,BCF中，由ZCBF%BFCVBCF

21、=180，可得（2a+。）+3a+（3a+。）=180°,由ABLBG可得3+6+2a=90°,由聯立方程組，解得a=15°,ZABE=15,.EBCMABE%ABC=15+90°=105°.10. 已知直線1112,直線13和直線11、l2交于點C和D,點P是直線l3上一動點（1）如圖1,當點P在線段CD上運動時，/PACZAPBZPBD之間存在什么數量關系？（2）當點P在GD兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合，如圖2和圖3）,上述（1）中的結論是否還成立？若不成立，請直接寫出ZPACZAPB/PBD之間的數量關系，不必寫理由.解：（1）

22、ZAPBWPAC+ZPBD如圖1,過點P作PE/11,二ZAPEWPAC.'11/12,.PE/12,/BPE=ZPBR/APE+ZBPE=ZPACVPBD二/APBWPAC+ZPBD（2）不成立，如圖2:ZPACWAPB+ZPBD理由：過點P作PE/11,二ZAPE=ZPAC11/12,二PE/12,/BPE=ZPBR.ZAPBWAPE-ZBPEWPAO/PBD二/PACWAPB+ZPBD如圖3:ZPBDWPAC%APB理由：過點P作PE/11,APEWPAC1112,.PE/12,ZBPE=ZPBD11. .APB=ZBPBZAPEWPBAZPAG二匕PBDWPAC+ZAPB已知，

23、ZAOB=90，點C在射線。腥，CD/OE(1) 如圖1,若ZOCD=120，求ZBOEB勺度數；(2) 把“ZAOB=90”改為“/AOB=120”，射線OE沿射線OB平移，得O'E,其他條件不變，(如圖2所示)，探究ZOCDZBOE的數量關系；(3) 在(2)的條件下，作PO上。酢足為O',與/OCD勺平分線CP交于點P,若/BOE=a,請用含a的式子表示ZCPO(請直接寫出答案).解：（1）.CD/。匕.ZAOEWOCD=120,.ZBOE=36090°-120°=150°（2）如圖2,過。點作OF/CD,.CD/。匕.OF/OEZAOF=1

24、80ZOCDZBOFWEOQ=180-ZBOE,ZAOBWAOF+ZBOF=180-ZOCD+80°-ZBOE=360°-(ZOCDVBOE)=120°,二ZOCDVBOE=240°CP是ZOCD勺平分線，/OCPWOCDCPO=360°-90°-120°-ZOCP=150-ZOCD=150-(240°-ZBOE)=30°+a.12. 探究：如圖，已知直線l1/l2,直線l3和l1,l2分別交于點C和D,直線l3上有一點P.(1) 若點P在GD之間運動時，問/PACzAPBzPBD之間有怎樣的關系？并說明

25、理由.(2) 若點P在GD兩點的外側運動時(點P與點GD不重合)，請嘗試自己畫圖，寫出ZPACZAPR/PBD之間的關系，并說明理由.(3) 如圖，ABIIEF,ZC=90,我們可以用類似的方法求出毫、Z。、2丫之間的關系，請直接寫出Za、Z6、Z丫之間的關系.解：(1)如圖，當P點在GD之間運動時，/APBWPAC%PBD理由如下：過點P作PE/l1,(2) l1/l2,PE/12/l1,ZPACW1,ZPBDW2,ZAPBW1+Z2=ZPAC%PBD如圖甲，當點P在C、D兩點的外側運動，且在l1上方時，/PBDWPACVAPB.理由如下：l11Il2,ZPECWPBD.ZPECWPAC+Z

26、APB二ZPBDWPAC+ZAPB.如圖乙，當點P在GD兩點的外側運動，且在l2下方時，ZPACWPBD%APB理由如下：l11Il2,ZPEDWPAGZPEDWPBD+ZAPB二ZPACWPBD+ZAPB.(3) Za+Z6-Z丫=90°.證明：如圖，分別過GD作AB的平行線CM和DN.AB/EF,AB/CM/DN/EF,二Za=ZBCM/MCD=NDCZNDE£丫，./a+Z3=ZBCM+CDN+NDEWBCM+MCD+丫，又.BCLCD二ZBCD=90,Za+Z3=90°+Z丫，即Za+Z6-Z丫=90°.13. 如圖1,AB/CDE是ABCD之間

27、的一點.(1) 判定/BAEZCDE與ZAED之間的數量關系，并證明你的結論；如圖2,若ZBAEZCD曰勺兩條平分線交于點F.直接寫出/AFD與ZAED之間的數量關系；將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3,若ZAGD勺余角等于2ZE的補角，求/BAE的大小.解：(1)ZBAEVCDEWAED理由如下：作EFIIAB,如圖1,.AB/CDEF/CD"1=ZBAE/2=ZCD""BAE%CDEWAED如圖2,由(1)的結論得/AFDWBAF+ZCDF.ZBAEZCDE的兩條平分線交于點F,BAF=ZBAEZCDFWCDE(2) AFD=(ZBAE+ZCDE,

28、ZBAE+ZCDEWAED.ZAFDWAED由(1)的結論得/AGD£BAFVCDG而射線DC沿DE翻折交AF于點G,ZCDG=4CDEZAGD£BAF+4ZCDFWBAE+必CDEWBAE+2(ZAEt>ZBAB=2ZAEAZBAE,.90°-ZAGD=180-2ZAED90°-2/AED%BAE=180-2ZAED二/BAE=60.(1) 如圖1.將線段AB平移至CD使A與D對應，B與C對應，連ADBC填空：AB與CD的關系為AB/CD且AB=CD,/B與ZD的大小關系為相等如圖2,若ZB=60°,F、E為BC的延長線上的點，/EFD

29、=ZEDF，D時分ZCD咬BE于G求FDG在(2)中，若ZB=a，其它條件不變，則ZFDG.(2) 解：(1)AB/CD且AB=CDZB與ZD相等；.AB/CD,ZDCEWB,由三角形的外角性質得，/CDFWDFE-/DCE/CDG=CDF%FDGWDFE-/DCE/FDG在DEF中，ZDEF=180-2/DFE在DFG中，ZDGF=180-ZFDGZDFE,.ZEDGWDGLZDEF=180-ZFDGZDFEH(180°-2/DFE=2ZDFE-ZFDGZDFE,.DG平分ZCDE./CDG=EDG./DFE-/DCEVFDG=DFE-/FDG/DFE,.ZFDGWDCE即ZFDG

30、WB,.ZB=60°,.ZFDG=<60°=30°思路同(2),B=a,FDG=故答案為：(1)AB/CD且AB=CD相等；(3).14. 問題情境：如圖1,AB/CDZPAB=130,ZPCD=120，求ZAPC的度數.(1) 小明的思路是：過P作PE/AB,通過平行線性質來求ZAPC按小明的思路，易求得ZAPC的度數為110度;(2) 問題遷移：如圖2,AB/CD,點P在射線O"運動，記/PABz,ZPCD喑，當點P在B、D兩點之間運動時，問/APC與a、3之間有何數量關系？請說明理由；(3) 在(2)的條件下，如果點P在8D兩點外側運動時(點P與點。B、D三點不重合)，請直接寫出/APC與a、6之間的數量關系.解：過點P作PE/AB,.AB/CD-PE/AB/CD.ZA+ZAPE=180,ZC+ZCPE=180,.ZPAB=130,ZPCD=120,.AFE=50°,ZCPE=60,.ZAPCWAPE%CPE=110.ZAPCm+6,理由：如圖2,過P作PE/AB交AC于E,