1、 在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的的撓度曲線撓度曲線（deflection curve）。）。 根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點的曲率與這一點處橫截面上的彎矩、彎率與這一點處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：曲剛度之間存在下列關(guān)系： EIM1橫截面形心處的鉛垂位移，稱為橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度撓度（deflectio

2、n），），用用w表示；表示；變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為變形后的橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角（slope）用用 表示；表示；橫截面形心沿水平方向的位移，稱為橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移軸向位移或或水平位移水平位移（horizontal displacement），），用用u表示。表示。 在小變形情形下，上述位移中，水平位移在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度與撓度w相比為高階小量，故相比為高階小量，故通常不予考慮。通常不予考慮。 在在Oxw坐標系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)坐標系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在下列關(guān)系：系： 在小變形條件下

3、，撓曲線較為平坦，即在小變形條件下，撓曲線較為平坦，即 很小，因而上式中很小，因而上式中tan。于是有于是有tanddxwxwddw w（x），），稱為撓度方程（稱為撓度方程（deflection equation）。）。 機械傳動機構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過大時機械傳動機構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過大時(圖中虛線所示圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這不僅會影響兩個齒輪之間的嚙撓度和轉(zhuǎn)角，這不僅會影響兩個齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。合，以致不能正常工作。 同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉(zhuǎn)動的過程中產(chǎn)生很大的同時，還會加大齒輪磨損，同時將在轉(zhuǎn)動的過

4、程中產(chǎn)生很大的噪聲。噪聲。 此外，當(dāng)軸的變形很大使，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，此外，當(dāng)軸的變形很大使，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。 EIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw, 本書采用向下的本書采用向下的w坐標系，有坐標系，有EIMxw22ddEIMxw22dd dddlM xwxCxEI DCxxxEIxMwllddPABCPD支點位移條件：支點位移條件：連續(xù)條件：連續(xù)條件：光滑條件：光滑條件：CC右左或?qū)懗蒀C0,0ABwwCCww0,0DDw

5、CCCww 適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件平面彎曲。可應(yīng)用于求解承受適用于小變形情況下、線彈性材料、細長構(gòu)件平面彎曲。可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。各種載荷的等截面或變截面梁的位移。 積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。 優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確；優(yōu)點：使用范圍廣，直接求出較精確； 缺點：計算較繁。缺點：計算較繁。梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。度和最大轉(zhuǎn)角。 左端固定右端左端固定右端自由的懸臂梁承受均布自由的懸臂梁承受

6、均布載荷。均布載荷集度為載荷。均布載荷集度為q ，梁的彎曲剛度為梁的彎曲剛度為EI 、長長度為度為l。q、EI 、l均已知。均已知。 建立建立Oxw坐標系如圖所示。因為梁上坐標系如圖所示。因為梁上作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，作用有連續(xù)分布載荷，所以在梁的全長上，彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。彎矩可以用一個函數(shù)描述，即無需分段。 從坐標為從坐標為x的任意截面處的任意截面處截開，因為固定端有兩個約束截開，因為固定端有兩個約束力，考慮截面左側(cè)平衡時，建力，考慮截面左側(cè)平衡時，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方

7、程：矩方程： 21( )02M xq lxx l x將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得得 212EIwMq lx 積分后，得到積分后，得到 212EIwMq lx 316EIwEIq lxC4124EIwq lxCxD固定端處的約束條件為：固定端處的約束條件為： 316EIwEIq lxC 4124EIwq lxCxD00 xw，d00dwxx， =33,62 4q lCq lD336qlxlEI 434424qwlxl x lEI 從撓度曲線可以看出，懸臂梁在自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均最大值。從撓度曲線可以看出，懸臂梁在自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均最大值。 于是，將

8、于是，將 x = l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到： 3max6BqlEI4max8BqlwwEI加力點加力點B的撓度和支承的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。處的轉(zhuǎn)角。簡支梁受力如圖示。簡支梁受力如圖示。FP、EI、l均為已知。均為已知。 于是，于是，AB和和BC兩段的彎矩方程分別為兩段的彎矩方程分別為 1P3044lMxF xx 2PP3444llMxF xFxxl 211P2d30d44wlEIMxF xxx 222PP2d3d444wllEIMxF xFxxlx積分后，得積分后，得 12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI113P181

9、DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw其中，其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與段與BC段梁段梁交界處的連續(xù)條件確定確定。交界處的連續(xù)條件確定確定。 在支座在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即兩處撓度應(yīng)為零，即x0， w10; xl， w20 因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以因為，梁彎曲后的軸線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與段與BC段梁交界處段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等: : xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 212P183CxFEI22P2P242183

10、ClxFxFEI113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIwx0， w10; xl， w20 xl/4， w1w2 ; xl/4， 1 1= = 2D1D2 =02P211287lFCC 將所得的積分常數(shù)代入后將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：轉(zhuǎn)角和撓度方程為： 22P378128FxxlEI xlxEIFxw23P128781 222P317824128FlxxxlEI xllxxEIFxw233P128746181 據(jù)此，可以算得加力點據(jù)此，可以算得加力點B處的撓度和支承處處的撓度和支承處A和和C的轉(zhuǎn)角分別為的轉(zhuǎn)角分別為 EIlFwB

11、3P25632P7128AF lEI2P5128BF lEI 確定約束力確定約束力, ,判斷是否需要分段以及分幾段判斷是否需要分段以及分幾段 分段建立撓度微分方程分段建立撓度微分方程 微分方程的積分微分方程的積分 利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù) 確定確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度 與轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)角 分段寫出彎矩方程分段寫出彎矩方程簡支梁受力如圖簡支梁受力如圖示，示，q、l、EI均為已知。均為已知。C截面的撓度截面的撓度wC ；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角 B321CCCCwwww1. .將梁上的載荷變?yōu)閷⒘荷系妮d荷變?yōu)?種種簡單

12、的情形。簡單的情形。123BBBB2. .由撓度表查得由撓度表查得3種情形下種情形下C截面的撓度截面的撓度；B截面的轉(zhuǎn)角截面的轉(zhuǎn)角。EIqlwEIqlwEIqlwCCC4342411614813845,EIqlEIqlEIqlBBB333231311612413. 應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用應(yīng)用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果分別疊加時的結(jié)果分別疊加 將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別將上述結(jié)果按代數(shù)值相加，分別得到梁得到梁C截面的撓度和支座截面的撓度和支座B處的轉(zhuǎn)處的轉(zhuǎn)角角: : ,EIqlwwiCiC43138411EIqliBiB3314811懸臂梁受力如懸臂梁受力如圖示，圖示，q、l、EI均為

13、均為已知。已知。C截面的撓度和截面的撓度和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角wC 和和 C1. . 首先，將梁上的載荷變成有首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形表可查的情形 為利用撓度表中關(guān)于梁全長承受均布載荷的計算結(jié)果，計算自為利用撓度表中關(guān)于梁全長承受均布載荷的計算結(jié)果，計算自由端由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。均布載荷。 兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為為再將處理后的梁分解為簡單

14、載荷再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各個簡單載荷引起撓作用的情形，計算各個簡單載荷引起撓度和轉(zhuǎn)角。度和轉(zhuǎn)角。414322218112128482,CCBBqlwEIlqlqllwwEIEIEIqlEIqlCC323148161,將簡單載荷作用的結(jié)果疊將簡單載荷作用的結(jié)果疊加加 ,EIqlwwiCiC42138441EIqliCiC321487結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法) )=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價等價等價等價xfxf21ffffPL1L2ABC剛化剛化AC段段PL1L2ABC剛化剛化BC段段PL1L2ABCMxfPL=400mmP2=2kNA

15、Ca=0.1m200mmDP1=1kNB下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的桿的E=210GPa，求求C點點的轉(zhuǎn)角與撓度的轉(zhuǎn)角與撓度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAM例題例題P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：解：1 1 結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單結(jié)構(gòu)變換，查表求簡單 載荷變形。載荷變形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=

16、1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxf例題例題P2BCa=+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221疊加求復(fù)雜載荷下的變形疊加求復(fù)雜載荷下的變形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDI例題例題m1019.533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB計算結(jié)果計

17、算結(jié)果例題例題 wwmax max鋼制圓軸，左端受力為鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角處的許用轉(zhuǎn)角 =0.5。根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。 B例題例題例題例題根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證根據(jù)要求，所設(shè)計的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計算。BEIlaFB3P由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁由撓度表中查得承受集中載荷的外伸

18、梁B處的轉(zhuǎn)角為處的轉(zhuǎn)角為 例題例題 B根據(jù)設(shè)計要求，根據(jù)設(shè)計要求， 其中，其中， 的單位為的單位為rad（弧度），而弧度），而 的單位為（）（度），考慮到單位的的單位為（）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑 111mmm10111m100.52063101802120643 -493dEIlaFB3P3-3=04-3=1MA ABFAyFAx ABMAFAyFAxFB532633FBxMBBl AMAFAyFAxFByBl AMAFAyFAxFBxFBy 0ByBBBFwqwwFBxBl AMAFAyFAxFByMBBl AMAFA

19、yFAxFBxFByFBxBl AMAFAyFAxFBy例題例題FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)wB(FBy)Bl AMAFAyFAxlB AMAFAyFAxFB例題例題FAy+FBy - ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)= - - Fbyl 3 /3EIFBxBl AMAFAyFAxFBy例題例題幾何方程幾何方程 變形協(xié)調(diào)方程：變形協(xié)調(diào)方程：解：解：確立基本靜定梁確立基本靜定梁BCBRBqBLfffB=結(jié)構(gòu)如圖，求結(jié)構(gòu)如圖，

20、求B B點反力。點反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB例題例題例題例題=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+物理方程：變形與力的關(guān)系物理方程：變形與力的關(guān)系補充方程補充方程求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）EILRfEIqLfBBRBqB3; 834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBCq0AB結(jié)論與討論結(jié)論與討論二梁的受力二梁的受力( (包括載荷與約束力包括載荷與約束力) )是否相同？是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？二梁的位移是否相同？FPABC結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論結(jié)論與討論試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條件，畫出梁的撓度曲線的試根據(jù)連續(xù)光滑性質(zhì)以及約束條