1、 第六章 不等式第二節 不等式放縮技巧十法證明不等式，其基本方法參閱<數學是怎樣學好的>(下冊)有關章節.這里以數列型不等式的證明為例說明證明不等式的一個關鍵問題: 不等式的放縮技巧。證明數列型不等式，因其思維跨度大、構造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數列通項的結構，深入剖析其特征，抓住其規律進行恰當地放縮；其放縮技巧主要有以下十種：一 利用重要不等式放縮1. 均值不等式法例1 設求證解析 此數列的通項為，即 注：應注意把握放

2、縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過“度”了！根據所證不等式的結構特征來選取所需要的重要不等式，這里 其中，等的各式及其變式公式均可供選用。 例2 已知函數，若，且在0，1上的最小值為，求證： 簡析 例3 求證.簡析 不等式左邊=，故原結論成立.【例4】已知， 求證：1.【解析】使用均值不等式即可：因為，所以有 其實，上述證明完全可以改述成求的最大值。本題還可以推廣為： 若， 試求的最大值。 請分析下述求法：因為，所以有 故的最大值為，且此時有。 上述解題過程貌似完美，其實細細推敲，是大有問題的：取“”的條件是，即必須有，即只有p=q時才成立！那么，呢？其實例6的

3、方法照樣可用，只需做稍稍變形轉化： 則有 于是，當且僅當 結合其結構特征，還可構造向量求解：設，則由立刻得解： 且取“”的充要條件是：。 特別提醒:上述題目可是我們課本上的原題啊!只是我們做了少許的推廣而已!2利用有用結論例5 求證簡析 本題可以利用的有用結論主要有：法1 利用假分數的一個性質可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得 注：例5是1985年上海高考試題，以此題為主干添“枝”加“葉”而編擬成1998年全國高考文科試題；進行升維處理并加參數而成理科姊妹題。如理科題的主干是：證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例6 已知函數求證：對任意且恒成立。簡析 本題可用數學歸納法證明

4、，詳參高考評分標準；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例7 已知用數學歸納法證明；對對都成立，證明（無理數）解析 結合第問結論及所給題設條件（）的結構特征，可得放縮思路：。于是， 即【注】：題目所給條件（）為一有用結論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當然，本題還可用結論來放縮： ，即【例8】已知不等式。表示不超過的最大整數。設正數數列滿足：求證【簡析】 當時，即 于是當時有 注：本題涉及的和式為調和級數，是發散的，不能求和；但是可以利用所給題設結論來進行有效地放縮；引入有用結論在解題中即時應用，是近年來高考創新型試題的一個顯著特點，有利于培養學

5、生的學習能力與創新意識。再如：設函數。 （）求函數最小值；（）求證：對于任意，有【解析】（）1；（）證明：由（）得，對x>1有，利用此結論進行巧妙賦值：取，則有即對于任意，有例9 設，求證：數列單調遞增且解析 引入一個結論：若則（可通過構造一個等比數列求和放縮來證明，略）整理上式得（），以代入（）式得即單調遞增。以代入（）式得此式對一切正整數都成立，即對一切偶數有，又因為數列單調遞增，所以對一切正整數有。 注：上述不等式可加強為簡證如下： 利用二項展開式進行部分放縮： 只取前兩項有對通項作如下放縮： 故有二 部分放縮例10 設,求證：解析 又（只將其中一個變成，進行部分放縮），于是【例1

6、1】 設數列滿足，當時證明對所有 有：；.【解析】 用數學歸納法：當時顯然成立，假設當時成立即，則當時，成立。 利用上述部分放縮的結論來放縮通項，可得 【注】上述證明用到部分放縮，當然根據不等式的性質也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結論。三 添減項放縮上述例5之法2就是利用二項展開式進行減項放縮的例子。例12 設，求證.簡析 觀察的結構，注意到，展開得即，得證.例13 設數列滿足 （）證明對一切正整數成立；（）令，判定與的大小，并說明理由。簡析 本題有多種放縮證明方法，這里我們對（）進行減項放縮，有法1 用數學歸納法（只考慮第二步）；法2 則四 利用單調性放縮1. 構造數列如對上述

7、例1，令則，遞減，有，故再如例5，令則，即遞增，有，得證！2構造函數例14 已知函數的最大值不大于，又當時（）求的值；（）設，證明解析 （）=1 ；（）由得 且用數學歸納法（只看第二步）：在是增函數，則得例15 數列由下列條件確定：，（I） 證明：對總有；(II) 證明：對總有解析 構造函數易知在是增函數。 當時在遞增，故 對(II)有，構造函數它在上是增函數，故有，得證。【注】本題為02年高考北京卷題，有著深厚的科學背景：是計算機開平方設計迭代程序的根據；同時有著高等數學背景數列單調遞減有下界因而有極限： 是遞推數列的母函數，研究其單調性對此數列本質屬性的揭示往往具有重要的指導作用。五 換元

8、放縮例16 求證簡析 令，這里則有，從而有注：通過換元化為冪的形式，為成功運用二項展開式進行部分放縮起到了關鍵性的作用。例17 設，求證.簡析 令，則，應用二項式定理進行部分放縮有，注意到，則（證明從略），因此.六 遞推放縮遞推放縮的典型例子，可參考上述例11中利用部分放縮所得結論 進行遞推放縮來證明，同理例7中所得和、例8中、 例13（）之法2所得都是進行遞推放縮的關鍵式。七 轉化為加強命題放縮如上述例10第問所證不等式右邊為常數，難以直接使用數學歸納法，我們可以通過從特值入手進行歸納探索、或運用逆向思維探索轉化為證明其加強命題：再用數學歸納法證明此加強命題，就容易多了。例18 設，定義，求

9、證：對一切正整數有解析 用數學歸納法推時的結論，僅用歸納假設及遞推式是難以證出的，因為出現在分母上！可以逆向考慮：故將原問題轉化為證明其加強命題：對一切正整數有（證略）例19 數列滿足證明簡析 將問題一般化：先證明其加強命題用數學歸納法，只考慮第二步： 因此對一切有 例20 已知數列an滿足：a1，且an（1）求數列an的通項公式；（2）證明：對一切正整數n有a1·a2·an<2·n！ 解析：（1）將條件變為：1，因此1為一個等比數列，其首項為1，公比，從而1，據此得an（n³1）1°（2）證：據1°得，a1·a2&#

10、183;an，為證a1·a2·an<2·n！，只要證nÎN*時有>2°顯然，左端每個因式都是正數，先證明一個加強不等式：對每個nÎN*，有³1（）3°（用數學歸納法，證略）利用3°得³1（）11>。故2°式成立，從而結論成立。八. 分項討論例21 已知數列的前項和滿足 （）寫出數列的前3項；（）求數列的通項公式；（）證明：對任意的整數，有.簡析 （）略，（） ；（）由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：當且為奇數時 （減項放縮），于是, 當且為偶數時當且為奇數時

11、（添項放縮）由知由得證。九. 借助數學歸納法例22（）設函數，求的最小值；（）設正數滿足，求證：解析 這道高考題為05年全國卷第22題，內蘊豐富，有著深厚的科學背景：直接與高等數學的凸函數有關！更為深層的是信息科學中有關熵的問題。（）略，只證（）：考慮試題的編擬初衷，是為了考查數學歸納法，于是借鑒詹森不等式的證明思路有：法1（用數學歸納法）（i）當n=1時，由（）知命題成立.（ii）假定當時命題成立，即若正數，則當時，若正數（*）為利用歸納假設，將（*）式左邊均分成前后兩段：令則為正數，且由歸納假定知 （1）同理，由得（2）綜合（1）（2）兩式即當時命題也成立. 根據（i）、（ii）可知對一切

12、正整數n命題成立.法2 構造函數利用（）知，當對任意 （式是比式更強的結果）. 下面用數學歸納法證明結論.（i）當n=1時，由（I）知命題成立.（ii）設當n=k時命題成立，即若正數 對（*）式的連續兩項進行兩兩結合變成項后使用歸納假設，并充分利用式有由歸納法假設 得 即當時命題也成立. 所以對一切正整數n命題成立.【評注】（1）式也可以直接使用函數下凸用（）中結論得到；（2）為利用歸納假設，也可對（*）式進行對應結合：而變成項；（3）本題用凸函數知識分析如下：先介紹詹森（jensen）不等式：若為上的下凸函數，則對任意，有 特別地，若，則有若為上凸函數則改“”為“”。由為下凸函數得 又，所以

13、（4）本題可作推廣如下：若正數滿足，則簡證：構造函數，易得故十. 構造輔助函數法【例23】已知= ,數列滿足（1）求在上的最大值和最小值;（2）證明：;（3）判斷與的大小，并說明理由.【解析】(1) 求導可得在上是增函數,（2）（數學歸納法證明）當時，由已知成立；假設當時命題成立，即成立， 那么當時，由（1）得， ， ，這就是說時命題成立. 由、知，命題對于都成立（3） 由, 構造輔助函數，得， 當時，故，所以<0 得g(x)在是減函數， g(x)>g(0)=f(0)-2=0，>0,即>0，得>。【例24】已知數列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（

14、）證明：【解析】（）（）提供如下兩種思路：思路1 觀察式子右邊特征，按為元進行配方，確定其最大值。法1 由（）知，原不等式成立思路2 將右邊看成是關于x的函數，通過求導研究其最值來解決：法2 設，則，當時，；當時，當時，取得最大值原不等式成立（）思路1 考慮本題是遞進式設問，利用（）的結論來探究解題思路：由（）知，對任意的，有取，則原不等式成立【注】本解法的著眼點是對上述不等式中的x進行巧妙賦值，當然，賦值方法不止一種，如：還可令，得 思路2 所證不等式是與正整數n有關的命題，能否直接用數學歸納法給予證明？嘗試： （1）當時，成立； （2）假設命題對成立，即則當時，有 ，只要證明；即證，即證用

15、二項式定理（展開式部分項）證明，再驗證前幾項即可。如下證明是否正確，請分析：易于證明對任意成立；于是【注】上述證明是錯誤的！因為：是遞增的，不能逐步“縮小”到所需要的結論。可修改如下：考慮是某數列的前n項和，則，只要證明思路3 深入觀察所證不等式的結構特征, 利用均值不等式可得如下妙證： 由取倒數易得：，用n項的均值不等式：，【例25】已知函數f(x)=x2-1(x>0)，設曲線y=f(x)在點（xn,f(xn)）處的切線與x軸的交點為（xn+1,0）(nN*). () 用xn表示xn+1；（）求使不等式對一切正整數n都成立的充要條件，并說明理由；（）若x1=2，求證：【解析】() （）

16、使不等式對一切正整數n都成立的充要條件是x11. () 基本思路：尋求合適的放縮途徑。 探索1 著眼于通項特征，結合求證式特點，嘗試進行遞推放縮： 即。于是由此遞推放縮式逐步放縮得 探索2 從求證式特征嘗試分析：結論式可作如下變形： 逆向思考，猜想應有：（用數學歸納法證明，略）。 探索3 探索過渡“橋”，尋求證明加強不等式：由（2）知xn1，由此得。有 嘗試證明 證法1（數學歸納法，略）； 法2 （用二項展開式部分項）：當n2時2n=(1+1)n 此題還可發現一些放縮方法，如：。（每一項都小于1）而再證即，則需要歸納出條件n4.(前4項驗證即可)已知an=n ，求證：3證明：=1 =1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項，最后又放縮，有的放矢，直達目標.4、放大或縮小“因式”；例4、已知數列滿足求證：證明 本題通過對因式放大，而得到一個容易求和的式子，最終得出證明.【評注】從上述探索放縮證明技巧過程易于看到：探索的方法與手段多種多樣，關鍵是把握條件與結論的結構特征之間的密切聯系！從