1、北京交通大學自動控制系統期末作業交通運輸轉動控制仿真大作業自動控制系統建模（2）第一部分：理論支持車輛跟馳仿真車輛跟馳模型（Car-Following Model）將交通中的車輛看成分散的、存在相互作用的粒子，在假設沒有超車的情況下，通過研究后車跟隨前車的動力學過程，進而分析單車道上交通流的演化特性。車輛跟馳理論將整個系統視為一種質點系動力學系統，它假設車隊中的每輛車必須與前車保持一定的距離以免碰撞，通過考慮跟隨車輛對頭車間距、速度差等刺激因素的反應，建立描述車輛運動規律的微分方程，進而通過求解微分方程就可以確定車輛的演化過程。車輛跟馳理論著重討論非自由行駛狀態下車隊的行駛特性，并用數學模型加

2、以闡明，對現代交通的模擬、評價及管理控制有著重要的理論價值和實際意義。1、 車輛跟馳模型的基本假設 主要進行單車道車輛跟馳仿真。基本假設條件如下： 1、道路平直，無交叉口或匝道，不允許超車； 2、當前方車輛較遠時，車輛自由行駛，當車頭間距在100200米時，車輛間存在相互硬性，后車處于跟馳狀態。 3、在跟馳行駛時，后方車輛根據前方車輛的運行來調整本車的運動狀態。從控制論的角度來看，單個車輛段額跟馳模型是一個不可分解的持續調整反饋控制系統（Feedback Control System）,而整個車隊的跟馳模型是一個可分解為單個車輛模型的序貫級聯系系統（Cascade System）； 4、駕駛人

3、根據當前時刻之前的信息進行判斷，不能采取違反因果律的行為； 5、駕駛人可以有不同的駕駛習慣，駕駛人的駕駛行為不一定總是及時、精確或正確的。車輛跟馳模型是對駕駛人的反應特性深入分析的基礎上，進行簡化抽象得到關于刺激-反應的關系式： 反應=×刺激 （1）式中，為駕駛人對刺激的反應參數，稱為敏感度系數。通常，駕駛人受到的刺激因素是指前車的加速或減速行為，以及隨之產生的速度差和車頭間距的變化。駕駛人對刺激的反應是指根據交通條件變化及車輛進行相應的操縱控制。二、線性車輛跟馳模型 圖1線性車輛跟馳模型是基于刺激-反應關系原理的最簡單模型。圖一為線性跟馳模型原理示意圖。圖中，和分別表示t時刻車輛n

4、-1和其他跟隨車n的位置，為t時刻車輛間的車頭間距，T表示駕駛人的反應時間，表示駕駛人在反應時間T內車輛n行駛的距離，表示車輛n的制動距離，表示車輛n-1的制動距離，L表示停車距離安全。 根據圖一，可以得到如下基本關系式： （2） （3）假設兩車的制動距離相等，即，可得 （4）結合（3）和（4），得 （5）在式（5）兩邊對時間t求導，可得 （6）令=1/T，將式（6）整理為如下形式， （7）與式（1）對比，可以看出式（7）是刺激-反應關系的一種近似數學描述。的量綱為。3、 車輛跟馳一般過程的理論框圖表示 圖2由圖看出，車輛跟馳過程包括三個部分：信息輸入，駕駛人的反應和控制，以及狀態輸出。首先，

5、輸入前車運行狀態，通常包括前車的速度、加速度及車頭間距等；其次，駕駛人感知前車的狀態信息并進行分析判斷，進而做出決策并控制車輛狀態；最后，車輛根據駕駛人的控制跟隨前車運行，輸出跟隨車的運行狀態。在這個過程中，還存在一個反饋過程，即車輛運行的動力學特性會反過來影響駕駛人的信息感知和決策控制過程。4、 交通流的穩定性交通流的穩定性是考察當前處于平衡狀態的車輛受到擾動后交通流狀態最終是否會演化到初始的平衡狀態。如果系統是不穩定的，小擾動會沿著車流向上游傳播，逐漸使暢行車流演化為交通阻塞。如果系統是穩定的，小擾動在傳播過程中會逐漸縮小并消失或最終控制在一定的小范圍內，使得系統中的車輛仍然能夠暢行。道路

6、上的一個車隊按照相同的車頭間距和相同的車速行駛，假定這種均勻的車流狀態就是車隊系統的平衡態。Herman等人（1995）最早研究了線性車輛跟馳模型的穩定性，給出了車輛跟馳模型穩定性的兩種基本類型：（1）局部穩定性（Local Stability）:主要研究跟隨車輛對前車速度波動的反應，關注兩車之間的局部行為；（2）漸進穩定性（Asymptotic Stability）:主要研究車隊的整體動態特性隨頭車速度波動的變化，關注車隊中波動在所有車之間的傳播過程。（1） 局部穩定性 基于式（7）給出的線性車輛跟馳模型，因為=1/T，則<（=T=1)<。根據Herman等人給出的局部穩定性條件

7、，可知，題設模型車頭間距發生震蕩，但振幅呈指數衰減。 考慮一般的跟馳現象，假定跟馳車輛的初始速度和最終速度分別為和，則有 （8）式中，表示跟馳車輛的加速度。從式（7）可得 （9）即 （10）式中，表示車頭間距的變化量，和分別表示頭車和跟馳車輛的速度。（二）漸進穩定性以線性跟馳模型（7）為例，對穩定車隊中頭車的速度施行傅里葉擾動，之后分析擾動在車隊中的演化狀態。考慮N輛車組成的車隊，每輛車的運動方程如下 n=1,2,3N （11）這些方程的任何解都取決于頭車的速度，以及兩個參數和T。對于任何車頭間距的擾動，都可能在車隊中傳播；在此過程中，車頭間距擾動的幅度可能增大、也可能減小，或者保持不變。漸進

8、穩定性分析的目的就是判斷振幅變化趨勢的參數條件。通常，車輛速度的任何模式都可以表達為傅里葉分析單頻部分的線性組合，因此，頭車的速度可以表示成為如下形式： （12）式中，是常數，是頭車單頻振蕩的振幅，是頻率。第n輛車的速度可以表示為 （13）式中，（n=1,2,3N）是第n輛車單頻振蕩的振幅。將式（12）和式（13）代入式（11），可得 （14）式中 （15）如果 >1,也就是說，如果 則F隨著n的增大而減小。因此得到的穩定性條件如下 （16）根據理論分析的結果式（16），一列行駛的車隊僅當時，模型是漸進穩定的，即車隊中車頭間距波動的幅度是逐漸減小。根據題意，當時，該跟馳模型不是漸進穩定的

9、。五，駕駛員認知結構基礎框架示意圖第二部分系統建模題一，問題：以前車車速為后車的輸入，后車車速作為輸出，構建后車車輛的駕駛模型分析：根據查閱的資料得到公式：在式子的左右兩邊有拉普拉斯變換得到Y(s)=R(s)Ts+1 傳遞函數G(s)= 1Ts+1V后(s)G(s)=1sT+1V前(s)R(s)是前車的車速，Y(s)是后車的車速輸出值。如圖：二， 問題：假設該系統有5輛車，以第一輛車的速度作為該系統的輸入，以第5輛車的速度作為系統的輸出，建立該系統的數學模型。分析：仿照第一個問題，令G1(s)= 1Ts+1則此系統的傳遞函數G(s)=G1s4系統建模如圖V5(s)G(s)=1sT+1G(s)=

10、1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1V1(s)三， 問題：假設該系統有10輛車，以第一輛車的速度作為該系統的輸入，以第5輛車的速度作為系統的輸出，建立該系統的數學模型。分析：仿照第一個問題，令G1(s)= 1Ts+1則此系統的傳遞函數對最后那一輛車G(s)=G1s9則此系統的傳遞函數對第五輛車G5(s)=G1s4輸出V5系統建模如圖V10(s)G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1G(s)=1sT+1V1(s)四， 問題：分析5輛車的系統和10輛車系統的穩定性條件：利用Bode圖，令a=0.2T=0.2 ; num=1;den=T 1;s

11、ys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);bode(sys4);margin(sys4);nyqiust(sys4);系統是穩定的。奈圭斯特圖可知 ，圖沒有包含（-1,0）這個點，可以認為系統是穩定的。五， 問題：假定第一輛車按恒定的速度V0行駛，5輛車的系統的輸出響應？10輛車系統的輸出響應？分析：（1）因為假定第一輛車按恒定的速度V0行駛，根據拉普拉斯變換V1(s)=V0s, (在這道題中我們取V0=1)相當于單位階躍響應為輸入。（2）利用Matlab寫程序代碼

12、：T=0.2 ; num=1;den=T 1;sys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1)step(sys4);由圖知，系統的最終穩定速度1m/s六， 問題：假定第一輛車按單位斜坡V0行變化，5輛車的系統的輸出響應？10輛車系統的輸出響應？分析：（1）因為假定第一輛車按按單位斜坡V0行變化，根據拉普拉斯變換V1(s)=1s2（2）利用Matlab寫程序代碼：T=0.2; num=1;den=T 1; sys1=tf(num,den); sys2=series(sys1

13、,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);impulse(sys4);七， 問題：假定第一輛車按單位加速度V0行變化，5輛車的系統的輸出響應？10輛車系統的輸出響應？分析：（1）因為假定第一輛車按按單位加速度V0行變化，根據拉普拉斯變換V1(s)=1s3（2）利用Matlab寫程序代碼：T=0.2; num=1;den=T 1;sys1=tf(num,den);sys2=series(sys1,sys1);sys3= series(sys2,sys1);sys4=series(sys3,sys1);SYS=ss(sys4);t=

14、0:0.01:5;V=0.5*(t.2);lsim(SYS,V,t)必做仿真三題仿真作業1系統仿真實驗步驟（1），分析題意，由于要畫出開環對數頻率特性圖。因而先寫出開環的傳遞函數。令f1(x)=1s+2(s+8) f2(x)=1sG1(x)=f1(x)1+5f1(x)=1s2+10s+21在K1=200時，系統的開環傳遞函數G(x)=K1*G1(x)*f2(x)=K1s3+10s2+21s=200s3+10s2+21s也可以用MATlAB中的函數寫出sys1=200;num=1;den=1 10 16;sys2=tf(num,den);sys3=5;sys4=feedback(sys2,sys

15、3,-1);num1=1;den1=1 0;sys5=tf(num1,den1);%得到開環傳遞函數sys6sys6=series(sys1,series(sys4,sys5);(2)畫出開環系統的Bode圖由Bode圖的閉環系統得穩定裕度：增益裕度0.424dB 相角裕度：1.29度Bode圖結果分析：增益裕度和相角裕度太小，系統的穩定性不好（為了驗證結論我們用simulink做了一次仿真，輸入階躍函數）當K=200時以階躍函數為輸入的輸出響應可以看出系統的階躍響應時間很長，K=200時系統不穩定。系統需要達到穩定值得時間很長。當K=150時K=150時達到穩定的時間變短了。超條量較的K=2

16、00時也變小了。當K=100時K=50時K=20時說明隨著K值漸漸減小系統的穩定性漸漸加大。（3）閉環系統的根軌跡圖1先寫出閉環系統的傳遞函數G3=K1s3+10s2+21s+K1也可以用MATLAB得到：sys7=1;sys8=series(sys7,series(sys4,sys5);sys9=feedback(sys8,1,-1)2得到得到特征方程是s3+10s2+21s+K1將方程化作1+K1s3+10s2+21s 再利用MATLAB中的rlocus函數得到根軌跡根軌跡圖結果分析：由開環傳遞函數得K1ss+2(s+8)(i) 開環傳遞函數有三個極點0，-2，-8(ii) 由根軌跡圖得：

17、根軌跡與虛軸的交點w4.57,得到增益K1209系統才可以出于穩定狀態。仿真作業2系統仿真實驗步驟K=5.3(1) 當人的反應時間為0時把e-ST用pade函數代替e-ST=-s3+120s2-6000s+120000s3+120s2+6000s+120000令f1(x)=e-sTs f2(x)=Ks2 f3(x)=s2+0.8s+0.32閉環傳遞函數G(s)=f1*f21+f1*f2*f3寫出頻率響應函數G(jw)=f1jwf2(jw)1+f1jwf2(jw)f3(jw)在w在0.1-103之間選200個點畫出閉環系統的頻率響應（2）開環傳遞函數F(x)=f1x*f2x*f3xF(x)=Ks

18、3*(s2+0.8s+0.32)得到開環系統的T=0時的Bode圖得到增益裕度Gm=-22.4dB 相角裕度 Pm=81.3度（3）在T=0.1時得到開環函數F(x)=e-0.1sKs3*(s2+0.8s+0.32)得到增益裕度Gm=9.14dB相角裕度Pm=51度（4）當相角裕度Pm=0時用Bode圖不斷試驗得到使Pm=0的T值。在T=0.2677s時Pm=0.00285度0由上圖可知在T=2.651585時，Gm=2.23*10-5 Pm=3.9*10-50分析：根據查閱的資料人的反應時間一般為0.10.5s左右。而在復雜情況下人的反應時間是13s所以T0.2677s仿真作業3系統仿真實驗

19、步驟假定司機的反應時間T=0.2s(1) 問題：確定增益K的取值，時閉環系統的諧振峰Mp2分析:1先寫出系統的閉環傳遞函數f1(x)=e-sT f2(x)=Ks(0.1s+1)系統的開環傳遞函數：G1(x)=e-sTK0.1s2+s系統閉環傳遞函數：G(x)=G1(x)1+G1(x)2經過不斷的嘗試發現當K3.439時 畫出閉環頻率響應圖，再利用公式計算最大幅值處的諧振峰Mp1.99962(2) 問題:根據Mp估計系統的阻尼系數分析：根據公式=0.5(1-1-1Mp2)得到=0.2589(3) 問題:根據相角裕度估計系統的阻尼系數分析：1根據自動控制原理的課本第325頁第326頁在典型的四節開

20、換系統中，系統的階躍響應的超調量%與相角裕度以及諧振峰Mp之間關系的經驗公式%=2000-20 100(Mp-1) Mp1.25% 50Mp-1 Mp>1.25假設在諧振峰附近，開環相頻特性隨頻率的變化比較緩慢，擇優文獻證明：閉環諧振峰Mp與相角裕度之間有如下近似關系：Mp1sin2利用開環傳遞函數的Bode圖得到相角裕度為=33.4409度3利用階躍響應得到超調量%=43%利用公式Mp1sin，sin33.4409=0.5510765473Mp1.814629936,再利用公式=0.5(1-1-1Mp2)得到=0.2877023674分析：比較由Mp得到得1=0.2589和先由相角裕度

21、得到Mp再由Mp得到2=0.2877023674得到=1-2=-0.02880236738 兩者相差不大，說明可以認為在諧振峰附近，開環相頻特性隨頻率的變化比較緩慢。可以符合近似公式Mp1sin而且計算超調量%=2000-20=39.8070028%與43%相差不大。(4)問題:估計閉環系統的帶寬分析：1系統帶寬：閉環系統的輸入信號，頻率從零開始，從零頻率衰減到0.707時頻率范圍。WB是系統可通過的頻率帶寬稱為帶寬。得到系統帶寬w=6,64rad/s源程序代碼系統仿真實驗題目1 %做K=200的bode圖sys1=200;num=1;den=1 10 16;sys2=tf(num,den);

22、sys3=5;sys4=feedback(sys2,sys3,-1);num1=1;den1=1 0;sys5=tf(num1,den1);%得到開環傳遞函數sys6sys6=series(sys1,series(sys4,sys5);bode(sys6);margin(sys6);grid on; %做根軌跡圖sys7=1;sys8=series(sys7,series(sys4,sys5);%閉環傳遞函數sys9sys9=feedback(sys8,1,-1)sys9 = 1 - s3 + 10 s2 + 21 s + 1%得到特征方程是s3 + 10 s2 + 21 s + Kp=1;q

23、=1 10 21 0;sys10=tf(p,q); rlocus(sys10);系統仿真實驗題目2w=logspace(-1,3,200); T=0;pn,pd=pade(T,3);sys1=tf(pn,pd);num1=1;den1=1 0;sys2=tf(num1,den1);num2=5.3;den2=1 0 0;sys3=tf(num2,den2);sys4=series(sys1,series(sys2,sys3);num=1 0.8 0.32;den=1;sys5=tf(num,den);sys6=series(sys4,sys5);%閉環函數sys7=feedback(sys4,

24、sys5,-1);%閉環函數頻率響應bode(sys7,w); grid on%開環函數（計算增益裕度與相角裕度）bode(sys6);margin(sys6);grid on%當T=0.1時系統的相角裕度T=0.1;pn,pd=pade(T,3);sys1=tf(pn,pd);num1=1;den1=1 0;sys2=tf(num1,den1);num2=5.3;den2=1 0 0;sys3=tf(num2,den2);sys4=series(sys1,series(sys2,sys3);num=1 0.8 0.32;den=1;sys5=tf(num,den);sys6=series(s

25、ys4,sys5);%開環函數（計算增益裕度與相角裕度）bode(sys6);margin(sys6);grid on系統仿真實驗題目3pn,pd=pade(0.2,3);sys1=tf(pn,pd);K=3.439;num1=K;den1=0.1 1 0;sys2=tf(num1,den1);sys3=series(sys1,sys2);sys4=feedback(sys3,1,-1); w=logspace(-1,1,200);bode(sys4,w)grid onw=logspace(-1,1,200);mag,phase,w=bode(sys4,w); %計算諧振峰Mpmp,l=max(mag) mp = 1.9996l = 162%利用Mp來計算阻尼系數zeta=sqrt(0.5*(1-sqrt(1-1/mp2)z