1、非線性作業一 一級直線倒立擺 如圖1所示系統里的各參數變量M：小車系統的等效質量（1.096kg）；：擺桿的質量（0.109kg）；：擺桿的半長（0.25m）；J：擺桿系統的轉動慣量（0.0034kg*m）；g：重力加速度（9.8N/Kg）；r：小車的水平位置（m）；：擺角大小（以豎直向上為0起始位置，逆時針方向為正方向）；：小車對擺桿水平方向作用力（N）（向左為正方向），是其反作用力；：小車對擺桿豎直方向作用力（N）（向上為正方向），是其反作用力；U：電動機經傳動機構給小車的力，可理解為控制作用u（向左為正方向）；：擺桿重心的水平位置（m）；：擺桿重心的豎直位置（m）。11一級倒立擺的數學建

2、模定義系統的狀態為r,r, , 經推導整理后可以達到倒立擺系統的牛頓力學模型： （1） （2）因為擺桿一般在工作在豎直向上的小領域內=0，可以在小范圍近似處理：，則數學模型可以整理成： （3） （4）系統的狀態空間模型為=+ （5） （6）代人實際系統的參數后狀態方程為：=+ （7） （8）1.2滑模變結構在一級倒立擺系統的應用主要包括切換函數的設計、控制率的設計和系統消除抖振的抑制。基于線性二次型最優化理論的切換函數設計，定義系統的優化積分指標是： Q>0，本文采用指數趨近律：，其中k和為正數。將其代人S=Cx=0中，可以得到： （9）控制率為： （10）的選取主要是為了抑制系統的摩擦

3、力和近似線性化所帶來的誤差和參數攝動等因素，從而使得系統具有良好的魯棒性。文中k=25, =0.8。取變換矩陣T。其中T=，去Q*11=diag(300 50 350)，Q22=10關于Riccati方程的解有MATLAB的lqr函數可以解出 二 程序%主程序：直線一級倒立擺clear allclose allglobal C M0 Fts=0.02; %采樣時間T=30; %仿真時間TimeSet=0:ts:T;para=;%options為解微分函數中的調整參數,reltol和abstol分別是設置相對誤差和絕對誤差options=odeset('RelTol',1e-3,

4、'AbsTol',1e-3 1e-3 1e-3 1e-3);%options=;x0=0.5,0.3,0,0; %初始值t,xout=ode45('daolibai2eq',TimeSet,x0,options,para);%固定格式，子程序調用%返回值x1=xout(:,1);x2=xout(:,2);x3=xout(:,3);x4=xout(:,4);s=C(1)*x1+C(2)*x2+C(3)*x3+C(4)*x4; %切換函數或切換面%選擇控制器if F=1 % for k=1:1:T/ts+1 M0=40; %u(k)=-M0*sign(s(k); u

5、=-M0*sign(s); %endelse if F=2 beta=30; delta=0; for k=1:1:T/ts+1 u(k)=-beta*(abs(x1(k)+abs(x2(k)+abs(x3(k)+abs(x4(k)+delta)*sign(s(k); end end %繪圖 figure(1); plot(t,x1,'r'); xlabel('time(s)');ylabel('Cart Position'); figure(2); plot(t,x2,'r'); xlabel('time(s)'

6、);ylabel('Pendulum Angle'); figure(3); plot(t,s,'r'); xlabel('time(s)');ylabel('s'); figure(4); plot(t,u,'r'); xlabel('time(s)'); ylabel('u');end%子程序function dx=DxnamicModel(t,x,flag,para)%自定義動態函數global C M0 F%倒立擺經計算后模型M=1.096;m=0.109;b=0.1;l=0

7、.25;I=0.0034;T=0.005;g=0.98;k22=-(I+m*l2)*b/(I*(M+m)+M*m*l2);k23=m2*g*l2/(I*(M+m)+M*m*l2);k42=-m*l*b/(I*(M+m)+M*m*l2);k43=m*g*l*(M+m)/(I*(M+m)+M*m*l2);b12=(I+m*l2)/(I*(M+m)+M*m*l2);b14=m*l/(I*(M+m)+M*m*l2);A=0,1,0,0;0,k22,k23,0;0,0,0,1;0,k42,k43,0;b=0;b12;0;b14;%Ackermann's formulan1=-1;n2=-2;n3=-3;C=0,0,0,1*inv(b,A*b,A2*b,A3*b)*(A-n1*eye(4)*(A-n2*eye(4)*(A-n3*eye(4);s=C*x;F=2;if F=1 M0=40; u=-M0*sign(s);elseif F=2 beta=30; delta=0; u=-beta*(abs(x(1)+abs(x(2