1、第八講 等差數(shù)列1等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。等差數(shù)列的證明須用定義證明，值得注意的是，若給出一個數(shù)列的前項和，則其通項為若滿足則通項公式可寫成.已知數(shù)列滿足，令（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式。2等差數(shù)列的通項： an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當d0時，an是關(guān)于n的一次式；當d=0時，an是一個常數(shù)。如(1)等差數(shù)列中，則通項（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差d的取值范圍是_3等差數(shù)列的前項和：，。當d0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0；當d=0時（a10），Sn=na1是關(guān)于n

2、的正比例式。如（1）等差數(shù)列anbn的前n項分別為Sn與Tn,若 ,則=_（2）數(shù)列 中，前n項和，則，（3）已知數(shù)列 的前n項和，求數(shù)列的前項和 （4）4等差中項：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項，且。提醒（1）等差數(shù)列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）5.解答有關(guān)數(shù)列問題時，經(jīng)常要運用各種數(shù)學思想.善于使用各種數(shù)學思想解答數(shù)列題，是我們復(fù)習應(yīng)達到的目標. 函數(shù)思想：等差等比數(shù)列的通

3、項公式求和公式都可以看作是的函數(shù)，所以等差等比數(shù)列的某些問題可以化為函數(shù)問題求解.如：求的最大值分類討論思想：用等比數(shù)列求和公式應(yīng)分為及；已知求時，也要進行分類；如：已知：求整體思想：在解數(shù)列問題時，應(yīng)注意擺脫呆板使用公式求解的思維定勢，運用整體思想求解. 如：已知等比數(shù)列an，求三等差數(shù)列的性質(zhì)：1當公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.2若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。3當時,則有，特別地，當時，則有.如（1）等差數(shù)列中，則_（2）在等差數(shù)列中，且，是其前項和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，

4、都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0(3)已知等差數(shù)列的公差是正數(shù)，且，求數(shù)列的前20項的和S20。4若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。5在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)時，；項數(shù)為奇數(shù)時，（這里即）；。如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)6若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則 .如設(shè)與是兩個等差數(shù)列，它們的前項和分別為和，若，那么_7“首正”的遞減等差數(shù)列中，前

5、項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數(shù)列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（2）若是等差數(shù)列，首項，則使前n項和成立的最大正整數(shù)n是 8 如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究.如：已知兩個數(shù)列3，7，11，139與2，9，16，142