1、1第十章第十章 機械振動機械振動重點：重點：n簡諧振動的基本特征和表述簡諧振動的基本特征和表述n旋轉矢量法旋轉矢量法 簡諧運動的動力學方程簡諧運動的動力學方程n一維簡諧運動的合成一維簡諧運動的合成n機械波的基本特征機械波的基本特征 平面簡諧波的波函平面簡諧波的波函數數 惠更斯原理惠更斯原理 波的疊加波的疊加210-1 10-1 簡諧振動簡諧振動一、簡諧振動的特征及其表達式一、簡諧振動的特征及其表達式物體運動時，離開平衡位置的位移物體運動時，離開平衡位置的位移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規律隨時間變化。規律隨時間變化。v簡諧振動簡諧振動v彈簧振子：彈簧振子：連

2、接在一起的一個忽略了質量的彈簧和一個不發生形連接在一起的一個忽略了質量的彈簧和一個不發生形變的物體系統。變的物體系統。3XOXOXOv彈簧振子運動的彈簧振子運動的定性分析：定性分析：物體做簡諧運動的物體做簡諧運動的條件：條件：物體的慣性物體的慣性作用在物體上的彈性力作用在物體上的彈性力v動力學特征：動力學特征：回復力：回復力：作簡諧運動的質點所受的沿位移方向的合作簡諧運動的質點所受的沿位移方向的合 外力外力, , 該力與位移成正比且反向。該力與位移成正比且反向。kxF42()km22xFd xkaxmdtm kxdtxdm22022xmkdtxd0222xdtxd牛二定律牛二定律: :簡諧運動

3、的運動方程簡諧運動的運動方程0222xdtxd位移位移 之解可寫為：之解可寫為：x或或)i(0etAx簡諧振動的運動學特征簡諧振動的運動學特征: :物體的加速度與位移成正物體的加速度與位移成正 比而方向相反，物體的位移按余弦規律變化。比而方向相反，物體的位移按余弦規律變化。)cos(sincos)(021tAtctctx5)sin(0tAdtdxv速度：速度：加速度：加速度：)cos(02tAdtdva)(2txa簡諧振動中質點位簡諧振動中質點位移、速度、加速度移、速度、加速度與時間的關系與時間的關系: :42xtvtat)cos()(0tAtx6v受力角度受力角度二、簡諧振動的特征二、簡諧振

4、動的特征kxFv加速度角度加速度角度)(2txav位移角度位移角度 常量常量 和和 的確定的確定A0根據初始條件：根據初始條件： 時，時， , , 得得0 xx 0vv 0t00sinAv00cosAx )arctan(000 xv2020)(vxA 通常通常 存在兩個值，可根據存在兩個值，可根據 進行取舍。進行取舍。000sinAv2 , 0)cos()(0tAtx7三、簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位三、簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位v振幅振幅: 物體離開平衡位置的最大位移的絕對值物體離開平衡位置的最大位移的絕對值由初始條件確定由初始條件確定)(cos)cos(00tTAtAxv周期和頻

5、率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全運動所經歷的時間物體作一次完全運動所經歷的時間頻率：頻率：單位時間內物體所作完全運動的次數單位時間內物體所作完全運動的次數21T2T2020)(vxA822T角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內所作的完全運動的次數秒內所作的完全運動的次數2對于彈簧振子，因有對于彈簧振子，因有 ，得，得: :mk,2kmTmk21利用上述關系式，得諧振動表達式：利用上述關系式，得諧振動表達式：02cosTtAx02costAx9v相位和初相相位和初相相位相位 ：決定簡諧運動狀態的物理量。決定簡諧運動狀態的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時的相位時的相位0相位概

6、念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調上的差異。上的差異。 設有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為：設有兩個同頻率的諧振動，表達式分別為：相位差：相位差：)cos(1011tAx)cos(2022tAx10201020)()(tt10(b)(b)當當 時時, ,稱兩個振動為反相；稱兩個振動為反相；) 12(k(d)(d)當當 時時, ,稱第二個振動落后第一個振動稱第二個振動落后第一個振動 。0(c)(c)當當 時時, ,稱第二個振動超前第一個振動稱第二個振動超前第一個振動 ；0討論討論: :相位可以用來比較不同物理量變化的步調相位可以用來比較不同物理量變化

7、的步調 (a) (a)當當 時時, ,稱兩個振動為同相；稱兩個振動為同相；k210201020)()(tt)2cos()sin(00tAtAv)cos()(0tAtx對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在: :11速度的相位比速度的相位比位移超前位移超前2)cos()cos(0202tAtAa42xtvtat加速度的相位比加速度的相位比位移超前位移超前)2cos()sin(00tAtAv)cos()(0tAtx12四、四、 簡諧振動的矢量圖示法簡諧振動的矢量圖示法采用旋轉矢量法，可直采用旋轉矢量法，可直觀地領會簡諧振動表達觀地領會簡諧振動表達式中各個物理量

8、的意義。式中各個物理量的意義。v旋轉矢量旋轉矢量:A長度等于振幅長度等于振幅A A 的矢量的矢量 在紙平面內繞在紙平面內繞O O點沿逆時針方點沿逆時針方向旋轉，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱向旋轉，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉矢量。為旋轉矢量。13振動相位振動相位逆時針方向逆時針方向 M 點在點在 x 軸上投影軸上投影( (P點點) )的運動的運動規律規律： 的長度的長度A 旋轉的角速度旋轉的角速度A旋轉的方向旋轉的方向A與參考方向與參考方向x 的夾角的夾角AXOM P xA0t振幅振幅A振動圓頻率振動圓頻率)cos(0tAx14速度、加速度的旋轉矢量表示法：速度、

9、加速度的旋轉矢量表示法：M 點點: :AvmAam2 沿沿X 軸的投軸的投影為簡諧運動的速度、影為簡諧運動的速度、加速度表達式加速度表達式。av,XMvAaxv0txa15兩個同頻率的簡諧運動：兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為相位之差為采用旋轉矢量直觀表示為：采用旋轉矢量直觀表示為：)cos(1011tAx)cos(2022tAx10201020)()(tt101A202AOX16例例10-110-1 物體沿物體沿X X軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅A=0.12mA=0.12m, ,周期周期T=2sT=2s. . t=0t=0時時, ,物體的位移物體的位移x=0.06x=0.06m,m,

10、且向且向X X軸正向運動。軸正向運動。求求:(1):(1)簡諧振動表達式簡諧振動表達式; ; (2) (2)t=T/4t=T/4時物體的位置、速度和加速度時物體的位置、速度和加速度; ; (3) (3)物體從物體從x =-0.06mx =-0.06m向向X X軸負方向運動，第一次回到軸負方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。平衡位置所需時間。解解: : 取平衡位置為坐標原點取平衡位置為坐標原點, ,諧振動方程：諧振動方程：初始條件：初始條件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030據初始條件據初始條件 得得, 0sin00Av30)cos(0tAx)3cos(1

11、2. 0tx17在在t =T/4=0.5s時時: :)3cos(12. 0tx)3sin(12. 0tdtdxv)3cos(12. 02tdtdvamx104. 06cos12. 0smdtdxv18. 06sin12. 022103. 06cos12. 0smdtdva18(3) (3) 當當x = -0.06m時時，該時刻設為該時刻設為t1 1, ,得得因此從因此從x = -0.06m處第一次回到平衡位置的時間處第一次回到平衡位置的時間：另解另解：從從t1 1時刻到時刻到t2 2時刻所對應的時刻所對應的相差相差為為：)3cos(12. 006. 01t21)3cos(1tstt132311

12、設物體在設物體在t2 2時刻第一次回到平衡位置，相位是時刻第一次回到平衡位置，相位是232331tst6112sttt6512653223st6516519五、幾種常見的簡諧振動五、幾種常見的簡諧振動v單擺單擺重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：據轉動定律，得到據轉動定律，得到 很小時很小時( (小于小于 ) )，可取，可取5lg：2圓頻率sinmglMmglM222lgJMdtdgmTlo0222dtd)cos(00t振動方程振動方程: :gl：T2周期20轉角轉角 的表達式可寫為：的表達式可寫為：角振幅角振幅 和初相和初相 由初始條件求得。由初始條件求得。00單擺周期單擺周期 與角振幅與角

13、振幅 的關系為的關系為0T 2sin43212sin211042220220TT0T 為為 很小時單擺的周期。很小時單擺的周期。0根據上述周期的級數公式，可以將周期計算到所根據上述周期的級數公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。要求的任何精度。)cos(00t21v復擺復擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺。一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復擺。剛體的質心為剛體的質心為C, , 對過對過O 點的轉軸的轉動點的轉軸的轉動慣量為慣量為J, , O、C 兩點間距離的距離為兩點間距離的距離為h。圓頻率圓頻率: :據轉動定律，得據轉動定律，得: :mghdtdJ22重力矩：重力矩：mghmghMsin022

14、JmghdtdJmgh2周期周期: :mghJT220222dtd應用應用: :測轉動慣量測轉動慣量, ,測重力加速度測重力加速度gmCO22例例10-210-2 一質量為一質量為m m 的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S S，吃水深，吃水深度為度為h h，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。解解: : 船靜止時浮力與重力平衡，船靜止時浮力與重力平衡，mghSg OyPPy船的位移為船的位移為y 時船所受時船所受合力為：合力為：SgymgSgyhf)(船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為船在豎直方向作簡諧振動，其

15、角頻率和周期為: :mSggSmT22)(ShmghT223動能動能勢能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統的能量。以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統的能量。系統總的機械能：系統總的機械能：六、簡諧振動的能量六、簡諧振動的能量)(sin212102222tmAmvEK)(cos21210222tkAkxEPPKEEE)(sin21)(cos210222022tmAtkA221kAE 簡諧振動的機械能守恒簡諧振動的機械能守恒24諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線: :tAxcostxO221kAE PEkEtOE2510-5 10-5 同方向（

16、一維）的簡諧振動的合成同方向（一維）的簡諧振動的合成一、同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成一、同方向同頻率的兩個簡諧振動的合成設一質點同時參與沿同一方向設一質點同時參與沿同一方向(x 軸軸)的兩個獨立的的兩個獨立的同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為：同頻率的簡諧振動，兩個振動位移為：)cos(1011tAx)cos(2022tAxv合位移：合位移：)cos(021tAxxx)cos(21020212221AAAAA合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。合振動仍然是簡諧振動，其方向和頻率與原來相同。202101202101coscossinsintgAAAA26v旋轉矢量圖示法旋轉矢量圖示法

17、XO21AAA1A2A10202x1xx矢量沿矢量沿X 軸之投影表征了合運動的規律。軸之投影表征了合運動的規律。A27v應用旋轉矢量法應用旋轉矢量法2AA1A21xy11cosA22cosA11sinA22sinA)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg 合成振動合成振動是簡諧運動是簡諧運動 tAx cos28v討論：討論：, 2 , 1 , 0 212 kk 21AAA 合振幅最大合振幅最大2AA1Ainstance1當當 稱為干涉相長稱為干涉相長21AA 12AA 2AA1A1A2AA|2121AAAAA k 12instance2,

18、3 , 2 , 1 ) 12(12 kk 21AAA 合振幅最小合振幅最小當當 稱為干涉相稱為干涉相消消21AA 0 Ainstance3：一般情況一般情況29例例10-510-5 N 個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初個同方向、同頻率的簡諧振動，它們的振幅相等，初相分別為相分別為0, 0, a, 2, 2a, ., , ., 依次差一個恒量依次差一個恒量a，振動表達式可寫成，振動表達式可寫成求它們的合振動的振幅和初相。求它們的合振動的振幅和初相。 解解: :采用旋轉矢量法可使問題得到簡化，從而避開采用旋轉矢量法可使問題得到簡化，從而避開煩瑣的三角函數運算。煩瑣的三角函數運算。 根

19、據矢量合成法則，根據矢量合成法則，N個簡諧振動對應的旋轉矢個簡諧振動對應的旋轉矢量的合成如下圖所示：量的合成如下圖所示：taxcos1)cos(2tax)2cos(3tax) 1(cosNtaxN30OX1a2a3a4a5aC 因各個振動的振幅相同且相差依次恒為因各個振動的振幅相同且相差依次恒為 ，上圖，上圖中各個矢量的起點和終點都在以中各個矢量的起點和終點都在以 C為圓心的圓周上，為圓心的圓周上，根據簡單的幾何關系，可得根據簡單的幾何關系，可得AMNOCM 31 在三角形在三角形OCM中中, ,OM 的長度就是和振動位移矢的長度就是和振動位移矢量的位移量的位移, ,角度角度 就是和振動的初相

20、，據此得就是和振動的初相，據此得MOX2sin2NOCA 考慮到考慮到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NN當當 時時( (同相合成同相合成) )，有，有0,NaA 。032二、同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成二、同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成 拍拍兩個簡諧振動合成得：兩個簡諧振動合成得：當兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉矢量圖示當兩個同方向簡諧振動的頻率不同時，在旋轉矢量圖示法中兩個旋轉矢量的轉動角速度不相同，二者的相位差法中兩個旋轉矢量的轉動角速度不相同，二者的相位差與時間有關，合矢量的長度和角速度都將隨時間變化。與時間有關，合矢量

21、的長度和角速度都將隨時間變化。兩個簡諧振動的頻率兩個簡諧振動的頻率 和和 很接近，且很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2)cos(),cos(02220111tAxtAx21122因因,21112或或,2有有33在兩個簡諧振動的位移合成表達式中，第一項隨時間作在兩個簡諧振動的位移合成表達式中，第一項隨時間作緩慢變化緩慢變化, , 第二項是角頻率近于第二項是角頻率近于 的簡諧函數。的簡諧函數。合振動可視為是角頻率為合振動可視為是角頻率為 、振幅為、振幅為 的簡諧振動。的簡諧振動。1或或22)(212)(cos212tA合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性

22、的變化，振動出合振動的振幅隨時間作緩慢的周期性的變化，振動出現時強時弱的現時強時弱的拍現象拍現象。v拍頻拍頻:單位時間內強弱變化的次數單位時間內強弱變化的次數12122)2cos()2cos(201212ttAx34t1xt2xtxv同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成同方向不同頻率的兩個簡諧振動的合成 拍拍35第十一章第十一章 機械波機械波重點：重點：n簡諧振動的基本特征和表述簡諧振動的基本特征和表述n旋轉矢量法旋轉矢量法 簡諧運動的動力學方程簡諧運動的動力學方程n一維簡諧運動的合成一維簡諧運動的合成n機械波的基本特征機械波的基本特征 平面簡諧波的波函平面簡諧波的波函數數 惠更斯原理惠更斯原理

23、 波的疊加波的疊加3611-1 11-1 機械波的產生和傳播機械波的產生和傳播一、機械波產生的條件一、機械波產生的條件波動波動是振動的傳播過程。是振動的傳播過程。v機械波：機械波：機械振動在介質中的傳播過程。機械振動在介質中的傳播過程。彈性介質彈性介質-傳播機械振動的介質傳播機械振動的介質波動是波源的振動狀態或振動能量在介波動是波源的振動狀態或振動能量在介質中的傳播，介質的質點并不隨波前進質中的傳播，介質的質點并不隨波前進波源波源-產生機械振動的振源產生機械振動的振源v電磁波：電磁波：變化的電場和變化的磁場在變化的電場和變化的磁場在 空間的傳播過程。空間的傳播過程。v物質波物質波機械波產機械波

24、產生的條件生的條件37二、橫波和縱波二、橫波和縱波橫波：橫波：質點的振動方向和波的傳播方向垂直。質點的振動方向和波的傳播方向垂直。 注注：在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、在固體中可以傳播橫波或縱波，在液體、 氣體氣體( (因無剪切效應因無剪切效應) )中只能傳播縱波。中只能傳播縱波。縱波：縱波：質點的振動方向和波的傳播方向平行。質點的振動方向和波的傳播方向平行。振動方向振動方向傳播方向傳播方向波谷波谷波峰波峰波密波密波疏波疏38三、波陣面和波射線三、波陣面和波射線波線：波線：沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。沿波的傳播方向作的一些帶箭頭的線。 波線的指向表示波的傳播方向。波線的指向表示波的

25、傳播方向。波陣面：波陣面：在波動過程中，把振動相位相同的點連在波動過程中，把振動相位相同的點連成的成的面面( (簡稱波面簡稱波面) )。波前：波前：在任何時刻，波面有無數多個，最前方的在任何時刻，波面有無數多個，最前方的波面即是波前。波前只有一個。波面即是波前。波前只有一個。平面波平面波：波面為平面波面為平面球面波球面波：波面為球面波面為球面柱面波柱面波：波面為柱面波面為柱面平平面面波波波波線線波波面面球球面面波波39平面波平面波球面波球面波波波線線波波陣陣面面波波陣陣面面波波線線1、在各向同性介質中傳播時，波線和波陣面垂直。、在各向同性介質中傳播時，波線和波陣面垂直。注：注：2、在遠離波源的

26、球面波波面上的任何一個小部份，、在遠離波源的球面波波面上的任何一個小部份，都可視為平面波。都可視為平面波。40四、波的傳播速度四、波的傳播速度、波長和頻率波長和頻率描述振動狀態在介質中傳播快慢程度的物理量，其值描述振動狀態在介質中傳播快慢程度的物理量，其值通常取決于介質的彈性和質量密度。通常取決于介質的彈性和質量密度。v波速波速 U：單位時間內一定的振動狀態所傳播的距離：單位時間內一定的振動狀態所傳播的距離v頻率、圓頻率：頻率、圓頻率：v周期周期 T：傳播一個波長距離所用的時間傳播一個波長距離所用的時間v波長：波長：在同一條波線上，相差為在同一條波線上，相差為 的質點間的距離的質點間的距離2波

27、速、周期和波長關系：波速、周期和波長關系：Tu22fT2k頻率、周期：頻率、周期：決定于波源決定于波源波速：波速：決定于傳輸介質決定于傳輸介質波長：波長：由波源和傳輸介質共同確定由波源和傳輸介質共同確定v 波數：波數：41波長、頻率和波速之間的關系波長、頻率和波速之間的關系u個個當波長遠大于介質分子間的距離時，宏觀上介質可視當波長遠大于介質分子間的距離時，宏觀上介質可視為是連續的；若波長小到分子間距尺度時，介質不再為是連續的；若波長小到分子間距尺度時，介質不再具備連續性，此時不能傳播彈性波。具備連續性，此時不能傳播彈性波。彈性波在介質中傳播時存在一個彈性波在介質中傳播時存在一個頻率上限頻率上限

28、。42 例例11-1 頻率為頻率為3000Hz的聲波，以的聲波，以1560m/s的傳播速度沿一波的傳播速度沿一波線傳播，經過波線上的線傳播，經過波線上的A點后，再經點后，再經13cm而傳至而傳至B點。求點。求(1) B點的振動比點的振動比A 點落后的時間。點落后的時間。(2) 波在波在A、B兩點振動時的相位兩點振動時的相位差是多少？差是多少？(3) 設波源作簡諧振動，振幅為設波源作簡諧振動，振幅為1mm，求振動速度，求振動速度的幅值，是否與波的傳播速度相等？的幅值，是否與波的傳播速度相等？解解 (1) 波的周期波的周期s300011T波長波長cm52m52. 0s3000sm1056. 111

29、3uB點比點比A點落后的時間為點落后的時間為s120001sm1056. 1m13. 013即即 。4T43(2) A、B 兩點相差兩點相差 ， B點比點比A點落后的相差為點落后的相差為45213224(3) 振幅振幅 A=1mm，則振動速度的幅值為，則振動速度的幅值為m/s8 .18cm/s1088. 12s3000cm1 . 031Avm振動速度是交變的，其幅值為振動速度是交變的，其幅值為18.8m/s，遠小于波速。，遠小于波速。44ABCDEFGHI 解解 橫波傳播過程中各個質點在橫波傳播過程中各個質點在其平衡位置附近振動，且振動方向其平衡位置附近振動，且振動方向與傳播方向垂直。與傳播方

30、向垂直。0Cv頭表示該波的傳播方向。試分別用小箭頭表明圖中頭表示該波的傳播方向。試分別用小箭頭表明圖中A A、B B、C C、D D、E E、F F、G G、H H、I I各質點的運動方向，并畫出經過各質點的運動方向，并畫出經過1/41/4周期后的波周期后的波形曲線。形曲線。例例11-2 11-2 設某一時刻繩上橫波的波形曲線如下圖所示，水平箭設某一時刻繩上橫波的波形曲線如下圖所示，水平箭 根據圖中的波動傳播方向，可知在根據圖中的波動傳播方向，可知在C 以后的質點以后的質點B 和和A開始振動的時刻總是落后于開始振動的時刻總是落后于C 點，而在點，而在C 以前以前的質點的質點 D、E、F、G、H

31、、I 開始振動的時刻卻都超開始振動的時刻卻都超前于前于C 點。點。 45 在在C 達到正的最大位移時，質點達到正的最大位移時，質點B 和和A 都沿著正方向都沿著正方向運動，向著各自的正的最大位移行進運動，向著各自的正的最大位移行進, ,質點質點B 比比A 更接近更接近于自己的目標。于自己的目標。 質點質點F、E、D已經過各自的正的最大位移，而進行已經過各自的正的最大位移，而進行向負方向的運動。向負方向的運動。 質點質點I、H 不僅已經過了自己的正不僅已經過了自己的正的最大位移，而且還經過了負的最大的最大位移，而且還經過了負的最大位移，而進行著正方向的運動。質點位移，而進行著正方向的運動。質點G

32、 則處于負的最大位移處。則處于負的最大位移處。 ABCDEFGHI46經過經過T/ /4，波形曲線如下圖所示，它表明原來位于，波形曲線如下圖所示，它表明原來位于C 和和I 間的波形經過間的波形經過T/ /4 ，已經傳播到，已經傳播到A、G 之間來了。之間來了。ABCDEFGHI波長和頻率波長和頻率4711-2&3 11-2&3 平面簡諧波平面簡諧波 波動方程波動方程一、平面簡諧波的波動表式一、平面簡諧波的波動表式 波動方程波動方程：描述介質中各質點的位移隨時間的變：描述介質中各質點的位移隨時間的變化關系。化關系。平面簡諧波平面簡諧波傳播時，介質中各質點都作同一頻率的傳播時，介質

33、中各質點都作同一頻率的簡諧波動，在任一時刻，各點的振動相位一般不同，簡諧波動，在任一時刻，各點的振動相位一般不同，它們的位移也不相同。據波陣面的定義可知，任一它們的位移也不相同。據波陣面的定義可知，任一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們離時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位，它們離開各自的平衡位置有相同的位移。開各自的平衡位置有相同的位移。平面簡諧波平面簡諧波4848在波線在波線ox上任選一點上任選一點P來研究來研究. 已知已知 o點的點的運動方程為運動方程為)cos(0tAyoP點的運動狀態是由點的運動狀態是由o點的運動狀態經一段時間傳過來點的運動狀態經一段時間傳過來的。的。yoxP

34、xuxtPut時刻時刻P點的運動點的運動狀態狀態 時刻時刻o點點的運動狀態的運動狀態uxtP與相同與相同經經 時間達時間達 uxP4949t時刻時刻P點的運動點的運動狀態狀態 時刻時刻P點點的運動狀態的運動狀態uxtP與相同與相同經經 時間達時間達 uxP)(cos)(0uxtAuxtyPPo=t時刻時刻P點的運動點的運動狀態狀態所以所以t時刻時刻P點的運動狀態為：點的運動狀態為：)(cos)()(0uxtAuxtytyPPoP因為因為P為任意一點，去掉下標為任意一點，去掉下標P, x軸上任一點軸上任一點(坐標坐標x）滿足：滿足：)(cos0uxtAy5050)(cos),(0uxtAtxyy

35、oxu平面簡諧波的波函數平面簡諧波的波函數: 利用關系式利用關系式 和和 ，得，得22TuT02cos),(xTtAtxy02cos),(xtAtxy)cos(),(0 xktAtxy2k51v波動表式的意義：波動表式的意義： x1 處質點在其平衡位置附近以角頻率處質點在其平衡位置附近以角頻率 作簡諧運動作簡諧運動x 一定一定。令。令x=x1，則質點位移，則質點位移y 僅是時間僅是時間t 的函數。的函數。yoPoint Pt)cos()cos()(cos1001PPtAuxtAuxtAyuxP10)sin(PPyPtAdtdyv52v波動表式的意義：波動表式的意義： t 一定一定。令。令t=t

36、1，則質點位移，則質點位移y 僅是僅是x 的函數。的函數。yoxu時刻1t)2cos()cos()(cos)(101001txAtvxAuxtAxy t1時刻的波形方程時刻的波形方程沿波線方向，任意兩點沿波線方向，任意兩點x1、x2的相位差為：的相位差為：12xxx221253outxyt+ ttuxx、t 都變化都變化01cos)(uxtAty02cos)(uxttAtty相速度相速度: : 波速波速u)(ty01cosutuxttA波速波速u 是整個波形向前傳播的速度是整個波形向前傳播的速度54 沿沿x 軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式軸負方向傳播的平面簡諧波的表達式O 點簡諧運動方程：點

37、簡諧運動方程：y x ouxP00costAyP 點的運動方程為點的運動方程為：00)(cos)cos(uxtAtAy5511-4 11-4 波的能量波的能量 波的強度波的強度一、波的能量一、波的能量彈性波傳播到介質中的某處，該處將具有動能和勢能。彈性波傳播到介質中的某處，該處將具有動能和勢能。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。在波的傳播過程中，能量從波源向外傳播。考慮棒中的體積考慮棒中的體積V，其質量為其質量為m(m=V ) )。當波動當波動傳播到該體積元時，將具有動能傳播到該體積元時，將具有動能Wk和彈性勢能和彈性勢能Wp。uxtAtxycos),(平面簡諧波平面簡諧波 uxtVAWW

38、pk222sin)(21可以證明：可以證明：56體積元的總機械能體積元的總機械能W uxtVAWWWpk222sin)(對單個諧振子對單個諧振子pkWW 在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接受和在波的傳播過程中，任一體積元都在不斷地接受和放出能量，其值是時間的函數。與振動情形相比，波放出能量，其值是時間的函數。與振動情形相比，波動傳播能量，振動系統并不傳播能量。動傳播能量，振動系統并不傳播能量。波的波的能量密度能量密度 ：介質中單位體積的波動能量。介質中單位體積的波動能量。wuxtAVWw222sin通常取能量密度在一個周期內的平均值通常取能量密度在一個周期內的平均值 w222Aw 57二

39、、二、 波的強度波的強度在介質中垂直于波速方向取一面積在介質中垂直于波速方向取一面積S ，在單位時間內通過，在單位時間內通過S 的能量。的能量。uSuwSuttwSutWPdddd)(sin222uxtAuS平均能流：平均能流：2221AuSSuwP平均能流密度平均能流密度或或波的強度波的強度 通過與波傳播方向垂直的通過與波傳播方向垂直的單位面積的平均能流，用單位面積的平均能流，用I 來表示，即來表示，即222222AzAuuwIv能流能流582222221221421421ruAruA對于球面波，對于球面波， ， ，介質不吸收能量，介質不吸收能量2114 rS2224 rS時，通過兩個球面的

40、總能流相等時，通過兩個球面的總能流相等1221rrAA球面波表達式：球面波表達式：)(cosurtra式中式中a 為波在離原點單位距離處振幅的數值。為波在離原點單位距離處振幅的數值。 5911-7 11-7 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射反射和折射波的衍射反射和折射一、惠更斯原理一、惠更斯原理波在彈性介質中運動時波在彈性介質中運動時, ,任一點任一點P 的振動的振動, ,將會引將會引起鄰近質點的振動。就此特征而言，振動著的起鄰近質點的振動。就此特征而言，振動著的 P 點點與波源相比，除了在時間上有延遲外，并無其他區與波源相比，除了在時間上有延遲外，并無其他區別。因此，別。因此，P 可視為一個新

41、的波源。可視為一個新的波源。1678年，惠更年，惠更斯總結出了以其名字命名的斯總結出了以其名字命名的惠更斯原理：惠更斯原理：介質中任一波面上的各點，都可看成是介質中任一波面上的各點，都可看成是產生球面子波的波源；在其后的任一時產生球面子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的包絡面構成新的波面。刻，這些子波的包絡面構成新的波面。惠更斯惠更斯60Wave source次級波源次級波源橫波的念橫波的念球模型球模型wavewave惠更斯原理惠更斯原理: :S1S2u tR1oS1S2R2(1) 媒質中波動傳到的各點媒質中波動傳到的各點(波前波前)都可以看作是新的次級波源都可以看作是新的次級波源(2)這些次級波源發射與這些次級波源發射與原波相原波相同同(速度速度,波長波長.)的次級子波的次級子波;(3)其后任意時刻這些次級子波其后任意時刻這些次級子波的前方的前方包跡包跡就是新的波陣面就是新的波陣面.61障礙物的小孔成為新的波源障礙物的小孔成為新的波源原波陣面原波陣面新波陣面新